Un ghid practic despre ecuațiile de gradul întâi cu rezolvări detaliate: învață să izolezi necunoscuta, să folosești c.m.m.m.c. și să lucrezi cu paranteze. Include verificarea rezultatelor și analiza ecuațiilor determinate, incompatibile sau nedeterminate.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 2x + 5 = 11 \]
Rezultat
\[ x = 3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Pentru a rezolva o ecuație de gradul întâi se izolează necunoscuta: se trec termenii liberi în membrul drept și se împarte la coeficientul necunoscutei.
Izolarea necunoscutei
Scădem \(5\) din ambii membri:
\[ 2x = 11 - 5 = 6 \]
Împărțirea la coeficient
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]
Verificare
\[ 2 \cdot 3 + 5 = 11 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 3x - 7 = 2 \]
Rezultat
\[ x = 3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se trece termenul liber în membrul drept și se împarte la coeficientul necunoscutei.
Izolarea necunoscutei
Adunăm \(7\) la ambii membri:
\[ 3x = 2 + 7 = 9 \]
Împărțirea la coeficient
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
Verificare
\[ 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ 5x = -20 \]
Rezultat
\[ x = -4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Ecuația este deja în forma \(ax = b\): este suficient să împărțim ambii membri la coeficientul necunoscutei.
Împărțirea la coeficient
\[ x = \frac{-20}{5} = -4 \]
Verificare
\[ 5 \cdot (-4) = -20 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = -4} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 4x + 3 = 2x + 11 \]
Rezultat
\[ x = 4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Necunoscuta apare în ambii membri. Se grupează termenii cu \(x\) în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
Gruparea termenilor în \(x\)
Scădem \(2x\) din ambii membri:
\[ 2x + 3 = 11 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 2x = 8 \implies x = 4 \]
Verificare
\[ 4 \cdot 4 + 3 = 19 \qquad 2 \cdot 4 + 11 = 19 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ 7x - 5 = 3x + 7 \]
Rezultat
\[ x = 3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se grupează termenii cu \(x\) în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
Gruparea termenilor în \(x\)
Scădem \(3x\) din ambii membri:
\[ 4x - 5 = 7 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 4x = 12 \implies x = 3 \]
Verificare
\[ 7 \cdot 3 - 5 = 16 \qquad 3 \cdot 3 + 7 = 16 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ 3(x + 4) = 18 \]
Rezultat
\[ x = 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Mai întâi se elimină paranteza distribuind factorul \(3\), apoi se izolează necunoscuta.
Desfacerea parantezei
\[ 3x + 12 = 18 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 3x = 6 \implies x = 2 \]
Verificare
\[ 3(2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2(3x - 1) = 4(x + 2) \]
Rezultat
\[ x = 5 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se desfac ambele paranteze, după care se grupează termenii cu \(x\) în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
Desfacerea parantezelor
\[ 6x - 2 = 4x + 8 \]
Grupare și izolare
\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]
Verificare
\[ 2(3 \cdot 5 - 1) = 2 \cdot 14 = 28 \qquad 4(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
\[ \frac{x}{2} + 3 = 7 \]
Rezultat
\[ x = 8 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se izolează mai întâi termenul fracționar, apoi se înmulțește cu numitorul.
Izolarea termenului fracționar
\[ \frac{x}{2} = 4 \]
Eliminarea numitorului
Înmulțim ambii membri cu \(2\):
\[ x = 8 \]
Verificare
\[ \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 5 \]
Rezultat
\[ x = 10 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Pentru a elimina numitorii, se înmulțește totul cu cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al lui \(3\) și \(6\), care este \(6\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 5 \implies 2x + x = 30 \]
Grupare și soluție
\[ 3x = 30 \implies x = 10 \]
Verificare
\[ \frac{10}{3} + \frac{10}{6} = \frac{20}{6} + \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} \]
Rezultat
\[ x = 8 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se înmulțește totul cu c.m.m.m.c. al numitorilor, care este \(6\), pentru a elimina fracțiile.
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 2(2x-1) = 3(x+2) \]
Desfacere și reducere
\[ 4x - 2 = 3x + 6 \implies x = 8 \]
Verificare
\[ \frac{2 \cdot 8 - 1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \qquad \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ 5(x - 2) - 3(x + 1) = 7 \]
Rezultat
\[ x = 10 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se desfac ambele paranteze, acordând atenție semnului celui de-al doilea termen, după care se simplifică.
Desfacerea parantezelor
\[ 5x - 10 - 3x - 3 = 7 \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ 2x - 13 = 7 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 2x = 20 \implies x = 10 \]
Verificare
\[ 5(10 - 2) - 3(10 + 1) = 40 - 33 = 7 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x + 1}{4} - \frac{x - 1}{6} = 1 \]
Rezultat
\[ x = 7 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(4\) și \(6\) este \(12\). Se înmulțește totul cu \(12\) pentru a elimina fracțiile.
