Ecuații Logaritmice: Formule, Demonstrații și Exerciții Rezolvate

O ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta apare ca argument al cel puțin unui logaritm. Rezolvarea unor astfel de ecuații necesită nu numai stăpânirea calculului algebric, ci mai ales controlul riguros al condițiilor de existență: orice soluție obținută în mod formal trebuie verificată față de domeniul ecuației, altfel se riscă introducerea unor soluții false.

Cuprins

• Noțiuni despre Funcția Logaritmică
• Domeniul unei Ecuații Logaritmice
• Definiție și Metoda Exponențială
• Proprietăți Operaționale ale Logaritmilor
• Ecuații Logaritmice Elementare
• Ecuații cu Sumă sau Diferență de Logaritmi
• Ecuații cu Logaritmi Egali
• Ecuații cu Logaritmi de Baze Diferite
• Ecuații Rezolvabile prin Substituție
• Soluții False: Analiză și Prevenire
• Schemă Generală de Rezolvare
• Exerciții Rezolvate
• Interpretare Grafică

Înainte de a aborda ecuațiile logaritmice, este indispensabil să reamintim cu precizie proprietățile fundamentale ale funcției logaritmice, întrucât întreaga teorie de rezolvare depinde în mod direct de acestea.

Fie \( a \in \mathbb{R} \) cu \( a > 0 \) și \( a \neq 1 \). Funcția exponențială \( f_a \colon \mathbb{R} \to (0, +\infty) \), definită prin \( f_a(x) = a^x \), este strict monotonă — crescătoare dacă \( a > 1 \), descrescătoare dacă \( 0 < a < 1 \) — și deci bijectivă pe codomeniul său \( (0, +\infty) \). Inversa sa este funcția logaritmică în baza \( a \):

\[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x \]

Domeniul natural al logaritmului este \( (0, +\infty) \): logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit în \( \mathbb{R} \). Această restricție este sursa tuturor condițiilor de existență din ecuațiile logaritmice.

Funcția \( x \mapsto \log_a x \) moștenește monotonia strictă de la funcția exponențială:

• este strict crescătoare dacă \( a > 1 \);
• este strict descrescătoare dacă \( 0 < a < 1 \).

Monotonia strictă implică injectivitatea: pentru orice \( u, v \in (0, +\infty) \),

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Această echivalență constituie fundamentul logic al metodei de rezolvare a ecuațiilor cu logaritmi egali. Reamintim în final valorile remarcabile:

\[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a a^k = k \quad \forall\, k \in \mathbb{R}. \]

Domeniul unei ecuații logaritmice este mulțimea valorilor reale ale necunoscutei pentru care orice expresie din ecuație este bine definită. Deoarece logaritmul real este definit doar pentru argumente strict pozitive, pentru fiecare termen \( \log_a f_i(x) \), unde \( i \) parcurge mulțimea indicilor ce indexează toți logaritmii din ecuație, trebuie impusă condiția:

\[ f_i(x) > 0. \]

Domeniul ecuației este intersecția tuturor acestor condiții:

\[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}, \]

unde \( I \) este mulțimea indicilor logaritmilor din ecuație.

Regulă fundamentală. Odată determinate soluțiile formale prin transformări algebrice, se păstrează exclusiv cele care aparțin lui \( \mathcal{D} \). Valorile excluse din \( \mathcal{D} \) fac cel puțin un logaritm nedefinit și nu constituie soluții ale ecuației originale, indiferent dacă satisfac ecuațiile algebrice intermediare.

Este metodologic indispensabil să se determine \( \mathcal{D} \) înainte de orice manipulare algebrică: în acest fel se cunoaște în permanență mulțimea în care trebuie căutate soluțiile și se evită atribuirea de validitate unor pași care ar presupune pozitivitatea argumentelor fără a fi garantată.

Chiar definiția logaritmului furnizează metoda de rezolvare cea mai directă. Pentru \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) și \( x > 0 \), prin definiție:

\[ \log_a x = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = x. \]

Această echivalență permite transformarea ecuației logaritmice \( \log_a f(x) = k \), cu \( k \in \mathbb{R} \), în ecuația exponențială \( f(x) = a^k \), care nu mai conține logaritmi. De observat că \( f(x) > 0 \) este satisfăcută automat de orice soluție a ecuației \( f(x) = a^k \), deoarece \( a^k > 0 \) pentru orice \( k \in \mathbb{R} \) și pentru orice bază admisibilă \( a \). Cu toate acestea, această observație nu scutește de impunerea și verificarea condițiilor de domeniu stabilite în \( \mathcal{D} \): ele ar putea implica alți logaritmi prezenți în ecuația originală.

