Exerciții rezolvate cu ecuații iraționale: o colecție progresivă pentru a învăța să rezolvăm ecuații cu radicali. În fiecare exercițiu izolăm radicalii, ridicăm la pătrat cu atenție și verificăm întotdeauna soluțiile obținute. Această etapă de verificare este esențială, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false (numite și soluții parazite): valori care apar corect în urma calculelor algebrice, dar care nu satisfac ecuația inițială și trebuie deci eliminate.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x}=3 \]
Rezultat
\[ x=9 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalul este deja izolat. Pentru a-l elimina, ridicăm ambii membri la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x}=3 \]
Radicalul pătrat este izolat în membrul stâng.
\[ (\sqrt{x})^2=3^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri pentru a elimina radicalul.
\[ x=9 \]
Pătratul unui radical pătrat returnează radicandu.
Verificare
\[ \sqrt{9}=3 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=9} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Rezultat
\[ x=15 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalul este deja izolat. Ridicăm la pătrat și rezolvăm apoi ecuația de gradul întâi obținută.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Radicandu este \(x+1\), deci trebuie să eliminăm radicalul.
\[ (\sqrt{x+1})^2=4^2 \]
Ridicăm ambii membri la pătrat.
\[ x+1=16 \]
În urma ridicării la pătrat obținem o ecuație de gradul întâi.
Pasul 2
\[ x=16-1 \]
Scădem \(1\) din ambii membri pentru a-l izola pe \(x\).
\[ x=15 \]
Verificare
\[ \sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4 \]
Soluția satisface ecuația inițială.
Rezultat
\[ \boxed{x=15} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Rezultat
\[ x=5 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalul este izolat. Ridicăm la pătrat și rezolvăm apoi ecuația de gradul întâi.
Pasul 1
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Radicandu este \(2x-1\). Pentru a-l elibera de sub radical, ridicăm la pătrat.
\[ 2x-1=9 \]
Membrul drept devine \(3^2=9\).
Pasul 2
\[ 2x=10 \]
Adunăm \(1\) la ambii membri.
\[ x=5 \]
Împărțim ambii membri prin \(2\).
Verificare
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3 \]
Soluția este corectă.
Rezultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalul este izolat. Deoarece \(\sqrt{x}\ge0\), și membrul drept trebuie să fie nenegativ: \(x-2\ge0\), deci \(x\ge2\).
Pasul 1
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Putem ridica la pătrat deoarece radicalul este deja izolat.
\[ x=(x-2)^2 \]
Membrul stâng devine \(x\), iar membrul drept trebuie dezvoltat ca pătrat al unui binom.
Pasul 2
\[ x=x^2-4x+4 \]
Am dezvoltat \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
\[ x^2-5x+4=0 \]
Aducem toți termenii în membrul stâng pentru a obține o ecuație de gradul al doilea.
Pasul 3
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
Factorizăm trinomul căutând două numere cu produsul \(4\) și suma \(-5\): acestea sunt \(-1\) și \(-4\).
\[ (x-1)(x-4)=0 \]
Un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este nul.
\[ x=1 \quad \text{sau} \quad x=4 \]
Verificare
Pentru \(x=1\): \[ \sqrt{1}=1,\qquad 1-2=-1 \]
Cei doi membri nu sunt egali, deci \(x=1\) este o soluție falsă.
Pentru \(x=4\): \[ \sqrt{4}=2,\qquad 4-2=2 \]
Cei doi membri coincid, deci \(x=4\) este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Rezultat
\[ x=2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Membrul drept este \(x\). Deoarece un radical pătrat este întotdeauna nenegativ, trebuie să avem \(x\ge0\).
Pasul 1
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Radicalul este izolat, deci putem ridica la pătrat.
\[ x+2=x^2 \]
Ridicând la pătrat, semnul radicalului dispare.
Pasul 2
\[ x^2-x-2=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept pentru a obține o ecuație de gradul al doilea în formă standard.
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
Factorizăm trinomul: produsul trebuie să fie \(-2\) iar suma \(-1\).
\[ x=2 \quad \text{sau} \quad x=-1 \]
Aplicăm proprietatea produsului nul.
Verificare
\(x=-1\) nu poate fi acceptată deoarece nu satisface condiția \(x\ge0\).
