O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre ecuațiile parametrice, concepută pentru a învăța nu doar cum se găsește soluția, ci mai ales cum se discută corect toate cazurile posibile în funcție de parametru.
În fiecare exercițiu vom analiza cu atenție când este permisă împărțirea, ce valori ale parametrului trebuie excluse și în ce situații ecuația devine determinată, imposibilă sau nedeterminată.
Reamintim ideea fundamentală: în ecuațiile parametrice nu trebuie să tratăm niciodată parametrul ca pe un număr sigur nenul. Înainte de a împărți sau simplifica o expresie care conține parametrul, trebuie să verificăm întotdeauna pentru ce valori aceasta se poate anula.
De exemplu, în ecuația:
\[ (a-1)x=3 \]
nu putem împărți imediat prin \(a-1\), deoarece:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
iar împărțirea prin zero nu este permisă.
Din acest motiv, rezolvarea unei ecuații parametrice impune aproape întotdeauna o discuție pe cazuri.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ ax=6 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Necunoscuta ecuației este \(x\), iar \(a\) este un parametru real.
Ecuația este:
\[ ax=6 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) este \(a\).
Nu putem împărți imediat ambii membri prin \(a\), deoarece parametrul ar putea lua valoarea:
\[ a=0 \]
iar împărțirea prin zero nu este definită.
Trebuie, prin urmare, să distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne0\)
Dacă:
\[ a\ne0 \]
atunci putem împărți ambii membri ai ecuației prin \(a\):
\[ x=\frac{6}{a} \]
Pentru orice valoare fixată a parametrului \(a\) cu \(a\ne0\), ecuația admite o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \]
Cazul \(a=0\)
Dacă, în schimb:
\[ a=0 \]
înlocuim această valoare a parametrului în ecuația inițială:
\[ 0\cdot x=6 \]
adică:
\[ 0=6 \]
Această egalitate este falsă, deoarece zero nu este egal cu șase.
Nu există, prin urmare, nicio valoare reală a lui \(x\) care să satisfacă ecuația.
Ecuația este deci imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-2)x=4 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Necunoscuta ecuației este \(x\), iar \(a\) este un parametru real.
Ecuația este:
\[ (a-2)x=4 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) este:
\[ a-2 \]
Înainte de a împărți ambii membri prin \(a-2\), trebuie să verificăm când această expresie se anulează.
Rezolvăm, deci:
\[ a-2=0 \]
Obținem:
\[ a=2 \]
Trebuie, prin urmare, să discutăm separat cele două cazuri.
Cazul \(a\ne2\)
Dacă:
\[ a\ne2 \]
atunci:
\[ a-2\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a-2\):
\[ x=\frac{4}{a-2} \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \]
Cazul \(a=2\)
Dacă, în schimb:
\[ a=2 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (2-2)x=4 \]
adică:
\[ 0\cdot x=4 \]
deci:
\[ 0=4 \]
Această egalitate este falsă.
Nu există nicio valoare reală a lui \(x\) care să satisfacă ecuația.
Ecuația este deci imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a+1)x=0 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{0\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Ecuația este:
\[ (a+1)x=0 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a+1 \]
Înainte de a împărți prin această expresie, trebuie să verificăm când se poate anula.
Rezolvăm:
\[ a+1=0 \]
Obținem:
\[ a=-1 \]
Distingem, deci, două cazuri.
Cazul \(a\ne-1\)
Dacă:
\[ a\ne-1 \]
atunci:
\[ a+1\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a+1\):
\[ x=0 \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\{0\} \]
Cazul \(a=-1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-1 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (-1+1)x=0 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată, indiferent de valoarea atribuită lui \(x\).
Orice număr real satisface, prin urmare, ecuația.
Ecuația este deci nedeterminată.
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne3 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \\ a=3 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-3 \]
Înainte de a împărți prin această expresie, trebuie să verificăm când se anulează.
Rezolvăm:
\[ a-3=0 \]
Obținem:
\[ a=3 \]
Trebuie, prin urmare, să discutăm separat cele două cazuri.
Cazul \(a\ne3\)
Dacă:
\[ a\ne3 \]
atunci:
\[ a-3\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a-3\):
\[ x=\frac{a+1}{a-3} \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \]
Cazul \(a=3\)
Dacă, în schimb:
\[ a=3 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (3-3)x=3+1 \]
adică:
\[ 0\cdot x=4 \]
deci:
\[ 0=4 \]
Această egalitate este falsă.
Ecuația este deci imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-2 \]
Înainte de a împărți prin această expresie, trebuie să verificăm când se anulează.
Rezolvăm:
\[ a-2=0 \]
de unde:
\[ a=2 \]
Distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne2\)
Dacă:
\[ a\ne2 \]
atunci putem împărți ambii membri prin \(a-2\):
\[ x=\frac{2a-4}{a-2} \]
Observăm că la numărător putem scoate factorul comun \(2\):
\[ 2a-4=2(a-2) \]
Obținem, astfel:
\[ x=\frac{2(a-2)}{a-2} \]
Deoarece în cazul de față avem:
\[ a-2\ne0 \]
putem simplifica:
\[ x=2 \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\{2\} \]
Cazul \(a=2\)
Dacă, în schimb:
\[ a=2 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (2-2)x=2\cdot2-4 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată.
