În această culegere propunem 20 de exerciții rezolvate despre compunerea funcțiilor, cu dificultate progresivă și explicații pas cu pas. Exercițiile se referă la calculul lui \(f\circ g\) și \(g\circ f\), la domeniul funcției compuse, la ordinea compunerii, la funcția identitate, la asociativitate și la legătura dintre compunere și funcția inversă.
Ideea fundamentală de reținut este că, în compunerea \(f\circ g\), se aplică mai întâi \(g\) și apoi \(f\). Pentru orice valoare \(x\) pentru care compunerea este definită, are loc
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Fie
\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=x^2-3. \]
Să se calculeze \(f\circ g\).
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Rezolvare
Pentru a calcula \(f\circ g\), aplicăm mai întâi \(g\) și apoi \(f\). Prin definiție:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece
\[ g(x)=x^2-3, \]
trebuie să înlocuim variabila din expresia lui \(f\) cu \(x^2-3\). Cum \(f(x)=2x+1\), obținem
\[ f(g(x))=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1. \]
Simplificând:
\[ 2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5. \]
Așadar
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Fie
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+4. \]
Să se calculeze \(f\circ g\) și \(g\circ f\).
Rezultat
Cele două compuneri sunt
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2 \]
și
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi \(f\circ g\). Prin definiție:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=x+4\), obținem
\[ f(g(x))=f(x+4). \]
Cum \(f(x)=x^2\), înlocuind \(x\) cu \(x+4\) avem
\[ f(x+4)=(x+4)^2. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2. \]
Calculăm acum \(g\circ f\). În acest caz se aplică mai întâi \(f\) și apoi \(g\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Deoarece \(f(x)=x^2\), obținem
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Cum \(g(x)=x+4\), avem
\[ g(x^2)=x^2+4. \]
Așadar
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Cele două compuneri nu coincid: aceasta arată că, în general, ordinea compunerii este importantă.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Fie
\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=5x+1. \]
Să se calculeze \(f\circ g\) și \(g\circ f\).
Rezultat
Cele două compuneri sunt
\[ (f\circ g)(x)=15x+1 \]
și
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Rezolvare
Calculăm \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=5x+1\), obținem
\[ f(g(x))=f(5x+1). \]
Cum \(f(x)=3x-2\), înlocuind \(x\) cu \(5x+1\) avem
\[ f(5x+1)=3(5x+1)-2. \]
Așadar
\[ (f\circ g)(x)=15x+3-2=15x+1. \]
Calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Deoarece \(f(x)=3x-2\), obținem
\[ g(f(x))=g(3x-2). \]
Cum \(g(x)=5x+1\), avem
\[ g(3x-2)=5(3x-2)+1. \]
Simplificând:
\[ 5(3x-2)+1=15x-10+1=15x-9. \]
Prin urmare
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=2x-3. \]
Să se calculeze \(f\circ g\) și \(g\circ f\).
Rezultat
Cele două compuneri sunt
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10 \]
și
\[ (g\circ f)(x)=2x^2-1. \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-3). \]
Deoarece \(f(x)=x^2+1\), obținem
\[ f(2x-3)=(2x-3)^2+1. \]
Dezvoltăm pătratul:
\[ (2x-3)^2+1=4x^2-12x+9+1=4x^2-12x+10. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10. \]
Calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1). \]
Deoarece \(g(x)=2x-3\), înlocuind \(x\) cu \(x^2+1\) se obține
\[ g(x^2+1)=2(x^2+1)-3. \]
Așadar
\[ (g\circ f)(x)=2x^2+2-3=2x^2-1. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său real.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4} \]
iar domeniul său real este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Rezolvare
Prin definiție:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=x-4\), obținem
\[ f(g(x))=f(x-4). \]
Cum \(f(x)=\sqrt{x}\), avem
\[ f(x-4)=\sqrt{x-4}. \]
Așadar
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}. \]
Pentru a determina domeniul real, impunem ca radicandul să fie nenegativ:
\[ x-4\ge 0. \]
Rezolvând:
\[ x\ge 4. \]
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=x^2-9. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9} \]
iar domeniul său este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Rezolvare
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=x^2-9\), obținem
\[ f(g(x))=f(x^2-9). \]
Cum \(f(x)=1/x\), avem
\[ f(x^2-9)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Pentru a determina domeniul, impunem ca numitorul să fie diferit de zero:
\[ x^2-9\ne 0. \]
Rezolvăm:
\[ x^2-9=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=9. \]
Așadar
\[ x=-3 \qquad \text{sau} \qquad x=3. \]
Aceste două valori trebuie excluse din domeniu.
