O colecție progresivă de exerciții rezolvate pas cu pas pentru a învăța să transformăm corect ecuațiile cu modul, să distingem cazurile necesare și să verificăm soluțiile obținute.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |x|=7 \]
Rezultat
\[ x=-7 \quad \text{sau} \quad x=7 \]
Rezolvare
Dacă valoarea absolută a unui număr este egală cu \(7\), atunci numărul poate fi \(7\) sau \(-7\).
\[ |x|=7 \iff x=7 \quad \text{sau} \quad x=-7 \]
Deci: \[ \boxed{x=-7 \quad \text{sau} \quad x=7} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |x-3|=5 \]
Rezultat
\[ x=-2 \quad \text{sau} \quad x=8 \]
Rezolvare
Folosim proprietatea: \[ |A|=k \iff A=k \quad \text{sau} \quad A=-k \] cu \(k\ge 0\).
Deci: \[ x-3=5 \quad \text{sau} \quad x-3=-5 \]
Rezolvăm prima ecuație: \[ x-3=5 \Rightarrow x=8 \]
Rezolvăm a doua ecuație: \[ x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]
Prin urmare: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{sau} \quad x=8} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ |2x-1|=9 \]
Rezultat
\[ x=-4 \quad \text{sau} \quad x=5 \]
Rezolvare
Valoarea absolută este egală cu \(9\), deci expresia din interior poate fi egală cu \(9\) sau cu \(-9\).
\[ 2x-1=9 \quad \text{sau} \quad 2x-1=-9 \]
Primul caz: \[ 2x-1=9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Al doilea caz: \[ 2x-1=-9 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4 \]
Deci: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{sau} \quad x=5} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x+2|=0 \]
Rezultat
\[ x=-2 \]
Rezolvare
O valoare absolută este egală cu zero numai când expresia din interior este egală cu zero.
\[ |x+2|=0 \iff x+2=0 \]
Rezolvăm: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Deci: \[ \boxed{x=-2} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ |3x+6|=12 \]
Rezultat
\[ x=-6 \quad \text{sau} \quad x=2 \]
Rezolvare
Expresia din interiorul valorii absolute poate fi egală cu \(12\) sau cu \(-12\).
\[ 3x+6=12 \quad \text{sau} \quad 3x+6=-12 \]
Primul caz: \[ 3x+6=12 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \]
Al doilea caz: \[ 3x+6=-12 \Rightarrow 3x=-18 \Rightarrow x=-6 \]
Deci: \[ \boxed{x=-6 \quad \text{sau} \quad x=2} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x-4|=-3 \]
Rezultat
\[ \varnothing \]
Rezolvare
Valoarea absolută a oricărei expresii este întotdeauna mai mare sau egală cu zero: \[ |x-4|\ge 0 \]
Din acest motiv, ea nu poate fi niciodată egală cu un număr negativ.
Deoarece: \[ -3<0 \] ecuația este imposibilă.
Deci: \[ \boxed{\varnothing} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ |x-1|=x+3 \]
Rezultat
\[ x=-1 \]
Rezolvare
Membrul drept trebuie să fie neneg-ativ: \[ x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3 \]
Rezolvăm distingând cele două cazuri ale valorii absolute.
Primul caz: \[ x-1=x+3 \] \[ -1=3 \] imposibil.
Al doilea caz: \[ -(x-1)=x+3 \] \[ -x+1=x+3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]
Soluția găsită satisface condiția \(x\ge -3\), deci este acceptabilă.
Prin urmare: \[ \boxed{x=-1} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ |2x-5|=x+1 \]
Rezultat
\[ x=\frac{4}{3} \quad \text{sau} \quad x=6 \]
Rezolvare
Impunem mai întâi că membrul drept este neneg-ativ: \[ x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1 \]
Rezolvăm apoi cele două cazuri.
Primul caz: \[ 2x-5=x+1 \] \[ x=6 \]
Al doilea caz: \[ -(2x-5)=x+1 \] \[ -2x+5=x+1 \] \[ -3x=-4 \] \[ x=\frac{4}{3} \]
Ambele soluții satisfac condiția \(x\ge -1\).
Deci: \[ \boxed{x=\frac{4}{3} \quad \text{sau} \quad x=6} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ |x+4|=2x-1 \]
Rezultat
\[ x=5 \]
Rezolvare
Membrul drept trebuie să fie neneg-ativ: \[ 2x-1\ge 0 \] \[ x\ge \frac{1}{2} \]
Primul caz: \[ x+4=2x-1 \] \[ x=5 \]
Al doilea caz: \[ -(x+4)=2x-1 \] \[ -x-4=2x-1 \] \[ -3=3x \] \[ x=-1 \]
Soluția \(x=-1\) nu satisface condiția \(x\ge \frac{1}{2}\), deci se elimină.