Exemplu. A se rezolva \( \log_3(x-1) = 2 \).

Domeniu. Singura condiție de existență este \( x - 1 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Rezolvare. Aplicând definiția logaritmului:

\[ x - 1 = 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. \]

Verificare. \( 10 \in (1, +\infty) \). Soluția este acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{10\} \).

Următoarele proprietăți, valabile pentru \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), pentru orice \( x, y > 0 \) și pentru orice \( n \in \mathbb{R} \), decurg direct din proprietățile corespunzătoare ale puterilor:

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \]

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x. \]

Aceste identități constituie principalul instrument pentru reducerea ecuațiilor cu mai mulți logaritmi la forme canonice rezolvabile. Aplicarea lor necesită însă respectarea riguroasă a ipotezelor de validitate.

Observație crucială. Fiecare proprietate este valabilă exclusiv pentru argumente strict pozitive:

• Proprietatea \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \) necesită \( x > 0 \) și \( y > 0 \) separat. Produsul \( xy \) poate fi pozitiv chiar și atunci când ambii factori sunt negativi; în acel caz \( \log_a(xy) \) ar fi definit, dar \( \log_a x \) și \( \log_a y \) nu ar fi. Identitatea nu este deci aplicabilă în sens invers (de la produs la sumă) fără a garanta pozitivitatea fiecărui factor.
• Proprietatea \( \log_a(x^n) = n\log_a x \) necesită \( x > 0 \). Un caz paradigmatic este \( \log_a(x^2) = 2\log_a x \): identitatea este valabilă doar pentru \( x > 0 \), în timp ce pentru \( x < 0 \) membrul stâng este definit (deoarece \( x^2 > 0 \)), iar membrul drept nu este.

Reamintim de asemenea formula de schimbare a bazei: pentru orice \( b > 0 \), \( b \neq 1 \), și pentru orice \( x > 0 \),

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

Această formulă este indispensabilă când în ecuație apar logaritmi cu baze diferite și se dorește aducerea lor la aceeași bază pentru a aplica proprietățile operaționale sau principiul injectivității. Utilizarea sa sistematică este ilustrată în secțiunea §8.

O ecuație logaritmică se numește elementară dacă este reductibilă, eventual după simple manipulări algebrice, la forma canonică:

\[ \log_a f(x) = k, \qquad k \in \mathbb{R}. \]

Metoda de rezolvare se articulează în următorii pași:

1. Determinarea domeniului: \( \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\} \).
2. Aplicarea definiției logaritmului pentru a obține \( f(x) = a^k \).
3. Rezolvarea ecuației \( f(x) = a^k \).
4. Verificarea că soluțiile aparțin lui \( \mathcal{D} \) și eliminarea eventualelor soluții false.

Exemplu. A se rezolva \( \log_{1/2}(3x - 5) = -3 \).

Domeniu. \( 3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3} \), deci \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{5}{3}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Aplicând definiția:

\[ 3x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 13 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{13}{3}. \]

Verificare. \( \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33 > \tfrac{5}{3} \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \Bigl\{\dfrac{13}{3}\Bigr\} \).

Când ecuația conține o sumă sau o diferență de logaritmi cu aceeași bază, se aplică proprietățile produsului și câtului pentru a reduce ecuația la un singur logaritm, aducând-o la forma elementară. Așa cum s-a menționat deja, condițiile de domeniu trebuie impuse argumentelor originale, nu argumentului logaritmului rezultat din combinare.

Exemplul 1. A se rezolva \( \log_2 x + \log_2(x-2) = 3 \).

Domeniu. \( x > 0 \) și \( x - 2 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Rezolvare. Aplicând proprietatea produsului:

\[ \log_2[x(x-2)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8. \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0. \]

Soluțiile formale sunt \( x = 4 \) și \( x = -2 \).

Verificare. \( x = 4 \in (2, +\infty) \): acceptată. \( x = -2 \notin (2, +\infty) \): soluție falsă, eliminată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4\} \).

Exemplul 2. A se rezolva \( \log_3(x+7) - \log_3(x-1) = 1 \).

