Pentru a studia corect o funcție, este necesar să distingem cu precizie trei mulțimi fundamentale: domeniul, codomeniul și imaginea.
O funcție nu este determinată numai de formula prin care se atribuie valoarea \(f(x)\). Pentru a o defini complet trebuie să precizăm și mulțimea elementelor cărora li se poate aplica, precum și mulțimea în care îi sunt declarate valorile.
Dacă
\[ f:A\to B, \]
atunci \(A\) este domeniul funcției, \(B\) este codomeniul ei, în timp ce mulțimea valorilor efectiv luate de \(f\) poartă numele de imagine a funcției.
Aceste trei noțiuni sunt strâns legate între ele, dar în general nu coincid. Domeniul stabilește care valori ale variabilei independente sunt admise; codomeniul stabilește mulțimea în care funcția își ia valorile; imaginea, în schimb, reunește numai valorile efectiv atinse de funcție.
Distincția dintre domeniu, codomeniu și imagine este esențială pentru a înțelege proprietăți fundamentale precum injectivitatea, surjectivitatea, bijectivitatea, funcția inversă și compunerea funcțiilor.
Cuprins
- Domeniu, codomeniu și imagine: semnificație intuitivă
- Definiția domeniului unei funcții
- Definiția codomeniului unei funcții
- Definiția imaginii unei funcții
- Diferența dintre codomeniu și imagine
- Cum se determină domeniul unei funcții
- Cum se determină imaginea unei funcții
- Exemple privind domeniul, codomeniul și imaginea
- Greșeli frecvente de evitat
Domeniu, codomeniu și imagine: semnificație intuitivă
Pentru a înțelege intuitiv rolul domeniului, al codomeniului și al imaginii, să considerăm o funcție
\[ f:A\to B. \]
Această scriere arată că funcția \(f\) asociază fiecărui element \(x\in A\) un unic element \(f(x)\in B\).
Domeniul este mulțimea de plecare: el conține elementele cărora li se poate aplica funcția. Codomeniul este mulțimea de sosire: el stabilește mulțimea în care funcția este declarată cu valori. Imaginea, în schimb, este mulțimea valorilor care se obțin efectiv aplicând funcția elementelor domeniului.
În simboluri, imaginea lui \(f\) este
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Deoarece orice valoare luată de funcție aparține codomeniului, avem întotdeauna
\[ f(A)\subseteq B. \]
Incluziunea de mai sus exprimă o distincție fundamentală: orice valoare a imaginii aparține codomeniului, dar nu este obligatoriu ca orice element al codomeniului să aparțină imaginii.
De exemplu, dacă
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2, \]
atunci domeniul este \(\mathbb R\), iar codomeniul este \(\mathbb R\). Totuși, funcția ia numai valori nenegative, prin urmare imaginea ei este
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
În acest caz, codomeniul este \(\mathbb R\), în timp ce imaginea se reduce la \([0,+\infty)\).
Definiția domeniului unei funcții
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide. Dacă
\[ f:A\to B \]
este o funcție, atunci mulțimea \(A\) se numește domeniul funcției \(f\).
Domeniul este, așadar, mulțimea formată din toate elementele cărora funcția le asociază o valoare.
În mod echivalent, a spune că \(A\) este domeniul lui \(f\) înseamnă că, pentru orice \(x\in A\), există un unic element \(y\in B\) asociat lui \(x\). În simboluri:
\[ \forall x\in A,\quad \exists!\, y\in B \quad : \quad f(x)=y. \]
Domeniul stabilește, prin urmare, care valori ale variabilei independente pot fi luate în considerare. Dacă un element nu aparține domeniului, funcția nu este definită în acel element.
De exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
are domeniul \(\mathbb R\), deoarece fiecărui număr real \(x\) îi asociază numărul real \(x^2+1\).
În schimb, funcția
\[ g:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=\log x \]
are domeniul \((0,+\infty)\), deoarece logaritmul real este definit numai pentru valori strict pozitive ale variabilei.
Domeniul nu este un detaliu accesoriu, ci o parte esențială a funcției. Aceeași formulă poate, într-adevăr, să definească funcții diferite dacă este considerată pe domenii diferite.