Rămâne: \[ \boxed{x=5} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ |x-2|=|x+6| \]
Rezultat
\[ x=-2 \]
Rezolvare
Două valori absolute sunt egale atunci când expresiile din interior sunt egale sau opuse.
Primul caz: \[ x-2=x+6 \] \[ -2=6 \] imposibil.
Al doilea caz: \[ x-2=-(x+6) \] \[ x-2=-x-6 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]
Deci: \[ \boxed{x=-2} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ |2x+3|=|x-5| \]
Rezultat
\[ x=\frac{2}{3} \quad \text{sau} \quad x=-8 \]
Rezolvare
Rezolvăm impunând că cele două expresii sunt egale sau opuse.
Primul caz: \[ 2x+3=x-5 \] \[ x=-8 \]
Al doilea caz: \[ 2x+3=-(x-5) \] \[ 2x+3=-x+5 \] \[ 3x=2 \] \[ x=\frac{2}{3} \]
Prin urmare: \[ \boxed{x=\frac{2}{3} \quad \text{sau} \quad x=-8} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ |3x-2|=|x+4| \]
Rezultat
\[ x=3 \quad \text{sau} \quad x=-\frac{1}{2} \]
Rezolvare
Și în acest caz folosim: \[ |A|=|B| \iff A=B \quad \text{sau} \quad A=-B \]
Primul caz: \[ 3x-2=x+4 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]
Al doilea caz: \[ 3x-2=-(x+4) \] \[ 3x-2=-x-4 \] \[ 4x=-2 \] \[ x=-\frac{1}{2} \]
Deci: \[ \boxed{x=3 \quad \text{sau} \quad x=-\frac{1}{2}} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ |x-1|+|x+3|=6 \]
Rezultat
\[ x=-4 \quad \text{sau} \quad x=2 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt cele care anulează argumentele valorilor absolute: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Studiem intervalele: \[ x<-3, \quad -3\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primul interval: \(x<-3\). Pe acest interval ambele expresii sunt negative: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=-(x+3) \] Deci: \[ -x+1-x-3=6 \] \[ -2x-2=6 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Soluția aparține intervalului \(x<-3\), deci este validă.
Al doilea interval: \(-3\le x<1\). Pe acest interval: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=x+3 \] Deci: \[ -x+1+x+3=6 \] \[ 4=6 \] imposibil.
Al treilea interval: \(x\ge 1\). Pe acest interval ambele expresii sunt neneg-ative: \[ |x-1|=x-1, \qquad |x+3|=x+3 \] Deci: \[ x-1+x+3=6 \] \[ 2x+2=6 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Soluția aparține intervalului \(x\ge 1\), deci este validă.
Prin urmare: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{sau} \quad x=2} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ |x+2|+|x-4|=10 \]
Rezultat
\[ x=-4 \quad \text{sau} \quad x=6 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Considerăm intervalele: \[ x<-2, \quad -2\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primul interval: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+4=10 \] \[ -2x+2=10 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Validă deoarece \(x<-2\).
Al doilea interval: \(-2\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+4=10 \] \[ 6=10 \] imposibil.
Al treilea interval: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-4=10 \] \[ 2x-2=10 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Validă deoarece \(x\ge 4\).
Deci: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{sau} \quad x=6} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ |2x-1|+|x+2|=8 \]
Rezultat
\[ x=-3 \quad \text{sau} \quad x=\frac{7}{3} \]
Rezolvare
Determinăm punctele critice: \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \] \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Intervalele de studiat sunt: \[ x<-2, \quad -2\le x<\frac{1}{2}, \quad x\ge \frac{1}{2} \]
Primul interval: \(x<-2\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=-(x+2) \] \[ -2x+1-x-2=8 \] \[ -3x-1=8 \] \[ -3x=9 \] \[ x=-3 \] Validă deoarece \(x<-2\).
Al doilea interval: \(-2\le x<\frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=x+2 \] \[ -2x+1+x+2=8 \] \[ -x+3=8 \] \[ x=-5 \] Nu aparține intervalului \(-2\le x<\frac{1}{2}\), deci se elimină.
Al treilea interval: \(x\ge \frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \] \[ 2x-1+x+2=8 \] \[ 3x+1=8 \] \[ 3x=7 \] \[ x=\frac{7}{3} \] Validă deoarece \(x\ge \frac{1}{2}\).
Prin urmare: \[ \boxed{x=-3 \quad \text{sau} \quad x=\frac{7}{3}} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ |x-2|+|x+1|=3 \]
Rezultat
\[ -1\le x\le 2 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ x=-1, \qquad x=2 \]
Studiem cele trei intervale: \[ x<-1, \quad -1\le x<2, \quad x\ge 2 \]
Primul interval: \(x<-1\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+2-x-1=3 \] \[ -2x+1=3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \] Această valoare nu aparține intervalului \(x<-1\), deci nu se acceptă în acest caz.