Pentru \(x=2\): \[ \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \]
Soluția satisface ecuația inițială.
Rezultat
\[ \boxed{x=2} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Rezultat
\[ x=5 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Radicalul este deja izolat. Deoarece un radical pătrat este întotdeauna nenegativ, trebuie să fie și \(x-2\ge0\), deci \(x\ge2\).
Pasul 1
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Putem ridica la pătrat ambii membri pentru a elimina radicalul.
\[ x+4=(x-2)^2 \]
Membrul stâng devine radicandu \(x+4\), iar membrul drept este pătratul unui binom.
Pasul 2
\[ x+4=x^2-4x+4 \]
Dezvoltăm \((x-2)^2\) folosind formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ x^2-5x=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept și simplificăm \(+4\) cu \(+4\).
Pasul 3
\[ x(x-5)=0 \]
Scoatem factor comun pe \(x\).
\[ x=0 \quad \text{sau} \quad x=5 \]
Un produs este nul dacă cel puțin unul dintre factori este nul.
Verificare
\(x=0\) nu satisface condiția \(x\ge2\), deci trebuie eliminată.
Pentru \(x=5\): \[ \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3 \]
Membrul drept are valoarea: \[ 5-2=3 \]
Cei doi membri coincid, deci \(x=5\) este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Rezultat
\[ x=3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Membrul drept este \(x\). Deoarece membrul stâng este un radical pătrat, trebuie să avem \(x\ge0\). După ridicarea la pătrat, verificăm soluțiile.
Pasul 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Radicalul este izolat, deci putem ridica ambii membri la pătrat.
\[ 2x+3=x^2 \]
Ridicând la pătrat, semnul radicalului dispare.
Pasul 2
\[ x^2-2x-3=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept pentru a obține o ecuație de gradul al doilea în formă standard.
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Factorizăm trinomul: căutăm două numere cu produsul \(-3\) și suma \(-2\), adică \(-3\) și \(+1\).
Pasul 3
\[ x-3=0 \quad \text{sau} \quad x+1=0 \]
Aplicăm proprietatea produsului nul.
\[ x=3 \quad \text{sau} \quad x=-1 \]
Verificare
\(x=-1\) nu satisface condiția \(x\ge0\), deci trebuie eliminată.
Pentru \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3 \]
Membrul drept este chiar \(x=3\), deci ecuația este satisfăcută.
Rezultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Membrul drept trebuie să fie nenegativ, deoarece este egal cu un radical pătrat. Deci \(x-1\ge0\), adică \(x\ge1\).
Pasul 1
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Radicalul este izolat: ridicăm ambii membri la pătrat.
\[ x+5=(x-1)^2 \]
Semnul radicalului dispare, iar membrul drept devine pătratul unui binom.
Pasul 2
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
Dezvoltăm \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
\[ x^2-3x-4=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept pentru a obține o ecuație de gradul al doilea în formă standard.
Pasul 3
\[ x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \]
Factorizăm trinomul: produsul trebuie să fie \(-4\) iar suma \(-3\), deci numerele sunt \(-4\) și \(+1\).
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
Un produs este nul dacă cel puțin unul dintre factori este nul.
\[ x=4 \quad \text{sau} \quad x=-1 \]
Verificare
\(x=-1\) nu satisface condiția \(x\ge1\), deci trebuie eliminată.
Pentru \(x=4\): \[ \sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
Membrul drept are valoarea: \[ 4-1=3 \]
Cei doi membri coincid, deci \(x=4\) este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Rezultat
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x\ge0\). Deoarece avem doi radicali, izolăm un radical și ridicăm apoi la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Izolăm \(\sqrt{x+1}\) aducând \(\sqrt{x}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x} \]
Acum un radical este izolat și putem ridica la pătrat.
Pasul 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri. În dreapta apare pătratul unui binom.
\[ x+1=9-6\sqrt{x}+x \]
Într-adevăr, \((3-\sqrt{x})^2=9-6\sqrt{x}+x\).
Pasul 3
\[ 1=9-6\sqrt{x} \]
Scădem \(x\) din ambii membri.
\[ 6\sqrt{x}=8 \]
Aducem termenul cu radicalul în membrul stâng și termenul numeric în membrul drept.
\[ \sqrt{x}=\dfrac{4}{3} \]
Împărțim ambii membri prin \(6\).
