Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ 3x^2 + 6x \]
Rezultat
\[ 3x(x + 2) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se caută cel mai mare factor comun (c.m.m.f.c.) al tuturor termenilor polinomului. În acest caz c.m.m.f.c. este \(3x\).
Identificarea c.m.m.f.c.
Coeficienții \(3\) și \(6\) au c.m.m.d.c. egal cu \(3\). Variabila \(x\) apare în ambii termeni cu exponentul cel puțin \(1\). Deci c.m.m.f.c. \(= 3x\).
Scoaterea factorului comun
\[ 3x^2 + 6x = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 = 3x(x + 2) \]
Verificare
\[ 3x(x+2) = 3x^2 + 6x \]
Rezultat
\[ \boxed{3x(x+2)} \]
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Rezultat
\[ 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Rezolvare
Identificarea c.m.m.f.c.
Coeficienții \(4, 8, 12\) au c.m.m.d.c. egal cu \(4\). Variabila \(x\) apare în toți termenii cu exponentul cel puțin \(1\). Deci c.m.m.f.c. \(= 4x\).
Scoaterea factorului comun
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x = 4x\cdot x^2 - 4x\cdot 2x + 4x\cdot 3 = 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Verificare
\[ 4x(x^2-2x+3) = 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Rezultat
\[ \boxed{4x(x^2 - 2x + 3)} \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Rezultat
\[ 3xy(2x - 3y + 1) \]
Rezolvare
Identificarea c.m.m.f.c.
Coeficienții \(6, 9, 3\) au c.m.m.d.c. egal cu \(3\). Variabila \(x\) apare cu exponentul cel puțin \(1\), la fel și variabila \(y\). Deci c.m.m.f.c. \(= 3xy\).
Scoaterea factorului comun
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy = 3xy\cdot2x - 3xy\cdot3y + 3xy\cdot1 = 3xy(2x - 3y + 1) \]
Verificare
\[ 3xy(2x-3y+1) = 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Rezultat
\[ \boxed{3xy(2x - 3y + 1)} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 16 \]
Rezultat
\[ (x-4)(x+4) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște diferența pătratelor: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) cu \(a = x\) și \(b = 4\).
Aplicarea formulei
\[ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) \]
Verificare
\[ (x-4)(x+4) = x^2+4x-4x-16 = x^2-16 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-4)(x+4)} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ 9x^2 - 25 \]
Rezultat
\[ (3x-5)(3x+5) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște diferența pătratelor cu \(a = 3x\) și \(b = 5\).
Aplicarea formulei
\[ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5) \]
Verificare
\[ (3x-5)(3x+5) = 9x^2+15x-15x-25 = 9x^2-25 \]
Rezultat
\[ \boxed{(3x-5)(3x+5)} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 + 6x + 9 \]
Rezultat
\[ (x+3)^2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște trinomul pătrat perfect: \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) cu \(a=x\) și \(b=3\).
Verificarea structurii
Primul termen: \(x^2 = x^2\) \checkmark
Termenul din mijloc: \(6x = 2\cdot x\cdot3\) \checkmark
Ultimul termen: \(9 = 3^2\) \checkmark
Rezultat
\[ \boxed{(x+3)^2} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + 5x + 6 \]
Rezultat
\[ (x+2)(x+3) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Un trinom de forma \(x^2+bx+c\) se factorizează ca \((x+p)(x+q)\) unde \(p+q=b\) și \(p\cdot q=c\).
Căutarea lui \(p\) și \(q\)
Trebuie găsite două numere al căror produs este \(6\) și a căror sumă este \(5\):
\[ p\cdot q = 6 \qquad p + q = 5 \implies p = 2,\; q = 3 \]
Factorizare
\[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \]
Verificare
\[ (x+2)(x+3) = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x+2)(x+3)} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 \]
Rezultat
\[ (x-3)(x-4) \]
Rezolvare
Căutarea lui \(p\) și \(q\)
Trebuie găsite două numere al căror produs este \(12\) și a căror sumă este \(-7\):
\[ p\cdot q = 12 \qquad p+q = -7 \implies p=-3,\; q=-4 \]
Factorizare
\[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Verificare
\[ (x-3)(x-4) = x^2-4x-3x+12 = x^2-7x+12 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-3)(x-4)} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \]
Rezultat
\[ (x+3)(x-2) \]
Rezolvare
Căutarea lui \(p\) și \(q\)
Trebuie găsite două numere al căror produs este \(-6\) și a căror sumă este \(1\):
\[ p\cdot q = -6 \qquad p+q=1 \implies p=3,\; q=-2 \]
Factorizare
\[ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \]
Verificare
\[ (x+3)(x-2) = x^2-2x+3x-6 = x^2+x-6 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x+3)(x-2)} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 7x + 3 \]
Rezultat
\[ (2x+1)(x+3) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Pentru un trinom \(ax^2+bx+c\) cu \(a\neq1\) se folosește metoda produsului \(a\cdot c\): se caută două numere al căror produs este \(ac = 6\) și a căror sumă este \(b = 7\).