Domeniu. \( x + 7 > 0 \) și \( x - 1 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Rezolvare. Aplicând proprietatea câtului:

\[ \log_3\!\left(\frac{x+7}{x-1}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x+7}{x-1} = 3. \]

\[ x + 7 = 3(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x + 7 = 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Verificare. \( 5 \in (1, +\infty) \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{5\} \).

Dacă ecuația are forma:

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x), \]

injectivitatea funcției \( t \mapsto \log_a t \) pe \( (0, +\infty) \) permite afirmarea că, pentru orice \( u, v \in (0, +\infty) \):

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Prin urmare, cu condiția că \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \), ecuația logaritmică este echivalentă cu ecuația algebrică \( f(x) = g(x) \). Se impune totuși o precizare logică: condițiile \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \) nu sunt echivalente în general, ci devin astfel în subordinea egalității \( f(x) = g(x) \). Mai precis: dacă \( x_0 \) satisface \( f(x_0) = g(x_0) \), atunci \( f(x_0) > 0 \Longleftrightarrow g(x_0) > 0 \), deci verificarea uneia dintre cele două condiții este suficientă pentru a garanta ambele. Din punct de vedere metodologic, este totuși mai riguros să se impună ambele condiții a priori la determinarea lui \( \mathcal{D} \), fără a se baza pe această implicație.

Exemplu. A se rezolva \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domeniu. \( x + 1 > 0 \) și \( 2x - 3 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Prin injectivitate:

\[ x + 1 = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verificare. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4\} \).

Când o ecuație conține logaritmi cu baze diferite, nu este posibil să se aplice direct principiul injectivității și nici proprietățile operaționale. Metoda standard constă în aducerea tuturor logaritmilor la aceeași bază prin formula de schimbare a bazei:

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \]

unde baza auxiliară \( b \) este aleasă astfel încât să simplifice calculele. Alegerile cele mai frecvente sunt \( b = 10 \) (logaritmul zecimal, notat \( \lg \)) sau \( b = e \) (logaritmul natural, notat \( \ln \)). În multe cazuri, totuși, este convenabil să se aleagă drept bază comună una dintre bazele deja prezente în ecuație.

Exemplu. A se rezolva \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domeniu. Ambii logaritmi necesită \( x > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. Se aduce \( \log_4 x \) la baza \( 2 \) prin schimbarea bazei:

\[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}. \]

Substituind în ecuație și notând pe scurt \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2. \]

Revenind la variabila originală: \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 \).

Verificare. \( 4 \in (0, +\infty) \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4\} \).

Exemplu. A se rezolva \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 4 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. Se aduce \( \log_9 x \) la baza \( 3 \):

\[ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}. \]

Notând \( t = \log_3 x \):

\[ t \cdot \frac{t}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t^2}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Longrightarrow \quad t = \pm 2\sqrt{2}. \]

Revenind la variabila originală:

\[ \log_3 x = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{2\sqrt{2}}, \qquad \log_3 x = -2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{-2\sqrt{2}}. \]

Verificare. Ambele valori sunt pozitive și aparțin lui \( \mathcal{D} \). Ambele soluții sunt acceptate.

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl\{3^{-2\sqrt{2}},\; 3^{2\sqrt{2}}\bigr\} \).

O clasă importantă de ecuații logaritmice este aceea în care logaritmul apare ca argument al unei expresii polinomiale. Forma tipică este:

\[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) = 0, \]

unde \( P \) este un polinom. Metoda constă în a pune \( t = \log_a f(x) \), a rezolva ecuația algebrică \( P(t) = 0 \) în \( t \) și, pentru fiecare rădăcină \( t_k \), a rezolva în final ecuația elementară \( \log_a f(x) = t_k \).

Atenție. Fiecare dintre ecuațiile \( \log_a f(x) = t_k \) trebuie rezolvată separat, cu propriul control al domeniului. Substituția \( t = \log_a f(x) \) nu introduce în sine soluții false, dar faza finală de revenire la variabila originală poate introduce soluții false, dacă nu se verifică că soluțiile obținute aparțin lui \( \mathcal{D} \).

Exemplul 1. A se rezolva \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domeniu. \( x > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_2 x \). Ecuația devine:

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ sau }\; t = 3. \]

Revenirea la variabila originală.

\[ \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 8. \]

Verificare. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambele soluții sunt acceptate.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4, 8\} \).

Exemplul 2. A se rezolva \( (\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + 3 = 0 \).