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=\sqrt{x+1},\qquad g(x)=\frac{1}{x}. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său real.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1} \]
iar domeniul său real este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Rezolvare
Calculăm compunerea:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=1/x\), obținem
\[ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right). \]
Cum \(f(x)=\sqrt{x+1}\), înlocuind \(x\) cu \(1/x\) avem
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1}. \]
Pentru domeniu trebuie să impunem două condiții. Mai întâi, funcția interioară \(g(x)=1/x\) trebuie să fie definită:
\[ x\ne 0. \]
În plus, argumentul radicalului trebuie să fie nenegativ:
\[ \frac{1}{x}+1\ge 0. \]
Aducem la același numitor:
\[ \frac{1+x}{x}\ge 0. \]
Punctele critice sunt
\[ x=-1,\qquad x=0. \]
Studiind semnul fracției, obținem
\[ x\le -1 \qquad \text{sau} \qquad x>0. \]
Valoarea \(x=0\) este exclusă deoarece anulează numitorul.
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x}. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său real.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \]
iar domeniul său real este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Rezolvare
Calculăm:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x}). \]
Deoarece \(f(x)=1/(x-1)\), obținem
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}. \]
Pentru domeniu trebuie să impunem mai întâi ca funcția interioară \(g(x)=\sqrt{x}\) să fie definită:
\[ x\ge 0. \]
În plus, numitorul funcției compuse trebuie să fie diferit de zero:
\[ \sqrt{x}-1\ne 0. \]
Rezolvând:
\[ \sqrt{x}\ne 1. \]
Deoarece \(\sqrt{x}=1\) dacă și numai dacă \(x=1\), trebuie să excludem \(x=1\).
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f(x)=\sqrt{2-x},\qquad g(x)=x^2. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său real.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2} \]
iar domeniul său real este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Rezolvare
Prin definiție:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=x^2\), obținem
\[ f(g(x))=f(x^2). \]
Cum \(f(x)=\sqrt{2-x}\), avem
\[ f(x^2)=\sqrt{2-x^2}. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2}. \]
Pentru domeniul real impunem ca radicandul să fie nenegativ:
\[ 2-x^2\ge 0. \]
Această inecuație este echivalentă cu
\[ x^2\le 2. \]
Așadar
\[ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}. \]
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad g(x)=x+2. \]
Să se determine \(f\circ g\) și domeniul său.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{pentru } x\ne -1. \]
Domeniul său este
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Rezolvare
Calculăm funcția compusă:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2). \]
Înlocuim \(x+2\) în expresia lui \(f\):
\[ f(x+2)=\frac{(x+2)^2-1}{(x+2)-1}. \]
Simplificăm numărătorul și numitorul:
\[ f(x+2)=\frac{x^2+4x+4-1}{x+1} =\frac{x^2+4x+3}{x+1}. \]
Descompunem în factori numărătorul:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Astfel, pentru \(x\ne -1\),
\[ \frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3. \]
Așadar, expresia simplificată a compunerii este
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{pentru } x\ne -1. \]
Totuși, valoarea \(x=-1\) trebuie exclusă, deoarece în expresia nesimplificată apare numitorul \(x+1\). În mod echivalent, funcția \(f\) nu este definită atunci când argumentul său este egal cu \(1\). Cum argumentul este \(x+2\), impunem
\[ x+2\ne 1. \]
Așadar
\[ x\ne -1. \]
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Simplificarea algebrică nu elimină restricția asupra domeniului.
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Fie
\[ f(x)=|x|,\qquad g(x)=x-2. \]
Să se calculeze \(f\circ g\) și \(g\circ f\).
Rezultat
Cele două compuneri sunt
\[ (f\circ g)(x)=|x-2| \]
și
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Rezolvare
Calculăm \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Deoarece \(f(x)=|x|\), înlocuind \(x\) cu \(x-2\) obținem
\[ f(x-2)=|x-2|. \]
Așadar
\[ (f\circ g)(x)=|x-2|. \]
Calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(|x|). \]
Deoarece \(g(x)=x-2\), obținem
\[ g(|x|)=|x|-2. \]
Prin urmare
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Cele două funcții sunt diferite. De exemplu, pentru \(x=-1\),
\[ (f\circ g)(-1)=|-1-2|=3, \]
în timp ce
\[ (g\circ f)(-1)=|-1|-2=1-2=-1. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^2-1. \]
Să se determine \(f\circ g\), \(g\circ f\) și domeniile lor reale respective.
