Dreapta este unul dintre obiectele fundamentale ale geometriei euclidiene. În planul cartezian, o dreaptă poate fi descrisă printr-o ecuație de gradul întâi cu două variabile \(x\) și \(y\), adică printr-o ecuație de forma
\[ ax+by+c=0, \]
unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), iar coeficienții \(a\) și \(b\) nu sunt ambii nuli. Această formă, numită forma implicită, cuprinde toate dreptele din plan, inclusiv dreptele verticale și dreptele orizontale.
Atunci când dreapta nu este verticală, ecuația ei poate fi scrisă și sub forma
\[ y=mx+q, \]
numită forma explicită. În acest caz \(m\) este panta dreptei, care descrie înclinarea dreptei față de axa absciselor, în timp ce \(q\) este ordonata la origine, adică ordonata punctului în care dreapta intersectează axa \(y\).
În această pagină vom vedea cum se obține ecuația unei drepte determinate de două puncte, cum se trece de la forma implicită la forma explicită, care este semnificația geometrică a pantei, cum se determină o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată și cum se scrie ecuația parametrică a unei drepte.
Cuprins
- Ecuația dreptei determinate de două puncte
- Forma explicită a dreptei
- Forma implicită a dreptei
- Semnificația geometrică a pantei
- Ecuația parametrică a dreptei
- Dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată
- Probleme rezolvate despre dreaptă
Ecuația dreptei determinate de două puncte
Să presupunem că cunoaștem două puncte distincte ale planului cartezian:
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Deoarece cele două puncte sunt distincte, cel puțin una dintre diferențele \(x_2-x_1\) și \(y_2-y_1\) este diferită de zero.
Dacă \(x_1=x_2\), cele două puncte au aceeași abscisă. În acest caz, dreapta determinată de \(P_1\) și \(P_2\) este verticală și are ecuația
\[ x=x_1. \]
Să presupunem acum că \(x_1\ne x_2\). În acest caz dreapta nu este verticală și putem introduce panta
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Dacă \(y_1=y_2\), atunci \(m=0\), iar dreapta este orizontală. În acest caz ecuația ei este
\[ y=y_1. \]
Să presupunem, așadar, că \(y_1\ne y_2\). Dreapta este oblică și putem obține ecuația ei folosind asemănarea triunghiurilor dreptunghice. Fie \(P(x,y)\) un punct oarecare al dreptei, diferit de \(P_1\). Figura următoare ilustrează această situație:
Triunghiurile dreptunghice \(\triangle P_1P'P\) și \(\triangle P_1P'_2P_2\) sunt asemenea, deoarece fiecare are un unghi drept, iar cele două triunghiuri au un unghi ascuțit congruent, determinat de înclinarea dreptei. Ținând cont de variațiile orizontale și verticale, considerate cu semnul lor, din asemănarea triunghiurilor se obține relația
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Deoarece
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
rezultă că
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Aceasta este forma punct-pantă a ecuației dreptei. Dezvoltând calculele, obținem
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
de unde
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Notând
\[ q=y_1-mx_1, \]
obținem forma explicită
\[ y=mx+q. \]
Pornind de la forma punct-pantă putem obține și o formă implicită. Într-adevăr,
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
Înmulțind ambii membri cu \(x_2-x_1\), se obține
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
Trecând toți termenii în membrul întâi și rearanjând, rezultă:
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Formula obținută a fost dedusă în ipoteza \(x_1\ne x_2\). Totuși, ea rămâne valabilă pentru orice pereche de puncte distincte: cuprinde atât cazul oblic, cât și cazul orizontal și cazul vertical.
