Exerciții rezolvate cu ecuații de gradul al doilea: de la noțiunile de bază la cazurile mai complexe. Învață să folosești discriminantul (\( \Delta \)), formula completă și cea redusă prin rezolvări pas cu pas. Include analiza rădăcinilor reale distincte, duble sau absența soluțiilor reale, simplificarea radicalilor și gestionarea formei standard.
Exercițiul 1— nivel ★☆☆☆☆
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
Ecuația este deja în forma standard \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = 3 \]
Discriminantul
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
Formula redusă
Deoarece \(b = -4 = 2k\), avem \(k = -2\). Formula redusă este: \[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]
\[ k^2 - ac = 4 - 3 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{1}}{1} = 2 \pm 1 \]
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = 1} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = 2 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 8 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \qquad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]
Formula redusă
\(b = -6 = 2k\), deci \(k = -3\): \[ k^2 - ac = 9 - 8 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{1} = 3 \pm 1 \]
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = 2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 4 \qquad x_2 = 2} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 1 \qquad x_2 = -3 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
Formula redusă
\(b = 2 = 2k\), deci \(k = 1\): \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-3) = 1 + 3 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{1} = -1 \pm 2 \]
\[ x_1 = 1 \qquad x_2 = -3 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 1 \qquad x_2 = -3} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = -8 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \qquad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
Formula redusă
\(b = -2 = 2k\), deci \(k = -1\): \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-8) = 1 + 8 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{1} = 1 \pm 3 \]
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 4 \qquad x_2 = -2} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = x_2 = -2 \quad \text{(rădăcină dublă)} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = 4, \quad c = 4 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Deoarece \(\Delta = 0\), ecuația are o rădăcină dublă.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Formula redusă
\(b = 4 = 2k\), deci \(k = 2\): \[ k^2 - ac = 4 - 4 = 0 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{1} = -2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = x_2 = -2} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = x_2 = 3 \quad \text{(rădăcină dublă)} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 9 \]
Observație
Se observă că \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\): este pătratul unui binom. Prin urmare, ne așteptăm la o rădăcină dublă.
Discriminantul
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Formula redusă
\(b = -6 = 2k\), deci \(k = -3\): \[ k^2 - ac = 9 - 9 = 0 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{0}}{1} = 3 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = x_2 = 3} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 2 \qquad x_2 = 1 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 2, \quad b = -6, \quad c = 4 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2}{4} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 2}{4} = 2 \qquad x_2 = \frac{6 - 2}{4} = 1 \]
Formula redusă
\(b = -6 = 2k\), deci \(k = -3\): \[ k^2 - ac = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \]
\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 2 \qquad x_2 = 1} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 + 2x + 5 = 0 \]
Rezultat
Ecuația nu are soluții reale (\(\Delta < 0\)).
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \]
Deoarece \(\Delta < 0\), ecuația nu are soluții reale. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în mulțimea numerelor reale.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} \]
Expresia \(\sqrt{-16}\) nu este reală: aceasta confirmă absența soluțiilor.
Formula redusă
\(b = 2 = 2k\), deci \(k = 1\): \[ k^2 - ac = 1 - 5 = -4 \]
Și prin formula redusă valoarea de sub radical este negativă, confirmând absența soluțiilor reale.
Rezultat
\[ \boxed{\Delta = -16 < 0 \implies \text{nicio soluție reală}} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 3, \quad b = -12, \quad c = 9 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 144 - 108 = 36 \]
Deoarece \(\Delta > 0\), ecuația are două soluții reale și distincte.