Pasul 4
\[ x=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \]
Ridicăm din nou la pătrat pentru a elimina ultimul radical.
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Verificare
Substituim \(x=\dfrac{16}{9}\) în ecuația inițială: \[ \sqrt{\dfrac{16}{9}+1}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calculăm radicandul primului radical: \[ \sqrt{\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calculăm cele două radicale: \[ \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=3 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=\dfrac{16}{9}} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Rezultat
\[ x=3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Cei doi radicali impun \(x+6\ge0\) și \(x+1\ge0\), deci domeniul de definiție este \(x\ge-1\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Aducem \(-\sqrt{x+1}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x+1} \]
Acum radicalul \(\sqrt{x+6}\) este izolat.
Pasul 2
\[ x+6=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ x+6=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Dezvoltăm pătratul binomului \((1+\sqrt{x+1})^2\).
Pasul 3
\[ x+6=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Adunăm termenii numerici \(1+1=2\).
\[ 4=2\sqrt{x+1} \]
Scădem \(x+2\) din ambii membri.
\[ \sqrt{x+1}=2 \]
Împărțim ambii membri prin \(2\).
Pasul 4
\[ x+1=4 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina ultimul radical.
\[ x=3 \]
Scădem \(1\) din ambii membri.
Verificare
Substituim \(x=3\): \[ \sqrt{3+6}-\sqrt{3+1} \]
Calculăm radicanzii: \[ \sqrt{9}-\sqrt{4} \]
Calculăm radicalele: \[ 3-2=1 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Rezultat
\[ x=3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x\ge2\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat de două ori.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Aducem \(\sqrt{x-2}\) în membrul drept pentru a izola un radical.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2} \]
Pasul 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x-2})^2 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina primul radical.
\[ x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2 \]
Pasul 3
\[ x+1=x+7-6\sqrt{x-2} \]
Simplificăm termenii asemănători.
\[ 6\sqrt{x-2}=6 \]
\[ \sqrt{x-2}=1 \]
Pasul 4
\[ x-2=1 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina radicalul.
\[ x=3 \]
Verificare
\[ \sqrt{3+1}+\sqrt{3-2}=2+1=3 \]
Soluția este corectă.
Rezultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție este \(x\ge0\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x} \]
Izolăm un radical pentru a putea elimina semnul de radical.
Pasul 2
\[ x+5=(5-\sqrt{x})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ x+5=25-10\sqrt{x}+x \]
Pasul 3
\[ 5=25-10\sqrt{x} \]
Simplificăm scăzând \(x\) din ambii membri.
\[ 10\sqrt{x}=20 \]
\[ \sqrt{x}=2 \]
Pasul 4
\[ x=4 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina radicalul.
Verificare
\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5 \]
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{3x+4}=x+2 \]
Rezultat
\[ x=-1 \quad \text{sau} \quad x=0 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Deoarece membrul drept este \(x+2\), trebuie să avem \(x+2\ge0\). Radicalul este deja izolat.
Pasul 1
\[ 3x+4=(x+2)^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
Pasul 2
\[ 3x+4=x^2+4x+4 \]
\[ x^2+x=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept.
Pasul 3
\[ x(x+1)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{sau} \quad x=-1 \]
Verificare
Ambele soluții satisfac ecuația inițială.
Rezultat
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{sau} \quad x=0} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4 \]
Rezultat
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x\ge2\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-2} \]
Pasul 2
\[ x+2=(4-\sqrt{x-2})^2 \]
\[ x+2=16-8\sqrt{x-2}+x-2 \]
Pasul 3
\[ x+2=x+14-8\sqrt{x-2} \]
\[ 8\sqrt{x-2}=12 \]
\[ \sqrt{x-2}=\dfrac{3}{2} \]
Pasul 4
\[ x-2=\dfrac{9}{4} \]
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Verificare
\[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Rezultat
\[ \boxed{x=\dfrac{17}{4}} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1 \]
Rezultat
\[ x=16 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x\ge0\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+9}=1+\sqrt{x} \]
Pasul 2
\[ x+9=(1+\sqrt{x})^2 \]
\[ x+9=1+2\sqrt{x}+x \]
Pasul 3
\[ 9=1+2\sqrt{x} \]
\[ 2\sqrt{x}=8 \]
\[ \sqrt{x}=4 \]
Pasul 4
\[ x=16 \]
Verificare
\[ 5-4=1 \]
Rezultat
\[ \boxed{x=16} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Rezultat
\[ x=\dfrac{13}{4} \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x-1\ge0\), deci \(x\ge1\). Izolăm unul dintre cei doi radicali și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Aducem \(\sqrt{x-1}\) în membrul drept pentru a izola radicalul \(\sqrt{x+3}\).
\[ \sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1} \]
Acum un radical este izolat și putem ridica la pătrat.