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 3(x+1) - 2(x-1) = 12 \]
Desfacere și reducere
\[ 3x + 3 - 2x + 2 = 12 \implies x + 5 = 12 \implies x = 7 \]
Verificare
\[ \frac{7+1}{4} - \frac{7-1}{6} = \frac{8}{4} - \frac{6}{6} = 2 - 1 = 1 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 7} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x - 2(x - 4) = 3(x + 2) - 6 \]
Rezultat
\[ x = 4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se desfac parantezele în ambii membri, după care se grupează termenii cu \(x\) în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
Desfacerea în ambii membri
\[ 3x - 2x + 8 = 3x + 6 - 6 \implies x + 8 = 3x \]
Izolarea necunoscutei
\[ 8 = 2x \implies x = 4 \]
Verificare
\[ 3 \cdot 4 - 2(4-4) = 12 \qquad 3(4+2) - 6 = 12 \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{3x - 2}{5} + \frac{x + 1}{2} = \frac{7x - 1}{10} + 1 \]
Rezultat
\[ x = 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(5\), \(2\) și \(10\) este \(10\). Se înmulțește totul cu \(10\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 2(3x-2) + 5(x+1) = (7x-1) + 10 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 6x - 4 + 5x + 5 = 7x + 9 \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ 11x + 1 = 7x + 9 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \]
Verificare
\[ \frac{3 \cdot 2-2}{5} + \frac{2+1}{2} = \frac{4}{5} + \frac{3}{2} = \frac{8}{10} + \frac{15}{10} = \frac{23}{10} \]
\[ \frac{7 \cdot 2-1}{10} + 1 = \frac{13}{10} + \frac{10}{10} = \frac{23}{10} \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ 4(2x + 1) - 3(x - 2) = 2(x + 5) + 7 \]
Rezultat
\[ x = \dfrac{7}{3} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se desfac toate parantezele în ambii membri, după care se adună termenii asemenea.
Desfacerea parantezelor
\[ 8x + 4 - 3x + 6 = 2x + 10 + 7 \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ 5x + 10 = 2x + 17 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \]
Verificare
\[ 4\!\left(\frac{14}{3}+1\right) - 3\!\left(\frac{7}{3}-2\right) = 4 \cdot \frac{17}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{68-3}{3} = \frac{65}{3} \]
\[ 2\!\left(\frac{7}{3}+5\right)+7 = \frac{44}{3}+\frac{21}{3} = \frac{65}{3} \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = \frac{7}{3}} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{5} = \frac{x}{10} - 2 \]
Rezultat
Ecuație incompatibilă — nicio soluție.
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(2\), \(5\) și \(10\) este \(10\). Se înmulțește totul cu \(10\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 5(x-3) - 2(2x+1) = x - 20 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 5x - 15 - 4x - 2 = x - 20 \implies x - 17 = x - 20 \]
Analiza rezultatului
Scădem \(x\) din ambii membri:
\[ -17 = -20 \]
Aceasta este o contradicție: ecuația este incompatibilă și nu admite nicio soluție.
Rezultat
\[ \boxed{\text{Ecuație incompatibilă — nicio soluție}} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ 3(x + 2) - 2(x + 3) = x \]
Rezultat
Ecuație nedeterminată — infinitate de soluții (\(x \in \mathbb{R}\)).
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se desfac parantezele și se adună termenii asemenea.
Desfacerea parantezelor
\[ 3x + 6 - 2x - 6 = x \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ x = x \]
Analiza rezultatului
Ecuația se reduce la o identitate adevărată pentru orice valoare a lui \(x\). Este vorba de o ecuație nedeterminată: orice număr real este soluție.
Rezultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R} \quad \text{(infinitate de soluții)}} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} + \frac{x}{6} = \frac{5x + 3}{12} + 1 \]
Rezultat
\[ x = \dfrac{5}{2} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(3\), \(4\), \(6\) și \(12\) este \(12\). Se înmulțește totul cu \(12\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 4(2x+1) - 3(x-2) + 2x = (5x+3) + 12 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 8x + 4 - 3x + 6 + 2x = 5x + 15 \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ 7x + 10 = 5x + 15 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
Verificare
\[ \frac{2 \cdot \frac{5}{2}+1}{3} - \frac{\frac{5}{2}-2}{4} + \frac{\frac{5}{2}}{6} = \frac{6}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4} + \frac{5}{12} = 2 - \frac{1}{8} + \frac{5}{12} \]
\[ = \frac{48}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{55}{24} \]
\[ \frac{5 \cdot \frac{5}{2}+3}{12} + 1 = \frac{\frac{31}{2}}{12} + 1 = \frac{31}{24} + \frac{24}{24} = \frac{55}{24} \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = \frac{5}{2}} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \frac{3(x-1)}{4} - \frac{2(x+3)}{6} = \frac{x-5}{12} + \frac{1}{3} \]
Rezultat
\[ x = 5 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(4\), \(6\), \(12\) și \(3\) este \(12\). Se înmulțește totul cu \(12\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 3 \cdot 3(x-1) - 2 \cdot 2(x+3) = (x-5) + 4 \]
\[ 9(x-1) - 4(x+3) = x - 1 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 9x - 9 - 4x - 12 = x - 1 \implies 5x - 21 = x - 1 \]
Izolarea necunoscutei
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Verificare
\[ \frac{3(5-1)}{4} - \frac{2(5+3)}{6} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5-5}{12} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \frac{x+2}{3} - \frac{3x-1}{9} + \frac{2(x-3)}{6} = \frac{5x+1}{18} + \frac{1}{2} \]
Rezultat
\[ x = 14 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
C.m.m.m.c. al lui \(3\), \(9\), \(6\), \(18\) și \(2\) este \(18\). Se înmulțește totul cu \(18\).
Înmulțirea cu c.m.m.m.c.
\[ 6(x+2) - 2(3x-1) + 6(x-3) = (5x+1) + 9 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 6x + 12 - 6x + 2 + 6x - 18 = 5x + 10 \]
Reducerea termenilor asemenea
\[ 6x - 4 = 5x + 10 \]
Izolarea necunoscutei
\[ x = 14 \]
Verificare
\[ \frac{16}{3} - \frac{41}{9} + \frac{22}{6} = \frac{48}{9} - \frac{41}{9} + \frac{33}{9} = \frac{40}{9} \]
\[ \frac{71}{18} + \frac{9}{18} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} \checkmark \]
Rezultat
\[ \boxed{x = 14} \]