În această pagină vom vedea cum se calculează derivata funcției putere folosind două forme echivalente ale raportului incremental: una în variabila \(h\), cu \(h\to 0\), și una în variabila \(x\), cu \(x\to x_0\).
Fie \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) și să considerăm funcția putere:
\[ f(x)=x^n \]
Cele două forme ale raportului incremental sunt:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Cuprins
- Limita raportului incremental pentru \( h\to 0 \)
- Limita raportului incremental pentru \( x\to x_0 \)
Limita raportului incremental pentru \( h\to 0 \)
Calculăm derivata funcției putere folosind definiția raportului incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Înlocuind \(f(x)=x^n\), obținem:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Aplicăm acum formula binomului lui Newton:
\[ (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \]
Înlocuind dezvoltarea binomială în raportul incremental:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n }{h} \]
Simplificând termenii \(x^n\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n }{h} \]
Împărțind fiecare termen la \(h\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} \right) \]
Trecând la limită pentru \(h\to 0\), toți termenii care conțin puteri pozitive ale lui \(h\) tind la \(0\). Rămâne astfel:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Concluzionăm deci că:
\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Limita raportului incremental pentru \( x\to x_0 \)
Calculăm acum derivata funcției putere în forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Înlocuind \(f(x)=x^n\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Numărătorul este o diferență de puteri. Folosim deci factorizarea:
\[ x^n-x_0^n = (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Înlocuind în raportul incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{ (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) }{x-x_0} \]
Simplificând factorul \(x-x_0\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Trecând la limită pentru \(x\to x_0\), fiecare termen tinde la \(x_0^{\,n-1}\). Deoarece apar \(n\) termeni egali cu \(x_0^{\,n-1}\), obținem:
\[ f'(x_0) = nx_0^{\,n-1} \]
În concluzie:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]