Ecuații de Gradul Întâi: Formule, Demonstrații și Exemple

O ecuație de gradul întâi este un polinom de gradul întâi egalat cu zero. În general, o ecuație este de gradul întâi dacă poate fi scrisă în forma canonică:

\[ ax + b = 0 \quad \text{cu} \quad a \neq 0 \]

Partea situată în stânga semnului de egalitate se numește primul membru, iar cea din dreapta se numește al doilea membru. 

Cuprins

• Cum se rezolvă o ecuație de gradul întâi
• Primul principiu de echivalență
• Al doilea principiu de echivalență
• Exerciții rezolvate
• Greșeli frecvente de evitat
• Semnificație geometrică

A rezolva o ecuație de gradul întâi înseamnă a determina valoarea care, substituită în locul necunoscutei \( x \), satisface ecuația. Cu alte cuvinte, valoarea găsită (soluția ecuației) trebuie să facă adevărată egalitatea. Procesul de rezolvare presupune câțiva pași, numiți principii de echivalență ale ecuațiilor.

Primul principiu de echivalență afirmă că, adăugând sau scăzând aceeași cantitate sau expresie algebrică din ambii membri ai unei ecuații, mulțimea soluțiilor rămâne neschimbată.

Datorită acestui principiu, putem scădea cantitatea \( b \) din ambii membri:

\[ ax = -b \]

Remarcăm că a aduna sau a scădea o cantitate din ambii membri echivalează cu a „transfera" un termen dintr-un membru în celălalt, cu condiția să îi schimbăm semnul. În acest pas, am trecut \( b \) în membrul al doilea cu semnul schimbat, obținând \( -b \).

Al doilea principiu de echivalență afirmă că, înmulțind sau împărțind ambii membri ai unei ecuații cu același număr nenul, mulțimea soluțiilor nu se modifică. 

Aplicând acest principiu ecuației echivalente \( ax = -b \), adică împărțind ambii membri prin \( a \neq 0 \), obținem:

\[ x = -\frac{b}{a} \]

Este esențial ca \( a \) să fie diferit de zero pentru ca ecuația să aibă sens. Într-adevăr, dacă \( a = 0 \), ecuația ar deveni \( 0 \cdot x + b = 0 \), adică \( b = 0 \), ceea ce nu mai reprezintă o ecuație în \( x \) și ar fi imposibil de satisfăcut dacă \( b \neq 0 \).

De acum înainte, scopul va fi întotdeauna izolarea necunoscutei \( x \) în primul sau al doilea membru (ordinea nu contează).

Exercițiul 1. Să se rezolve ecuația \( 3x - 1 = 0\).

Soluție. Trecem \( -1 \) în membrul al doilea, schimbându-i semnul:

\[ 3x = 1 \]

Împărțind ambii membri prin \( 3 \), obținem soluția căutată:

\[ x = \frac{1}{3} \]

Verificare. Pentru a confirma corectitudinea soluției, substituim valoarea găsită în ecuația inițială:

\[ 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \]

Soluția este corectă.

Exercițiul 2: Să se rezolve ecuația de gradul întâi \(\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)=-x+1\).

Soluție. Începem prin a elimina paranteza, aplicând proprietatea distributivă:

\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \implies \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = -x + 1 \]

Adunăm \(x\) la ambii membri ai ecuației:

\[ \frac{x}{2} + x - \frac{1}{2} = 1 \]

Aducem termenii cu \(x\) la același numitor:

\[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{3x}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]

Adunăm \(\displaystyle\frac{1}{2}\) la ambii membri:

\[ \frac{3x}{2} = \frac{3}{2} \]

Înmulțim ambii membri cu \(\displaystyle\frac{2}{3}\) pentru a obține \(x\):

\[ x = 1 \]

Prin urmare, soluția este \( x = 1 \).

Verificare. Substituim \( x = 1 \) în ecuația inițială:

\[ \frac{1}{2}(x - 1) = -x + 1 \]

Pentru \( x = 1 \), obținem:

\[ \frac{1}{2}(1 - 1) = -1 + 1 \]

Calculăm fiecare membru:

\[ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \quad \text{și} \quad -1 + 1 = 0 \]

Cei doi membri sunt egali, deci soluția este corectă.