Pasul 2
\[ x+3=(4-\sqrt{x-1})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri. În dreapta apare pătratul unui binom.
\[ x+3=16-8\sqrt{x-1}+x-1 \]
Dezvoltăm \((4-\sqrt{x-1})^2\): dublul produs este \(-8\sqrt{x-1}\).
Pasul 3
\[ x+3=x+15-8\sqrt{x-1} \]
Adunăm termenii numerici \(16-1=15\).
\[ 3=15-8\sqrt{x-1} \]
Scădem \(x\) din ambii membri.
\[ 8\sqrt{x-1}=12 \]
Aducem termenul cu radicalul în membrul stâng și termenul numeric în membrul drept.
\[ \sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2} \]
Împărțim ambii membri prin \(8\).
Pasul 4
\[ x-1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina ultimul radical.
\[ x-1=\dfrac{9}{4} \]
Calculăm pătratul lui \(\dfrac{3}{2}\).
\[ x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \]
Adunăm \(1\) la ambii membri.
Verificare
Substituim \(x=\dfrac{13}{4}\): \[ \sqrt{\dfrac{13}{4}+3}+\sqrt{\dfrac{13}{4}-1} \]
Calculăm radicanzii: \[ \sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt{\dfrac{9}{4}} \]
Calculăm radicalele: \[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=\dfrac{13}{4}} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Rezultat
\[ x=4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x-3\ge0\), deci \(x\ge3\). Izolăm un radical: după prima ridicare la pătrat va rămâne încă un radical, deci va trebui să ridicăm la pătrat a doua oară.
Pasul 1
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Aducem \(\sqrt{x-3}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{2x+1}=4-\sqrt{x-3} \]
În acest fel radicalul \(\sqrt{2x+1}\) este izolat.
Pasul 2
\[ 2x+1=(4-\sqrt{x-3})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ 2x+1=16-8\sqrt{x-3}+x-3 \]
Dezvoltăm pătratul binomului.
Pasul 3
\[ 2x+1=x+13-8\sqrt{x-3} \]
Adunăm termenii numerici \(16-3=13\).
\[ 8\sqrt{x-3}=12-x \]
Izolăm radicalul rămas.
Pasul 4
\[ 64(x-3)=(12-x)^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri pentru a elimina al doilea radical.
Pasul 5
\[ 64x-192=x^2-24x+144 \]
Dezvoltăm ambii membri: în stânga distribuim \(64\), în dreapta dezvoltăm \((12-x)^2\).
\[ x^2-88x+336=0 \]
Aducem toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemănători.
Pasul 6
\[ x^2-88x+336=(x-4)(x-84) \]
Factorizăm trinomul: \(4\cdot84=336\) și \(4+84=88\).
\[ (x-4)(x-84)=0 \]
Aplicăm proprietatea produsului nul.
\[ x=4 \quad \text{sau} \quad x=84 \]
Verificare
Pentru \(x=4\): \[ \sqrt{2\cdot4+1}+\sqrt{4-3} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4 \]
Deci \(x=4\) este acceptabilă.
Pentru \(x=84\): \[ \sqrt{2\cdot84+1}+\sqrt{84-3} = \sqrt{169}+\sqrt{81} = 13+9=22 \]
Rezultatul nu este \(4\), deci \(x=84\) este o soluție falsă.
Rezultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Rezultat
\[ x=12 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x+4\ge0\), deci \(x\ge-4\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Aducem \(-\sqrt{x+4}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{x+13}=1+\sqrt{x+4} \]
Acum radicalul \(\sqrt{x+13}\) este izolat.
Pasul 2
\[ x+13=(1+\sqrt{x+4})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ x+13=1+2\sqrt{x+4}+x+4 \]
Dezvoltăm pătratul binomului \((1+\sqrt{x+4})^2\).