De exemplu, funcțiile
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
și
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
au aceeași formulă, dar nu sunt aceeași funcție, deoarece au domenii diferite.
Această diferență este relevantă și pentru proprietățile funcției. Într-adevăr, \(f\) nu este injectivă, deoarece \(f(-1)=f(1)\), în timp ce \(h\) este injectivă pe domeniul \([0,+\infty)\).
Definiția codomeniului unei funcții
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide. Dacă
\[ f:A\to B \]
este o funcție, atunci mulțimea \(B\) se numește codomeniul funcției \(f\).
Codomeniul este, așadar, mulțimea de sosire a funcției, adică mulțimea în care sunt declarate valorile funcției.
În simboluri:
\[ \forall x\in A,\quad f(x)\in B. \]
Codomeniul stabilește cadrul în care funcția își ia valorile. Totuși, faptul că un element aparține codomeniului nu înseamnă neapărat că el este atins de funcție.
De exemplu, să considerăm
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Codomeniul este \(\mathbb R\). Totuși, funcția nu ia nicio valoare negativă, deoarece \(x^2\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb R\). Numere precum \(-1\), \(-2\) sau \(-10\) aparțin, prin urmare, codomeniului, fără a fi însă valori ale funcției.
Și codomeniul, la fel ca domeniul, face parte din definiția funcției. Aceeași formulă și același domeniu pot da naștere unor funcții diferite dacă se schimbă codomeniul.
De exemplu, funcțiile
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
și
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2 \]
au aceeași formulă și același domeniu, dar au codomenii diferite.
Această diferență devine deosebit de importantă în studiul surjectivității: o funcție este surjectivă atunci când imaginea ei coincide cu codomeniul.
Definiția imaginii unei funcții
Fie \(A\) și \(B\) două mulțimi nevide și fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. Se numește imagine a funcției \(f\) mulțimea tuturor valorilor pe care \(f\) le ia pe elementele domeniului.
În simboluri:
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
În mod echivalent, un element \(y\in B\) aparține imaginii lui \(f\) dacă și numai dacă există cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\). În simboluri:
\[ y\in f(A)\iff \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
Imaginea este, așadar, mulțimea valorilor efectiv atinse de funcție. Prin definiție, ea este întotdeauna o submulțime a codomeniului:
\[ f(A)\subseteq B. \]
Incluziunea poate fi strictă sau poate fi o egalitate. Dacă \(f(A)\subsetneq B\), unele elemente ale codomeniului nu sunt atinse. Dacă, dimpotrivă, \(f(A)=B\), atunci fiecare element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element al domeniului.
Să considerăm, de exemplu,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Pentru orice \(x\in\mathbb R\) avem \(x^2\ge 0\), deci
\[ x^2+1\ge 1. \]
Rezultă că toate valorile funcției sunt mai mari sau egale cu \(1\).
Reciproc, dacă \(y\ge 1\), atunci \(y-1\ge 0\) și putem alege
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Se obține astfel
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Prin urmare
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
În acest exemplu, codomeniul este \(\mathbb R\), în timp ce imaginea este \([1,+\infty)\).
Diferența dintre codomeniu și imagine
Diferența dintre codomeniu și imagine este unul dintre cele mai delicate aspecte din studiul funcțiilor.
Dacă
\[ f:A\to B, \]
atunci codomeniul este mulțimea \(B\), fixată în definiția funcției. Imaginea, în schimb, este mulțimea
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}, \]
adică mulțimea valorilor efectiv luate de funcție.
Avem întotdeauna
\[ f(A)\subseteq B, \]
dar nu neapărat \(f(A)=B\).
De exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
are codomeniul \(\mathbb R\), dar imaginea \([0,+\infty)\). Într-adevăr, niciun număr real negativ nu este pătratul unui număr real.
Dacă, în schimb, considerăm
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2, \]
atunci imaginea coincide cu codomeniul:
\[ g(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Cele două funcții au aceeași formulă și același domeniu, dar codomenii diferite. În consecință, prima nu este surjectivă, în timp ce a doua este surjectivă.
Pe scurt, codomeniul este fixat în momentul în care se definește funcția; imaginea, în schimb, trebuie determinată studiind valorile pe care funcția le ia efectiv pe domeniu.