Exercițiul 3. Să se rezolve ecuația \( 5(x - 2) - 3(2x + 1) = 7 - 4x \).

Soluție. Aplicăm proprietatea distributivă:

\[ 5x - 10 - 6x - 3 = 7 - 4x \]

\[ -x - 13 = 7 - 4x \]

Grupăm termenii cu \(x\) în primul membru și termenii liberi în al doilea:

\[ -x + 4x = 7 + 13 \]

\[ 3x = 20 \]

Împărțim ambii membri prin 3:

\[ x = \frac{20}{3} \]

Verificare. Substituim \(\displaystyle x = \frac{20}{3}\) în ecuația inițială:

\[ 5\left(\frac{20}{3} - 2\right) - 3\left(2\cdot\frac{20}{3} + 1\right) = 7 - 4\cdot\frac{20}{3} \]

Calculăm primul membru:

\[ 5\left(\frac{20}{3} - \frac{6}{3}\right) - 3\left(\frac{40}{3} + \frac{3}{3}\right) = 5\cdot\frac{14}{3} - 3\cdot\frac{43}{3} = \frac{70}{3} - \frac{129}{3} = -\frac{59}{3} \]

Calculăm al doilea membru:

\[ 7 - 4\cdot\frac{20}{3} = \frac{21}{3} - \frac{80}{3} = -\frac{59}{3} \]

Cei doi membri sunt egali, deci soluția este verificată:

\[ x = \frac{20}{3} \]

Atunci când se rezolvă ecuații de gradul întâi, este important să se acorde atenție câtorva greșeli des întâlnite:

Schimbarea greșită a semnului: Când se mută un termen dintr-un membru în celălalt, trebuie să i se schimbe semnul. De exemplu, în ecuația \(2x + 3 = 5\), mutând termenul \( 3 \) obținem \(2x = 5 - 3\), nu \(2x = 5 + 3\).

Distributivitate incompletă: Într-o expresie de forma \(3(x + 2)\), coeficientul \( 3 \) trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteză. O greșeală frecventă este scrierea \(3x + 2\) în loc de rezultatul corect \(3x + 6\).

Greșeli cu fracțiile: Într-o ecuație de tipul \(\displaystyle \frac{x}{2} = 3\), pentru a izola \(x\) trebuie înmulțiți ambii membri cu 2, obținând \(x = 6\). Este greșit să se scrie \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\).

Reducerea incompletă a termenilor asemenea: Într-o ecuație de forma \(2x - x = 5\), nu trebuie omis pasul de reducere a termenilor asemenea înainte de a continua. Forma corectă este \(x = 5\).

Omiterea verificării: Sărind peste etapa de verificare se riscă neobservarea unor erori de calcul. Este întotdeauna recomandat să se substituie soluția găsită în ecuația de plecare, pentru a confirma că este corectă.

A rezolva o ecuație de gradul întâi \( ax + b = 0\) înseamnă a determina valoarea pentru care dreapta de ecuație

\[ y = ax + b \]

intersectează axa absciselor (axa \( Ox \)). De exemplu, dreapta de ecuație \( y = 2x - 1 \)

intersectează axa \( Ox \) în punctul de abscisă \( x = \displaystyle \frac{1}{2} \), după cum se poate observa în figură.

Am văzut că soluția unei ecuații de gradul întâi \( ax + b = 0 \) este abscisa punctului în care dreapta intersectează axa \(Ox\). Acum ne punem o altă întrebare: cum determinăm valoarea lui \( x \) pentru care dreapta \( y = ax + b \) ia o valoare specifică, de exemplu \( y = 2 \)?

Pentru aceasta, este suficient să impunem \( y = 2 \) în ecuația dreptei. Obținem astfel \( 2 = 2x - 1 \iff 2x - 3 = 0 \), deci:

\[ x=\frac{3}{2} \]

După cum se vede în figură, soluției găsite îi corespunde ordonata \(y=2\).