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 6}{6} \]
\[ x_1 = \frac{12 + 6}{6} = 3 \qquad x_2 = \frac{12 - 6}{6} = 1 \]
Formula redusă
\(b = -12 = 2k\), deci \(k = -6\): \[ k^2 - ac = 36 - 3 \cdot 9 = 36 - 27 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{3} = \frac{6 \pm 3}{3} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 3}{3} = 3 \qquad x_2 = \frac{6 - 3}{3} = 1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = 1} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 6 \qquad x_2 = 2 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -8, \quad c = 12 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]
Formula redusă
\(b = -8 = 2k\), deci \(k = -4\): \[ k^2 - ac = 16 - 12 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{1} = 4 \pm 2 \]
\[ x_1 = 6 \qquad x_2 = 2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 6 \qquad x_2 = 2} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 8x + 6 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = -1 \qquad x_2 = -3 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 2, \quad b = 8, \quad c = 6 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm 4}{4} \]
\[ x_1 = \frac{-8 + 4}{4} = -1 \qquad x_2 = \frac{-8 - 4}{4} = -3 \]
Formula redusă
\(b = 8 = 2k\), deci \(k = 4\): \[ k^2 - ac = 16 - 2 \cdot 6 = 16 - 12 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \qquad x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = -1 \qquad x_2 = -3} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 10x + 16 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 8 \qquad x_2 = 2 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -10, \quad c = 16 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{10 + 6}{2} = 8 \qquad x_2 = \frac{10 - 6}{2} = 2 \]
Formula redusă
\(b = -10 = 2k\), deci \(k = -5\): \[ k^2 - ac = 25 - 16 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{1} = 5 \pm 3 \]
\[ x_1 = 8 \qquad x_2 = 2 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 8 \qquad x_2 = 2} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = -1 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 3, \quad b = -6, \quad c = -9 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 12}{6} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 12}{6} = 3 \qquad x_2 = \frac{6 - 12}{6} = -1 \]
Formula redusă
\(b = -6 = 2k\), deci \(k = -3\): \[ k^2 - ac = 9 - 3 \cdot (-9) = 9 + 27 = 36 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{36}}{3} = \frac{3 \pm 6}{3} \]
\[ x_1 = \frac{3 + 6}{3} = 3 \qquad x_2 = \frac{3 - 6}{3} = -1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = -1} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = -1 \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 2, \quad b = -4, \quad c = -6 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]
\[ x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3 \qquad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]
Formula redusă
\(b = -4 = 2k\), deci \(k = -2\): \[ k^2 - ac = 4 - 2 \cdot (-6) = 4 + 12 = 16 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = -1} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 + 6x + 2 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = -3 + \sqrt{7} \qquad x_2 = -3 - \sqrt{7} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = 6, \quad c = 2 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 = 4 \cdot 7 \]
Se simplifică \(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7} \]
Formula redusă
\(b = 6 = 2k\), deci \(k = 3\): \[ k^2 - ac = 9 - 2 = 7 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{1} = -3 \pm \sqrt{7} \]
Formula redusă conduce direct la rezultat, fără a fi necesară simplificarea radicalului.
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = -3 + \sqrt{7} \qquad x_2 = -3 - \sqrt{7}} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ 2x^2 - 4x - 1 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \qquad x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 2, \quad b = -4, \quad c = -1 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24 = 4 \cdot 6 \]
Se simplifică \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \]
Formula redusă
\(b = -4 = 2k\), deci \(k = -2\): \[ k^2 - ac = 4 - 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \]
Formula redusă evită simplificarea lui \(\sqrt{24}\) și furnizează direct rezultatul.
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \qquad x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 2x - 5 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = 1 + \sqrt{6} \qquad x_2 = 1 - \sqrt{6} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = -5 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 = 4 \cdot 6 \]
Se simplifică \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \]
Formula redusă
\(b = -2 = 2k\), deci \(k = -1\): \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 \]
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{1} = 1 \pm \sqrt{6} \]
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = 1 + \sqrt{6} \qquad x_2 = 1 - \sqrt{6}} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ 3x^2 + 6x - 1 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} \qquad x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 3, \quad b = 6, \quad c = -1 \]
Discriminantul
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 + 12 = 48 = 16 \cdot 3 \]
Se simplifică \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3} \]
Formula redusă
\(b = 6 = 2k\), deci \(k = 3\): \[ k^2 - ac = 9 - 3 \cdot (-1) = 9 + 3 = 12 = 4 \cdot 3 \]
Se simplifică \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\): \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3} \]
Formula redusă înjumătățește calculul discriminantului: în loc de \(\Delta = 48\) se lucrează cu \(k^2 - ac = 12\), mai ușor de manevrat.
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} \qquad x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ 2x^2 - 8x + 3 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{10}}{2} \qquad x_2 = \frac{4 - \sqrt{10}}{2} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 2, \quad b = -8, \quad c = 3 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40 = 4 \cdot 10 \]
Se simplifică \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2} \]
Formula redusă
\(b = -8 = 2k\), deci \(k = -4\): \[ k^2 - ac = 16 - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10 \]
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2} \]
Și aici formula redusă se dovedește mai eficientă: valoarea de sub radical este \(10\) în loc de \(40\), simplificarea devenind imediată.
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{4 + \sqrt{10}}{2} \qquad x_2 = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}} \]
Exercițiul 20 din — nivel ★★★★★
\[ 5x^2 - 10x + 3 = 0 \]
Rezultat
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{5} \qquad x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{5} \]
Rezolvare
Forma standard și coeficienții
\[ a = 5, \quad b = -10, \quad c = 3 \]
Discriminantul
\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 100 - 60 = 40 = 4 \cdot 10 \]
Se simplifică \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
Formula completă
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{10} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{5} \]
Formula redusă
\(b = -10 = 2k\), deci \(k = -5\): \[ k^2 - ac = 25 - 5 \cdot 3 = 25 - 15 = 10 \]
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{5} \]
Cu formula redusă, discriminantul redus este \(10\) în loc de \(40\): rezultatul se citește direct, fără simplificări suplimentare.
Rezultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{5} \qquad x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{5}} \]