În această pagină vom deduce derivata logaritmului natural pornind de la raportul incremental, prezentând două formulări echivalente: una pentru \( h \to 0 \) și cealaltă pentru \( x \to x_0 \). Mai precis:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
- Limita raportului incremental pentru \( h \to 0 \)
- Limita raportului incremental pentru \( x \to x_0 \)
Limita raportului incremental pentru \( h \to 0 \)
Aplicând această definiție funcției \( \ln(x) \), obținem:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]
Folosind proprietățile logaritmilor, putem rescrie numărătorul din relația \( ( * ) \) astfel:
\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]
Prin urmare,
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]
Pentru a simplifica mai departe, observăm că această expresie ascunde o limită remarcabilă. Dacă notăm \( t = \frac{h}{x} \), atunci \( h = x t \). În consecință, când \( h \to 0 \), avem și \( t \to 0 \). Astfel,
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Limită Remarcabilă}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
Obținem astfel că derivata lui \( \ln(x) \) este
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]
Limita raportului incremental pentru \( x \to x_0 \)
În mod analog, calculăm limita atunci când \( x \to x_0 \). Folosind această definiție, limita raportului incremental este:
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Aplicăm proprietatea logaritmilor:
\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]
Prin urmare,
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]
Pentru a simplifica expresia, notăm \( u = x - x_0 \), de unde rezultă \( x = x_0 + u \). Când \( x \to x_0 \), avem și \( u \to 0 \).
Înlocuind \( x = x_0 + u \) în limita \( (*) \), obținem:
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]
Argumentul logaritmului poate fi rescris astfel încât să evidențiem mai ușor limita remarcabilă care ne permite să calculăm derivata căutată.
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]
Dacă notăm \( t = \frac{u}{x_0} \), atunci \( u = x_0 t \). În plus, din \( u \to 0 \) rezultă că \( t \to 0 \):
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Limită Remarcabilă}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]
Concluzionăm că, la fel ca în cazul precedent, derivata lui \( \ln(x) \) este:
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]