Pentru a justifica această valabilitate generală, putem recurge la vectori. Un punct oarecare \(P(x,y)\) aparține dreptei determinate de \(P_1\) și \(P_2\) dacă și numai dacă cele trei puncte \(P_1\), \(P_2\) și \(P\) sunt coliniare. Aceasta se întâmplă atunci când vectorii
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
sunt liniar dependenți. În termeni algebrici, această condiție este echivalentă cu anularea determinantului
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
Dezvoltând determinantul se obține
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
și deci, din nou,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Forma explicită a dreptei
O dreaptă din planul cartezian admite forma explicită ori de câte ori nu este verticală. În acest caz, ecuația ei poate fi scrisă sub forma
\[ y=mx+q. \]
Numărul \(m\) este panta dreptei și măsoară variația ordonatei în raport cu variația abscisei. Numărul \(q\) este ordonata la origine, adică ordonata punctului în care dreapta intersectează axa \(y\).
Într-adevăr, punând \(x=0\) în ecuația \(y=mx+q\), se obține
\[ y=q. \]
Prin urmare, dreapta intersectează axa ordonatelor în punctul
\[ (0,q). \]
Dacă cunoaștem un punct \(P_1(x_1,y_1)\) al dreptei și panta \(m\), putem folosi forma punct-pantă:
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Dezvoltând calculele, se obține:
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
și deci
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Așadar, în forma \(y=mx+q\), avem
\[ q=y_1-mx_1. \]
Dacă, în schimb, sunt cunoscute două puncte distincte \(P_1(x_1,y_1)\) și \(P_2(x_2,y_2)\), cu \(x_1\ne x_2\), atunci panta este
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Condiția \(x_1\ne x_2\) este esențială: dacă \(x_1=x_2\), dreapta determinată de cele două puncte este verticală și nu poate fi scrisă sub forma \(y=mx+q\). În acest caz, ecuația ei este
\[ x=x_1. \]
Forma implicită a dreptei
Forma implicită a ecuației unei drepte este
\[ ax+by+c=0, \]
unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), iar \(a\) și \(b\) nu sunt ambii nuli. Condiția
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
este necesară: într-adevăr, dacă \(a=0\) și \(b=0\), ecuația nu ar mai depinde de \(x\) și \(y\). Dacă \(c=0\), ea ar fi verificată de toate punctele planului; dacă \(c\ne0\), nu ar fi verificată de niciun punct. În ambele cazuri, ea nu ar reprezenta o dreaptă.
Forma implicită este forma cea mai generală a ecuației dreptei în planul cartezian, deoarece cuprinde și dreptele verticale, care nu pot fi scrise sub forma \(y=mx+q\).
Dacă \(b\ne 0\), putem determina \(y\):
\[ by=-ax-c, \]
de unde
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
În acest caz dreapta nu este verticală, iar forma ei explicită este
\[ y=mx+q, \]
cu
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Dacă, în schimb, \(b=0\), atunci în mod necesar \(a\ne 0\), iar ecuația devine
\[ ax+c=0. \]
Determinând \(x\), obținem
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
Aceasta este ecuația unei drepte verticale.
Dacă \(a=0\), atunci în mod necesar \(b\ne 0\), iar ecuația devine
\[ by+c=0. \]
Determinând \(y\), obținem
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
Aceasta este ecuația unei drepte orizontale.
Forma implicită este deosebit de utilă deoarece permite verificarea ușoară a apartenenței unui punct la o dreaptă. Într-adevăr, un punct \(P(x_0,y_0)\) aparține dreptei \(ax+by+c=0\) dacă și numai dacă
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
În plus, pornind de la forma punct-pantă
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
se poate obține o formă implicită trecând toți termenii în membrul întâi:
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
adică
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Semnificația geometrică a pantei
Panta unei drepte neverticale măsoară raportul dintre variația ordonatei și variația abscisei. Dacă dreapta trece prin două puncte distincte
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
cu \(x_1\ne x_2\), atunci panta este
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Această formulă arată cum variază \(y\) în raport cu variația lui \(x\). Din acest motiv, panta este numită uneori și coeficient unghiular al dreptei.
Dacă dreapta are ecuația explicită
\[ y=mx+q, \]
atunci valoarea lui \(m\) determină comportamentul geometric al dreptei.