Pasul 3
\[ x+13=x+5+2\sqrt{x+4} \]
Adunăm termenii numerici \(1+4=5\).
\[ 8=2\sqrt{x+4} \]
Scădem \(x+5\) din ambii membri.
\[ \sqrt{x+4}=4 \]
Împărțim ambii membri prin \(2\).
Pasul 4
\[ x+4=16 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina ultimul radical.
\[ x=12 \]
Scădem \(4\) din ambii membri.
Verificare
Substituim \(x=12\): \[ \sqrt{12+13}-\sqrt{12+4} \]
Calculăm radicanzii: \[ \sqrt{25}-\sqrt{16} \]
Calculăm radicalele: \[ 5-4=1 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=12} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Rezultat
\[ x=-1 \quad \text{sau} \quad x=3 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x+1\ge0\), deci \(x\ge-1\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Aducem \(-\sqrt{x+1}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1} \]
Acum radicalul \(\sqrt{2x+3}\) este izolat.
Pasul 2
\[ 2x+3=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Dezvoltăm pătratul binomului.
Pasul 3
\[ 2x+3=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Adunăm termenii numerici.
\[ x+1=2\sqrt{x+1} \]
Scădem \(x+2\) din ambii membri și izolăm expresia cu radical.
Pasul 4
Notăm: \[ t=\sqrt{x+1} \]
Această substituție este utilă deoarece în ecuație apar atât \(x+1\) cât și \(\sqrt{x+1}\). De asemenea, deoarece \(t\) este un radical pătrat, avem \(t\ge0\).
Deoarece: \[ t=\sqrt{x+1} \]
rezultă că: \[ t^2=x+1 \]
Înlocuim \(x+1\) cu \(t^2\) și \(\sqrt{x+1}\) cu \(t\).
\[ t^2=2t \]
Pasul 5
\[ t^2-2t=0 \]
Aducem toți termenii în membrul stâng.
\[ t(t-2)=0 \]
Scoatem factor comun pe \(t\).
\[ t=0 \quad \text{sau} \quad t=2 \]
Aplicăm proprietatea produsului nul.
Pasul 6
Dacă \(t=0\), atunci: \[ \sqrt{x+1}=0 \]
Ridicând la pătrat: \[ x+1=0 \implies x=-1 \]
Dacă \(t=2\), atunci: \[ \sqrt{x+1}=2 \]
Ridicând la pătrat: \[ x+1=4 \implies x=3 \]
Verificare
Pentru \(x=-1\): \[ \sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{1}-\sqrt{0} = 1-0=1 \]
Deci \(x=-1\) este acceptabilă.
Pentru \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1} = \sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1 \]
Deci și \(x=3\) este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{sau} \quad x=3} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Rezultat
\[ x=7 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Domeniul de definiție impune \(x-3\ge0\), deci \(x\ge3\). Izolăm un radical și ridicăm la pătrat.
Pasul 1
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Aducem \(\sqrt{x-3}\) în membrul drept.
\[ \sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3} \]
Acum radicalul \(\sqrt{x+9}\) este izolat.
Pasul 2
\[ x+9=(6-\sqrt{x-3})^2 \]
Ridicăm la pătrat ambii membri.
\[ x+9=36-12\sqrt{x-3}+x-3 \]
Dezvoltăm pătratul binomului \((6-\sqrt{x-3})^2\).
Pasul 3
\[ x+9=x+33-12\sqrt{x-3} \]
Adunăm termenii numerici \(36-3=33\).
\[ 9=33-12\sqrt{x-3} \]
Scădem \(x\) din ambii membri.
\[ 12\sqrt{x-3}=24 \]
Izolăm termenul cu radical.
\[ \sqrt{x-3}=2 \]
Împărțim ambii membri prin \(12\).
Pasul 4
\[ x-3=4 \]
Ridicăm la pătrat pentru a elimina ultimul radical.
\[ x=7 \]
Adunăm \(3\) la ambii membri.
Verificare
Substituim \(x=7\): \[ \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3} \]
Calculăm radicanzii: \[ \sqrt{16}+\sqrt{4} \]
Calculăm radicalele: \[ 4+2=6 \]
Egalitatea este adevărată, deci soluția este acceptabilă.
Rezultat
\[ \boxed{x=7} \]