Domeniu. \( x > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Simplificare. Pentru \( x > 0 \), proprietatea puterii este aplicabilă: \( \log_3(x^4) = 4\log_3 x \). Ecuația devine:

\[ (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0. \]

Substituție. Fie \( t = \log_3 x \):

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \;\text{ sau }\; t = 3. \]

Revenirea la variabila originală.

\[ \log_3 x = 1 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad \log_3 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 27. \]

Verificare. \( 3, 27 \in (0, +\infty) \). Ambele soluții sunt acceptate.

Mulțimea soluțiilor: \( \{3, 27\} \).

Exemplul 3. A se rezolva \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 = 0 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_5 x \):

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \]

Deci \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) și \( t_2 = -2 \).

Revenirea la variabila originală.

\[ \log_5 x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 5^{1/2} = \sqrt{5}, \qquad \log_5 x = -2 \;\Rightarrow\; x = 5^{-2} = \frac{1}{25}. \]

Verificare. \( \sqrt{5}, \tfrac{1}{25} \in (0, +\infty) \). Ambele soluții sunt acceptate.

Mulțimea soluțiilor: \( \Bigl\{\dfrac{1}{25},\; \sqrt{5}\Bigr\} \).

Se numește soluție falsă o valoare \( x_0 \) care satisface o ecuație algebrică obținută în cursul transformărilor, dar care nu aparține domeniului \( \mathcal{D} \) al ecuației logaritmice originale. O astfel de valoare face cel puțin un logaritm din ecuație nedefinit și, prin urmare, nu este o soluție validă.

Soluțiile false apar tipic în următoarele trei circumstanțe.

1. Aplicarea proprietății produsului. Scrierea \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) necesită \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \) separat. Produsul \( f(x)g(x) \) poate fi pozitiv chiar și când ambii factori sunt negativi; în acel caz logaritmul produsului ar fi definit în ecuația transformată, dar logaritmii factorilor nu ar fi în ecuația originală.
2. Aplicarea proprietății puterii. Scrierea \( \log_a[f(x)^n] = n\log_a f(x) \) este valabilă doar dacă \( f(x) > 0 \). Pentru \( f(x) < 0 \) și \( n \) par, membrul stâng este definit, iar membrul drept nu: aplicarea identității introduce astfel argumente inadmisibile.
3. Reducerea la ecuație polinomială. Rezolvarea unei ecuații de grad doi sau mai mare produce în general mai multe rădăcini; unele dintre ele pot fi exterioare domeniului \( \mathcal{D} \).

Exemplu ilustrativ. Fie ecuația:

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x - 2) + 1. \]

Domeniu. Condițiile de existență sunt \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) și \( x - 2 > 0 \). Factorizând: \( (x-2)(x-3) > 0 \) dacă \( x < 2 \) sau \( x > 3 \). Intersectând cu \( x > 2 \), se obține \( \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Rezolvare. Se rescrie membrul drept folosind \( 1 = \log_2 2 \):

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2[2(x-2)]. \]

Prin injectivitate:

\[ x^2 - 5x + 6 = 2x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0. \]

Soluții formale: \( x = 2 \) și \( x = 5 \).

Verificare. \( x = 2 \notin (3, +\infty) \): soluție falsă, eliminată. \( x = 5 \in (3, +\infty) \): acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{5\} \).

Următoarea schemă constituie un protocol complet și riguros, aplicabil oricărui tip de ecuație logaritmică tratat în această lucrare.

1. Determinarea domeniului. Pentru fiecare logaritm \( \log_a f_i(x) \) din ecuație, unde \( i \) parcurge mulțimea indicilor \( I \) ai tuturor logaritmilor prezenți, se impune \( f_i(x) > 0 \). Se calculează \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Aducerea la aceeași bază (dacă este necesar). Dacă sunt prezenți logaritmi cu baze diferite, se aplică formula de schimbare a bazei pentru a-i uniformiza.
3. Simplificarea prin proprietățile logaritmilor. Se aplică proprietățile de produs, cât și putere — reamintind că ele sunt valabile doar pentru argumente pozitive — pentru a reduce ecuația la una dintre formele canonice: \( \log_a f(x) = k \), sau \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), sau \( P(\log_a f(x)) = 0 \).
4. Eliminarea logaritmului. În prima formă, se trece la forma exponențială \( f(x) = a^k \). În a doua, se folosește injectivitatea: \( f(x) = g(x) \). În a treia, se aplică substituția \( t = \log_a f(x) \) și se rezolvă ecuația algebrică în \( t \), pentru a reveni apoi la variabila originală.
5. Rezolvarea ecuației algebrice rezultante.
6. Verificarea condițiilor de domeniu. Se păstrează exclusiv soluțiile aparținând lui \( \mathcal{D} \). Se elimină explicit soluțiile false, motivând excluderea lor.
7. Scrierea mulțimii soluțiilor.