Al doilea interval: \(-1\le x<2\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+2+x+1=3 \] \[ 3=3 \] Identitatea este adevărată pentru orice valoare din interval.
Prin urmare sunt soluții toate valorile: \[ -1\le x<2 \]
Al treilea interval: \(x\ge 2\). \[ |x-2|=x-2, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-2+x+1=3 \] \[ 2x-1=3 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Validă deoarece \(x\ge 2\).
Reunind rezultatele: \[ \boxed{-1\le x\le 2} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ |x-3|-|x+1|=2 \]
Rezultat
\[ x=0 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ x=-1, \qquad x=3 \]
Studiem intervalele: \[ x<-1, \quad -1\le x<3, \quad x\ge 3 \]
Primul interval: \(x<-1\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+3-(-x-1)=2 \] \[ -x+3+x+1=2 \] \[ 4=2 \] imposibil.
Al doilea interval: \(-1\le x<3\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+3-(x+1)=2 \] \[ -2x+2=2 \] \[ -2x=0 \] \[ x=0 \] Validă deoarece \(0\in[-1,3)\).
Al treilea interval: \(x\ge 3\). \[ |x-3|=x-3, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-3-(x+1)=2 \] \[ -4=2 \] imposibil.
Verificăm soluția prin substituție: \[ |0-3|-|0+1|=3-1=2 \;\checkmark \]
Deci: \[ \boxed{x=0} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ |2x+1|-|x-4|=3 \]
Rezultat
\[ x=-8 \quad \text{sau} \quad x=2 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Studiem intervalele: \[ x<-\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primul interval: \(x<-\frac{1}{2}\). \[ |2x+1|=-(2x+1), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -2x-1-(-x+4)=3 \] \[ -2x-1+x-4=3 \] \[ -x-5=3 \] \[ x=-8 \] Validă deoarece \(-8<-\frac{1}{2}\).
Al doilea interval: \(-\frac{1}{2}\le x<4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ 2x+1-(-x+4)=3 \] \[ 2x+1+x-4=3 \] \[ 3x-3=3 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Validă deoarece \(2\in\left[-\frac{1}{2},4\right)\).
Al treilea interval: \(x\ge 4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ 2x+1-(x-4)=3 \] \[ x+5=3 \] \[ x=-2 \] Nu aparține intervalului \(x\ge 4\), deci se elimină.
Verificăm soluțiile prin substituție: \[ x=-8: \quad |-15|-|-12|=15-12=3 \;\checkmark \] \[ x=2: \quad |5|-|-2|=5-2=3 \;\checkmark \]
Prin urmare: \[ \boxed{x=-8 \quad \text{sau} \quad x=2} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ |x-1|+|2x+4|=9 \]
Rezultat
\[ x=-4 \quad \text{sau} \quad x=2 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 \]
Studiem intervalele: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primul interval: \(x<-2\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=-(2x+4) \] \[ -x+1-2x-4=9 \] \[ -3x-3=9 \] \[ -3x=12 \] \[ x=-4 \] Validă deoarece \(x<-2\).
Al doilea interval: \(-2\le x<1\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ -x+1+2x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Nu aparține intervalului \(-2\le x<1\), deci se elimină.
Al treilea interval: \(x\ge 1\). \[ |x-1|=x-1, \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ x-1+2x+4=9 \] \[ 3x+3=9 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Validă deoarece \(x\ge 1\).
Deci: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{sau} \quad x=2} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ |x+2|+|x-1|+|x-4|=9 \]
Rezultat
\[ x=-2 \quad \text{sau} \quad x=4 \]
Rezolvare
Punctele critice sunt: \[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=4 \]
Studiem intervalele: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad 1\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primul interval: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+1-x+4=9 \] \[ -3x+3=9 \] \[ -3x=6 \] \[ x=-2 \] Această valoare nu aparține intervalului \(x<-2\), dar va fi verificată în intervalul următor.
Al doilea interval: \(-2\le x<1\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+1-x+4=9 \] \[ -x+7=9 \] \[ x=-2 \] Validă deoarece \(-2\in[-2,1)\).
Al treilea interval: \(1\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2+x-1-x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Această valoare nu aparține intervalului \(1\le x<4\), dar va fi verificată în intervalul următor.
Al patrulea interval: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-1+x-4=9 \] \[ 3x-3=9 \] \[ 3x=12 \] \[ x=4 \] Validă deoarece \(x\ge 4\).
Prin urmare: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{sau} \quad x=4} \]