Cum se determină domeniul unei funcții
A determina domeniul unei funcții înseamnă a găsi toate valorile variabilei independente pentru care funcția este definită.
Când o funcție este dată sub forma
\[ f:A\to B, \]
domeniul este deja indicat: el este mulțimea \(A\).
De exemplu, dacă
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sqrt x, \]
atunci domeniul funcției este \([0,+\infty)\).
În multe exerciții, însă, se dă numai expresia funcției, de exemplu
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
În acest caz, dacă nu se precizează altfel, se caută cea mai mare submulțime a lui \(\mathbb R\) pe care expresia are sens. Această mulțime se numește domeniul natural de definiție (sau domeniul maxim de definiție) al funcției.
Pentru a determina domeniul natural de definiție al unei funcții reale de o variabilă reală trebuie să impunem toate condițiile care fac posibil calculul expresiei.
Restricțiile cele mai frecvente sunt următoarele.
- Numitori: numitorul unei fracții trebuie să fie diferit de zero.
- Radicali de ordin par: expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
- Logaritmi: argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv.
De exemplu, pentru
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
trebuie să impunem
\[ x-2\ne 0, \]
deci \(x\ne 2\). Domeniul natural de definiție este
\[ \mathbb R\setminus\{2\}. \]
Pentru
\[ g(x)=\sqrt{x-3} \]
trebuie să impunem
\[ x-3\ge 0, \]
deci \(x\ge 3\). Domeniul natural de definiție este
\[ [3,+\infty). \]
Pentru
\[ h(x)=\log(x+1) \]
trebuie să impunem
\[ x+1>0, \]
deci \(x>-1\). Domeniul natural de definiție este
\[ (-1,+\infty). \]
În general, domeniul natural de definiție se obține traducând în condiții matematice toate restricțiile prezente în expresia funcției și rezolvând sistemul de condiții astfel obținut.
Trebuie totuși să distingem domeniul natural de definiție de domeniul impus. Dacă o funcție este declarată explicit cu un domeniu, atunci domeniul funcției este cel indicat, chiar și atunci când formula ar avea sens pe o mulțime mai mare.
De exemplu,
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
are domeniul \([0,+\infty)\), chiar dacă formula \(x^2\) are sens pentru orice \(x\in\mathbb R\).
Cum se determină imaginea unei funcții
A determina imaginea unei funcții înseamnă a găsi toate valorile, și numai pe acelea, pe care funcția le ia atunci când variabila independentă parcurge domeniul.
Dacă
\[ f:A\to B \]
este o funcție, atunci un element \(y\in B\) aparține imaginii lui \(f\) dacă și numai dacă există cel puțin un \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
A determina imaginea înseamnă, prin urmare, a stabili pentru care valori ale lui \(y\) ecuația
\[ y=f(x) \]
admite cel puțin o soluție \(x\) în domeniul funcției.
Spre deosebire de domeniul natural de definiție, care se găsește adesea impunând condiții de existență asupra expresiei, imaginea cere să studiem valorile efectiv luate de funcție. Metoda depinde, prin urmare, de tipul funcției considerate.
De exemplu, să considerăm
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Punem
\[ y=x^2. \]
Această ecuație admite soluții reale dacă și numai dacă \(y\ge 0\). Într-adevăr, dacă \(y\ge 0\), putem alege \(x=\sqrt y\); dacă \(y<0\), nu există niciun număr real \(x\) astfel încât \(x^2=y\).
Prin urmare
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Să considerăm acum
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x+1. \]
Deoarece \(x\ge 0\), avem
\[ x+1\ge 1. \]
Reciproc, dacă \(y\ge 1\), alegând \(x=y-1\), avem \(x\in[0,+\infty)\) și
\[ g(x)=x+1=(y-1)+1=y. \]
Deci
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Din punct de vedere geometric, imaginea unei funcții este mulțimea ordonatelor punctelor graficului său. Din acest motiv, în unele cazuri, ea poate fi determinată și observând graficul.
Pentru funcții mai complexe, în schimb, poate fi necesar să studiem monotonia, să determinăm punctele de maxim și de minim sau să folosim proprietăți specifice ale funcției considerate.
În orice caz, imaginea nu se obține citind pur și simplu codomeniul declarat: ea trebuie determinată studiind valorile realmente atinse de funcție pe domeniul său.