Rezultat
Avem
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty), \]
în timp ce
\[ (g\circ f)(x)=x-1 \qquad \text{pentru } x\ge 0, \]
adică
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Pentru domeniul real trebuie să impunem
\[ x^2-1\ge 0. \]
Deoarece
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
inecuația este verificată pentru
\[ x\le -1 \qquad \text{sau} \qquad x\ge 1. \]
Așadar
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x}). \]
Cum \(g(x)=x^2-1\), obținem
\[ g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Totuși, domeniul nu este întreg \(\mathbb R\), deoarece funcția interioară \(f(x)=\sqrt{x}\) este definită doar pentru
\[ x\ge 0. \]
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Acest exercițiu arată că \(f\circ g\) și \(g\circ f\) pot avea expresii diferite și domenii diferite.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-2x+1. \]
Să se calculeze \(f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}\) și \(\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f\).
Rezultat
Avem
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f \]
și
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Rezolvare
Funcția identitate pe \(\mathbb R\) este definită prin
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x. \]
Calculăm prima compunere:
\[ (f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R})(x)=f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)). \]
Deoarece \(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x\), obținem
\[ f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x))=f(x). \]
Așadar
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f. \]
Calculăm acum a doua compunere:
\[ (\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f)(x)=\operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x)). \]
Funcția identitate returnează propriul argument, prin urmare
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x))=f(x). \]
Prin urmare
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Funcția identitate este, așadar, elementul neutru față de compunere.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,\qquad h(x)=2x. \]
Să se verifice că
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). \]
Rezultat
Cele două compuneri coincid și sunt amândouă date de
\[ (2x+1)^2. \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi \((f\circ g)\circ h\). Determinăm \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1). \]
Deoarece \(f(x)=x^2\), obținem
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2. \]
Acum compunem cu \(h\):
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x)). \]
Deoarece \(h(x)=2x\), avem
\[ (f\circ g)(h(x))=(f\circ g)(2x)=(2x+1)^2. \]
Așadar
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(2x+1)^2. \]
Calculăm acum \(f\circ(g\circ h)\). Determinăm \(g\circ h\):
\[ (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2x)=2x+1. \]
Acum compunem cu \(f\):
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(2x+1). \]
Deoarece \(f(x)=x^2\), obținem
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=(2x+1)^2. \]
Cele două funcții coincid. Aceasta confirmă, în acest caz concret, asociativitatea compunerii.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=4x-7, \]
și
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=\frac{x+7}{4}. \]
Să se verifice prin compunere că \(g=f^{-1}\).
Rezultat
Funcția \(g\) este inversa lui \(f\), deoarece
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \]
și
\[ f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Rezolvare
Pentru a verifica că \(g=f^{-1}\), trebuie să verificăm ambele compuneri.
Calculăm mai întâi \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Deoarece \(f(x)=4x-7\), obținem
\[ g(f(x))=g(4x-7). \]
Înlocuind în expresia lui \(g\):
\[ g(4x-7)=\frac{(4x-7)+7}{4}=\frac{4x}{4}=x. \]
Așadar
\[ (g\circ f)(x)=x. \]
Calculăm acum \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=\frac{x+7}{4}\), obținem
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x+7}{4}\right). \]
Înlocuind în expresia lui \(f\):
\[ f\left(\frac{x+7}{4}\right)=4\cdot\frac{x+7}{4}-7=x+7-7=x. \]
Așadar
\[ (f\circ g)(x)=x. \]
Am demonstrat că
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{și}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Prin urmare \(g=f^{-1}\).
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ g(x)=x+2,\qquad f(x)=3x. \]
Să se calculeze \(f\circ g\) și să se determine inversa funcției compuse.
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)=3x+6 \]
iar inversa sa este
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Rezolvare
Calculăm compunerea:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=x+2\), obținem
\[ f(g(x))=f(x+2). \]
Cum \(f(x)=3x\), avem
\[ f(x+2)=3(x+2)=3x+6. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=3x+6. \]
Notăm funcția compusă cu
\[ h(x)=3x+6. \]
Pentru a determina inversa, punem
\[ y=3x+6. \]
Rezolvăm în raport cu \(x\). Scăzând \(6\) din ambii membri:
\[ y-6=3x. \]
Împărțind la \(3\):
\[ x=\frac{y-6}{3}. \]
Așadar
\[ h^{-1}(y)=\frac{y-6}{3}. \]
Redenumind variabila independentă:
\[ h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Deoarece \(h=f\circ g\), obținem
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Fie
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{dacă } x\ge 0,\\ x^2 & \text{dacă } x<0, \end{cases} \qquad g(x)=x-2. \]
Să se determine \(f\circ g\).
Rezultat
Funcția compusă este
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{dacă } x<2,\\ x-1 & \text{dacă } x\ge 2. \end{cases} \]
Rezolvare
Trebuie să calculăm
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Funcția \(f\) este definită pe ramuri. Ramura care trebuie folosită depinde de semnul argumentului lui \(f\). În acest caz, argumentul nu este \(x\), ci \(x-2\).
Trebuie, așadar, să distingem două cazuri.