- Dacă \(m>0\), dreapta este crescătoare: atunci când \(x\) crește, și \(y\) crește. În acest caz, dreapta formează cu semiaxa pozitivă a absciselor un unghi ascuțit.
- Dacă \(m<0\), dreapta este descrescătoare: atunci când \(x\) crește, \(y\) scade. În acest caz, dreapta formează cu semiaxa pozitivă a absciselor un unghi obtuz.
- Dacă \(m=0\), dreapta este orizontală. Într-adevăr, ecuația devine \(y=q\), astfel încât ordonata rămâne constantă atunci când \(x\) variază.
Panta este legată și de unghiul de înclinare al dreptei. Dacă \(\alpha\) este unghiul pe care dreapta îl formează cu semiaxa pozitivă a absciselor, atunci, pentru o dreaptă neverticală, are loc relația
\[ m=\tan\alpha. \]
Dreptele verticale constituie un caz particular. O dreaptă verticală are ecuația
\[ x=k. \]
În acest caz panta nu este definită, deoarece abscisa este constantă și nu este posibil să exprimăm \(y\) ca funcție de \(x\). Din punct de vedere geometric, dreapta verticală este paralelă cu axa \(y\).
Ecuația parametrică a dreptei
O dreaptă poate fi descrisă și printr-o ecuație parametrică. În această formă, coordonatele punctelor dreptei depind de un parametru real.
Să presupunem că dreapta trece printr-un punct
\[ P_0(x_0,y_0) \]
și are ca vector director un vector nenul
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Atunci o reprezentare parametrică a dreptei este
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Parametrul \(t\) indică deplasarea de-a lungul direcției vectorului \(\boldsymbol{v}\). Pe măsură ce \(t\) parcurge \(\mathbb{R}\), punctul
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
descrie toate punctele dreptei, și numai pe acestea.
Dacă sunt cunoscute două puncte distincte
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
putem alege ca vector director
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
În acest caz, o reprezentare parametrică a dreptei determinate de \(P_1\) și \(P_2\) este
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pentru \(t=0\) se obține punctul \(P_1\), în timp ce pentru \(t=1\) se obține punctul \(P_2\). Valorile lui \(t\) din intervalul \([0,1]\) descriu punctele segmentului \(P_1P_2\), în timp ce celelalte valori ale lui \(t\) descriu puncte ale dreptei situate în afara segmentului.
Forma parametrică este deosebit de utilă deoarece descrie în același mod dreptele oblice, orizontale și verticale. De exemplu, dacă vectorul director este \((0,b)\), cu \(b\ne 0\), atunci abscisa rămâne constantă și se obține o dreaptă verticală.
Dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată
Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând patru unghiuri drepte. În planul cartezian, această condiție poate fi exprimată simplu prin intermediul pantelor, cu condiția ca niciuna dintre cele două drepte să nu fie verticală.
Să presupunem că o dreaptă \(r\) are ecuația
\[ r:\ y=mx+q, \]
cu \(m\ne 0\). Atunci orice dreaptă perpendiculară pe \(r\) are panta
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
Într-adevăr, dacă două drepte neverticale au pantele \(m_1\) și \(m_2\), ele sunt perpendiculare dacă și numai dacă
\[ m_1m_2=-1. \]
Pentru a determina dreapta perpendiculară pe \(r\) care trece printr-un punct \(P_0(x_0,y_0)\), se folosește deci forma punct-pantă:
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
Punctul \(P_0(x_0,y_0)\) este pur și simplu punctul prin care trebuie să treacă dreapta perpendiculară; el nu trebuie neapărat să aparțină dreptei \(r\).
Este necesar, totuși, să distingem cazurile particulare.
- Dacă \(r\) este orizontală, ea are ecuația \(y=k\). Orice dreaptă perpendiculară pe \(r\) este verticală și are ecuația \(x=h\).
- Dacă \(r\) este verticală, ea are ecuația \(x=h\). Orice dreaptă perpendiculară pe \(r\) este orizontală și are ecuația \(y=k\).