Produsul \(ac\) și căutarea factorilor
\[ a\cdot c = 2\cdot3 = 6 \qquad p+q=7 \implies p=1,\; q=6 \]
Descompunerea termenului din mijloc
\[ 2x^2+7x+3 = 2x^2+x+6x+3 \]
Gruparea termenilor
\[ = x(2x+1)+3(2x+1) = (2x+1)(x+3) \]
Verificare
\[ (2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3 \]
Rezultat
\[ \boxed{(2x+1)(x+3)} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 10x + 3 \]
Rezultat
\[ (3x-1)(x-3) \]
Rezolvare
Produsul \(ac\) și căutarea factorilor
\[ a\cdot c = 3\cdot3 = 9 \qquad p+q=-10 \implies p=-1,\; q=-9 \]
Descompunerea termenului din mijloc
\[ 3x^2-10x+3 = 3x^2-x-9x+3 \]
Gruparea termenilor
\[ = x(3x-1)-3(3x-1) = (3x-1)(x-3) \]
Verificare
\[ (3x-1)(x-3) = 3x^2-9x-x+3 = 3x^2-10x+3 \]
Rezultat
\[ \boxed{(3x-1)(x-3)} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ 6x^2 + x - 2 \]
Rezultat
\[ (3x+2)(2x-1) \]
Rezolvare
Produsul \(ac\) și căutarea factorilor
\[ a\cdot c = 6\cdot(-2) = -12 \qquad p+q=1 \implies p=4,\; q=-3 \]
Descompunerea termenului din mijloc
\[ 6x^2+x-2 = 6x^2+4x-3x-2 \]
Gruparea termenilor
\[ = 2x(3x+2)-(3x+2) = (3x+2)(2x-1) \]
Verificare
\[ (3x+2)(2x-1) = 6x^2-3x+4x-2 = 6x^2+x-2 \]
Rezultat
\[ \boxed{(3x+2)(2x-1)} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ x^3 - x \]
Rezultat
\[ x(x-1)(x+1) \]
Rezolvare
Pasul 1: scoaterea factorului \(x\)
\[ x^3 - x = x(x^2 - 1) \]
Pasul 2: diferența pătratelor
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Factorizarea completă
\[ x^3-x = x(x-1)(x+1) \]
Verificare
\[ x(x-1)(x+1) = x(x^2-1) = x^3-x \]
Rezultat
\[ \boxed{x(x-1)(x+1)} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ x^3 + 8 \]
Rezultat
\[ (x+2)(x^2 - 2x + 4) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște suma cuburilor: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) cu \(a=x\) și \(b=2\).
Aplicarea formulei
\[ x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \]
Verificare
\[ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8 = x^3+8 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x+2)(x^2-2x+4)} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ x^3 - 27 \]
Rezultat
\[ (x-3)(x^2+3x+9) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se recunoaște diferența cuburilor: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) cu \(a=x\) și \(b=3\).
Aplicarea formulei
\[ x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) \]
Verificare
\[ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3+3x^2+9x-3x^2-9x-27 = x^3-27 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-3)(x^2+3x+9)} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ x^3 - x^2 - x + 1 \]
Rezultat
\[ (x-1)^2(x+1) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se aplică gruparea termenilor, adunând termenii câte doi.
Grupare
\[ (x^3-x^2)+(-x+1) = x^2(x-1)-(x-1) \]
Scoaterea factorului comun \((x-1)\)
\[ (x-1)(x^2-1) \]
Factorizare ulterioară: diferența pătratelor
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1) \]
Verificare
\[ (x-1)^2(x+1) = (x^2-2x+1)(x+1) = x^3+x^2-2x^2-2x+x+1 = x^3-x^2-x+1 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-1)^2(x+1)} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \]
Rezultat
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Rezolvare
Gruparea termenilor
\[ (2x^3+x^2)+(-2x-1) = x^2(2x+1)-(2x+1) \]
Scoaterea factorului comun \((2x+1)\)
\[ (2x+1)(x^2-1) \]
Diferența pătratelor
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Verificare
\[ (2x+1)(x^2-1) = 2x^3-2x+x^2-1 = 2x^3+x^2-2x-1 \]
Rezultat
\[ \boxed{(2x+1)(x-1)(x+1)} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ x^4 - 1 \]
Rezultat
\[ (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Rezolvare
Pasul 1: diferența pătratelor
\[ x^4-1 = (x^2)^2-1^2 = (x^2-1)(x^2+1) \]
Pasul 2: o nouă diferență de pătrate
\[ x^2-1 = (x-1)(x+1) \]
Factorul \(x^2+1\) nu se mai factorizează pe mulțimea numerelor reale (discriminant \(-4 < 0\)).
Factorizarea completă
\[ x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Verificare
\[ (x^2-1)(x^2+1) = x^4+x^2-x^2-1 = x^4-1 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ x^4 - 5x^2 + 4 \]
Rezultat
\[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Este un trinom bipătratic. Se pune \(t = x^2\) pentru a-l reduce la un trinom de gradul al doilea în \(t\).
Substituția \(t = x^2\)
\[ t^2-5t+4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0 \implies t=1 \text{ sau } t=4 \]
Revenirea la variabila \(x\)
\[ t=1 \implies x^2-1=(x-1)(x+1) \]
\[ t=4 \implies x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Factorizarea completă
\[ x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Verificare
\[ (x^2-1)(x^2-4) = x^4-4x^2-x^2+4 = x^4-5x^2+4 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \]
Rezultat
\[ (x+3)(x-2)(x+2) \]
Rezolvare
Gruparea termenilor
\[ (x^3+3x^2)+(-4x-12) = x^2(x+3)-4(x+3) \]
Scoaterea factorului comun \((x+3)\)
\[ (x+3)(x^2-4) \]
Diferența pătratelor
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \]
Factorizarea completă
\[ x^3+3x^2-4x-12 = (x+3)(x-2)(x+2) \]
Verificare
\[ (x+3)(x^2-4) = x^3-4x+3x^2-12 = x^3+3x^2-4x-12 \]
Rezultat
\[ \boxed{(x+3)(x-2)(x+2)} \]