Dacă
\[ x-2\ge 0, \]
atunci
\[ x\ge 2. \]
În acest caz folosim prima ramură a lui \(f\), adică \(f(t)=t+1\). Așadar
\[ f(x-2)=(x-2)+1=x-1. \]
Dacă, dimpotrivă,
\[ x-2<0, \]
atunci
\[ x<2. \]
În acest caz folosim a doua ramură a lui \(f\), adică \(f(t)=t^2\). Așadar
\[ f(x-2)=(x-2)^2. \]
Prin urmare
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{dacă } x<2,\\ x-1 & \text{dacă } x\ge 2. \end{cases} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Fie
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Să se demonstreze că, dacă \(g\) și \(f\) sunt injective, atunci \(f\circ g:A\to C\) este injectivă.
Rezultat
Dacă \(g\) și \(f\) sunt injective, atunci și \(f\circ g\) este injectivă.
Rezolvare
Pentru a demonstra că \(f\circ g\) este injectivă, luăm două elemente arbitrare \(x_1,x_2\in A\) și presupunem că au aceeași imagine prin \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Prin definiția compunerii, această egalitate devine
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Deoarece \(f\) este injectivă, din egalitatea imaginilor rezultă egalitatea argumentelor:
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Deoarece și \(g\) este injectivă, din \(g(x_1)=g(x_2)\) rezultă
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat că
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Prin urmare \(f\circ g\) este injectivă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Fie
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Să se demonstreze că, dacă \(g\) și \(f\) sunt surjective, atunci \(f\circ g:A\to C\) este surjectivă.
Rezultat
Dacă \(g\) și \(f\) sunt surjective, atunci și \(f\circ g\) este surjectivă.
Rezolvare
Pentru a demonstra că \(f\circ g\) este surjectivă, trebuie să arătăm că orice element din \(C\) este imaginea a cel puțin unui element din \(A\) prin \(f\circ g\).
Fie, așadar, \(z\in C\).
Deoarece \(f:B\to C\) este surjectivă, există cel puțin un element \(y\in B\) astfel încât
\[ f(y)=z. \]
Deoarece \(g:A\to B\) este surjectivă, există cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât
\[ g(x)=y. \]
Atunci
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Deoarece \(g(x)=y\), obținem
\[ (f\circ g)(x)=f(y). \]
Dar \(f(y)=z\), prin urmare
\[ (f\circ g)(x)=z. \]
Am găsit un element \(x\in A\) astfel încât \((f\circ g)(x)=z\).
Cum \(z\in C\) a fost arbitrar, orice element din \(C\) este imaginea a cel puțin unui element din \(A\). Prin urmare \(f\circ g\) este surjectivă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Fie
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x+2}. \]
Să se determine \(f\circ g\), \(g\circ f\) și domeniile lor reale respective.
Rezultat
Avem
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}, \qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
În plus
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}, \qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Rezolvare
Calculăm mai întâi \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+2}). \]
Deoarece \(f(x)=1/(x-1)\), obținem
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}. \]
Pentru a determina domeniul, impunem mai întâi ca funcția interioară \(g(x)=\sqrt{x+2}\) să fie definită:
\[ x+2\ge 0. \]
Așadar
\[ x\ge -2. \]
În plus, numitorul compunerii trebuie să fie diferit de zero:
\[ \sqrt{x+2}-1\ne 0. \]
Această condiție este echivalentă cu
\[ \sqrt{x+2}\ne 1. \]
Deoarece \(\sqrt{x+2}=1\) dacă și numai dacă \(x+2=1\), obținem \(x=-1\). Așadar
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Calculăm acum \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x-1}\right). \]
Deoarece \(g(x)=\sqrt{x+2}\), înlocuind \(x\) cu \(1/(x-1)\) avem
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}. \]
Pentru domeniu trebuie să impunem mai întâi ca \(f(x)=1/(x-1)\) să fie definită:
\[ x-1\ne 0. \]
Așadar
\[ x\ne 1. \]
În plus, argumentul radicalului trebuie să fie nenegativ:
\[ \frac{1}{x-1}+2\ge 0. \]
Aducem la același numitor:
\[ \frac{1+2(x-1)}{x-1}\ge 0. \]
Simplificând numărătorul:
\[ \frac{2x-1}{x-1}\ge 0. \]
Punctele critice sunt
\[ x=\frac{1}{2},\qquad x=1. \]
Studiind semnul fracției, obținem
\[ x\le \frac{1}{2} \qquad \text{sau} \qquad x>1. \]
Valoarea \(x=1\) rămâne exclusă, deoarece anulează numitorul.
Prin urmare
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Acest exercițiu reunește cele două aspecte fundamentale ale compunerii: ordinea de aplicare și controlul domeniului.