Exemple privind domeniul, codomeniul și imaginea
Să vedem acum câteva exemple în care domeniul, codomeniul și imaginea sunt determinate explicit. Scopul este să recunoaștem cu precizie mulțimea de plecare, mulțimea de sosire și mulțimea valorilor efectiv luate.
Exemplul 1. Să considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
Domeniul este \(\mathbb R\), deoarece funcția este definită pentru orice număr real \(x\). Codomeniul este \(\mathbb R\), deoarece funcția este declarată cu valori reale.
Pentru a determina imaginea, punem
\[ y=x+2. \]
Pentru orice \(y\in\mathbb R\), alegând \(x=y-2\), se obține
\[ f(x)=f(y-2)=(y-2)+2=y. \]
Așadar, orice număr real este luat de funcție. Prin urmare
\[ f(\mathbb R)=\mathbb R. \]
În acest caz, imaginea coincide cu codomeniul.
Exemplul 2. Să considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Domeniul este \(\mathbb R\), iar codomeniul este \(\mathbb R\).
Deoarece \(x^2\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem
\[ x^2+1\ge 1. \]
Reciproc, dacă \(y\ge 1\), alegând \(x=\sqrt{y-1}\), se obține
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Deci
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
Imaginea este o submulțime proprie a codomeniului.
Exemplul 3. Să considerăm funcția
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
Domeniul este \([0,+\infty)\), în timp ce codomeniul este \(\mathbb R\).
Și în acest caz \(x^2+1\ge 1\). În plus, pentru orice \(y\ge 1\), alegând \(x=\sqrt{y-1}\), avem \(x\in[0,+\infty)\) și
\[ g(x)=x^2+1=y. \]
Prin urmare
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Funcția are aceeași imagine ca în exemplul precedent, deși este definită pe un domeniu diferit.
Exemplul 4. Să considerăm funcția
\[ h:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
Domeniul este \([0,+\infty)\), iar codomeniul este \([1,+\infty)\). Așa cum am văzut în exemplul precedent,
\[ h([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
În acest caz, imaginea coincide cu codomeniul. Funcția \(h\) este, prin urmare, surjectivă.
Exemplul 5. Să considerăm funcția
\[ p:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad p(x)=\frac{1}{x}. \]
Domeniul este \(\mathbb R\setminus\{0\}\), deoarece expresia \(\frac{1}{x}\) nu este definită pentru \(x=0\). Codomeniul este \(\mathbb R\).
Pentru orice \(x\ne 0\), avem \(\frac{1}{x}\ne 0\), deci \(0\) nu aparține imaginii.
Reciproc, dacă \(y\ne 0\), alegând \(x=\frac{1}{y}\), avem \(x\ne 0\) și
\[ p(x)=p\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Așadar
\[ p(\mathbb R\setminus\{0\})=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Imaginea este, prin urmare, o submulțime proprie a codomeniului, deoarece codomeniul conține \(0\), pe când imaginea nu.
Greșeli frecvente de evitat
Să rezumăm câteva greșeli frecvente în studiul domeniului, al codomeniului și al imaginii.
- A confunda codomeniul cu imaginea. Codomeniul este mulțimea de sosire fixată în definiția funcției; imaginea este mulțimea valorilor efectiv atinse.
- A crede că formula determină singură funcția. Aceeași formulă poate defini funcții diferite dacă se schimbă domeniul sau codomeniul.
- A confunda domeniul impus cu domeniul natural de definiție. Dacă domeniul apare în scrierea \(f:A\to B\), atunci domeniul este \(A\). Domeniul natural de definiție se caută numai atunci când se dă doar o expresie.
- A uita că imaginea depinde de domeniu. Modificarea domeniului poate schimba mulțimea valorilor luate de funcție.
- A stabili surjectivitatea fără a privi codomeniul. O funcție este surjectivă dacă și numai dacă imaginea ei coincide cu codomeniul.
În concluzie, domeniul, codomeniul și imaginea sunt trei noțiuni distincte ale teoriei funcțiilor. Domeniul arată unde este definită funcția; codomeniul arată în ce mulțime funcția este declarată cu valori; imaginea arată care valori sunt efectiv atinse.