Mai general, folosind forma implicită, dreapta
\[ ax+by+c=0 \]
are ca vector normal
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
O dreaptă perpendiculară pe aceasta are, prin urmare, o direcție paralelă cu vectorul \((a,b)\). Din acest motiv, dacă trebuie să treacă prin \(P_0(x_0,y_0)\), o posibilă ecuație parametrică a ei este
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Această descriere este utilă deoarece funcționează la fel de bine atât în cazul în care dreapta inițială este verticală, cât și atunci când este orizontală.
Probleme rezolvate despre dreaptă
Încheiem cu câteva probleme rezolvate privind ecuația dreptei. Exemplele arată cum se aplică formulele prezentate în secțiunile anterioare: ecuația determinată de două puncte, dreapta perpendiculară, panta și forma parametrică.
Problema 1. Să se determine ecuația explicită a dreptei determinate de punctele \(A(1,2)\) și \(B(3,6)\).
Calculăm panta:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Deoarece dreapta trece prin \(A(1,2)\), folosim forma punct-pantă:
\[ y-2=2(x-1). \]
Dezvoltând, obținem:
\[ y-2=2x-2, \]
de unde
\[ y=2x. \]
Ecuația dreptei căutate este, așadar,
\[ y=2x. \]
Să verificăm că ambele puncte aparțin dreptei:
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Problema 2. Să se determine ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta \(y=2x\), care trece prin punctul \(P(3,6)\).
Dreapta dată are panta
\[ m=2. \]
Deoarece dreapta căutată trebuie să fie perpendiculară pe dreapta dată, panta ei este
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Folosim acum forma punct-pantă cu punctul \(P(3,6)\):
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
Adunând \(6\) în ambii membri obținem:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
Deci
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
Ecuația explicită a dreptei căutate este
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
În formă implicită:
\[ 2y=-x+15, \]
adică
\[ x+2y-15=0. \]
Să verificăm că dreapta trece prin \(P(3,6)\):
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Problema 3. Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul \(P(3,4)\) și are unghiul de înclinare \(30^\circ\) față de semiaxa pozitivă a absciselor.
Panta unei drepte neverticale este legată de unghiul de înclinare prin relația
\[ m=\tan\alpha. \]
În acest caz \(\alpha=30^\circ\), deci
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Folosim forma punct-pantă cu \(P(3,4)\):
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
Deci
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Ecuația dreptei căutate este, așadar,
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Să verificăm că dreapta trece prin \(P(3,4)\):
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Problema 4. Să se determine ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta \(y=2x\), care trece prin punctul \(P(4,2)\).
Dreapta \(y=2x\) are panta
\[ m=2. \]
Dreapta perpendiculară are, prin urmare, panta
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
Folosind forma punct-pantă cu punctul \(P(4,2)\), obținem:
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
Dezvoltând:
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
Deci
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
Ecuația explicită a dreptei căutate este
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
În formă implicită:
\[ 2y=-x+8, \]
adică
\[ x+2y-8=0. \]
Să verificăm că dreapta trece prin \(P(4,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Problema 5. Să se scrie ecuația parametrică a dreptei determinate de \(A(3,-1)\) și \(B(4,1)\). Apoi, să se obțină ecuația carteziană corespunzătoare.
Calculăm un vector director al dreptei:
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
O reprezentare parametrică a dreptei determinate de \(A(3,-1)\), cu vectorul director \(\boldsymbol{v}=(1,2)\), este
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pentru a trece la forma carteziană, determinăm \(t\) din prima ecuație:
\[ x=3+t, \]
de unde
\[ t=x-3. \]
Înlocuind în a doua ecuație:
\[ y=-1+2(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
Așadar, forma explicită a dreptei este
\[ y=2x-7. \]
Trecând toți termenii în membrul întâi, obținem forma implicită:
\[ 2x-y-7=0. \]
Să verificăm că dreapta trece prin ambele puncte:
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