Exercițiul 1. A se rezolva \( \log_2(x+3) = 4 \).

Domeniu. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Rezolvare. \( x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13 \).

Verificare. \( 13 \in (-3, +\infty) \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{13\} \).

Exercițiul 2. A se rezolva \( \log_3 x + \log_3(x-1) = 1 \).

Domeniu. \( x > 0 \) și \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Rezolvare.

\[ \log_3[x(x-1)] = 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0. \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Verificare. \( x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30 > 1 \): acceptată. \( x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} < 0 \): soluție falsă, eliminată.

Mulțimea soluțiilor: \( \Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Bigr\} \).

Exercițiul 3. A se rezolva \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domeniu. \( x+1 > 0 \) și \( 2x-3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Prin injectivitate: \( x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow x = 4 \).

Verificare. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4\} \).

Exercițiul 4. A se rezolva \( \log_2(x-1) + \log_2(x-5) = 3 \).

Domeniu. \( x-1 > 0 \) și \( x-5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Rezolvare.

\[ \log_2[(x-1)(x-5)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) = 8. \]

\[ x^2 - 6x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \]

Verificare. \( x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 > 5 \): acceptată. \( x_2 = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46 < 5 \): soluție falsă, eliminată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{3 + 2\sqrt{3}\} \).

Exercițiul 5. A se rezolva \( \log_4(x^2 - 3x) = \log_4(x + 7) \).

Domeniu. \( x^2 - 3x > 0 \) și \( x+7 > 0 \). Prima condiție dă \( x < 0 \) sau \( x > 3 \); a doua dă \( x > -7 \). Deci \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Rezolvare. Prin injectivitate: \( x^2 - 3x = x + 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 7 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{11} \).

Verificare. \( x_1 = 2+\sqrt{11} \approx 5{,}32 \in (3, +\infty) \): acceptată. \( x_2 = 2-\sqrt{11} \approx -1{,}32 \in (-7, 0) \): acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{2-\sqrt{11},\; 2+\sqrt{11}\} \).

Exercițiul 6. A se rezolva \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. Fie \( t = \log_2 x \):

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ sau }\; t = 3. \]

\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8. \]

Verificare. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Ambele acceptate.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4, 8\} \).

Exercițiul 7. A se rezolva \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Fie \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verificare. \( 4 \in (0, +\infty) \). Soluție acceptată.

Mulțimea soluțiilor: \( \{4\} \).

Interpretarea grafică a ecuațiilor logaritmice oferă o perspectivă calitativă asupra numărului și poziției soluțiilor, completând în mod util tratarea analitică.

A rezolva ecuația \( \log_a f(x) = k \) este echivalent, din punct de vedere geometric, cu determinarea absciselor punctelor de intersecție ale graficului funcției \( y = \log_a f(x) \) cu dreapta orizontală \( y = k \). Deoarece funcția logaritmică este strict monotonă, pe fiecare interval conex al domeniului în care \( f \) este strict monotonă, compoziția \( \log_a \circ f \) este de asemenea strict monotonă și, prin urmare, ecuația admite cel mult o soluție pe fiecare astfel de interval. Acest fapt permite stabilirea a priori a unei limite superioare pentru numărul de soluții, înainte de a efectua calculele.

A rezolva \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) este echivalent cu găsirea punctelor în care graficele funcțiilor \( y = \log_a f(x) \) și \( y = \log_a g(x) \) se intersectează. Aceste puncte trebuie să se afle în domeniul comun \( \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g \) al celor două funcții; eventualele intersecții situate în afara acestui domeniu nu corespund unor soluții ale ecuației originale.

Interpretarea grafică evidențiază totodată de ce soluțiile false nu sunt soluții: ele corespund unor valori ale necunoscutei pentru care unul sau mai multe ramuri ale graficului pur și simplu nu există, întrucât funcția logaritmică nu este definită în afara lui \( (0, +\infty) \). O soluție falsă nu este un punct al graficului: este un artefact algebric lipsit de conținut geometric în cadrul ecuației originale.