Orice număr real satisface, prin urmare, ecuația.
Ecuația este deci nedeterminată.
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a \ne \pm 1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a^2-1 \]
Înainte de a împărți prin această expresie, trebuie să verificăm când se anulează.
Rezolvăm:
\[ a^2-1=0 \]
Este vorba de o diferență de pătrate:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obținem, deci:
\[ (a-1)(a+1)=0 \]
de unde:
\[ a=1 \]
sau:
\[ a=-1 \]
Trebuie, prin urmare, să discutăm trei cazuri distincte.
Cazul \(a\ne\pm1\)
Dacă:
\[ a\ne1 \qquad \text{și} \qquad a\ne-1 \]
atunci:
\[ a^2-1\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a^2-1\):
\[ x=\frac{a+1}{a^2-1} \]
Descompunem numitorul:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obținem:
\[ x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} \]
Deoarece în cazul de față avem:
\[ a+1\ne0 \]
putem simplifica factorul \(a+1\):
\[ x=\frac{1}{a-1} \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \]
Cazul \(a=1\)
Dacă:
\[ a=1 \]
înlocuim în ecuația inițială:
\[ (1^2-1)x=1+1 \]
adică:
\[ 0\cdot x=2 \]
deci:
\[ 0=2 \]
Această egalitate este imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Cazul \(a=-1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-1 \]
înlocuim în ecuație:
\[ ((-1)^2-1)x=-1+1 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată.
Orice număr real satisface, prin urmare, ecuația.
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-1)x+2=a \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-1)x+2=a \]
Izolăm mai întâi termenul care conține necunoscuta.
Scădem \(2\) din ambii membri:
\[ (a-1)x=a-2 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-1 \]
Trebuie să verificăm când acest coeficient se anulează.
Rezolvăm:
\[ a-1=0 \]
Obținem:
\[ a=1 \]
Distingem, deci, două cazuri.
Cazul \(a\ne1\)
Dacă:
\[ a\ne1 \]
atunci putem împărți ambii membri prin \(a-1\):
\[ x=\frac{a-2}{a-1} \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \]
Cazul \(a=1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=1 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (1-1)x+2=1 \]
adică:
\[ 0\cdot x+2=1 \]
deci:
\[ 2=1 \]
Această egalitate este falsă.
Ecuația este deci imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Soluție
Pentru orice valoare reală a lui \( a \): \[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
În membrul drept apare un produs. Aplicăm proprietatea distributivă:
\[ a(x+1)=ax+a \]
Ecuația devine, deci:
\[ (a+2)x=ax+a \]
Dezvoltăm membrul stâng:
\[ ax+2x=ax+a \]
Aducem toți termenii care conțin \(x\) în membrul stâng.
Scădem \(ax\) din ambii membri:
\[ ax+2x-ax=a \]
Termenii \(ax\) se elimină:
\[ 2x=a \]
Împărțim ambii membri prin \(2\):
\[ x=\frac{a}{2} \]
În acest exercițiu nu apare nicio condiție asupra parametrului, deoarece coeficientul necunoscutei, după simplificări, este numărul \(2\), care nu se anulează niciodată.
Ecuația admite, prin urmare, întotdeauna exact o singură soluție reală.
Prin urmare:
\[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne4 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=4 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) este:
\[ a-4 \]
Înainte de a împărți prin \(a-4\), trebuie să verificăm când această expresie se anulează.
Rezolvăm:
\[ a-4=0 \]
Obținem:
\[ a=4 \]
Trebuie, prin urmare, să distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne4\)
Dacă:
\[ a\ne4 \]
atunci:
\[ a-4\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a-4\):
\[ x=\frac{2a-8}{a-4} \]
Factorizăm numărătorul scoțând factorul comun \(2\):
\[ 2a-8=2(a-4) \]
Deci:
\[ x=\frac{2(a-4)}{a-4} \]
Deoarece lucrăm în cazul \(a\ne4\), putem simplifica factorul \(a-4\):
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Cazul \(a=4\)
Dacă, în schimb:
\[ a=4 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (4-4)x=2\cdot4-8 \]
adică:
\[ 0\cdot x=8-8 \]
deci:
\[ 0\cdot x=0 \]
Egalitatea:
\[ 0=0 \]
este întotdeauna adevărată, indiferent de valoarea lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată și orice număr real este soluție:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne-3 & \Rightarrow S=\{a-3\} \\ a=-3 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) este:
\[ a+3 \]
Înainte de a împărți prin \(a+3\), trebuie să stabilim când acest coeficient se anulează:
\[ a+3=0 \]
de unde:
\[ a=-3 \]
Distingem, deci, cazurile.
Cazul \(a\ne-3\)
Dacă:
\[ a\ne-3 \]
atunci:
\[ a+3\ne0 \]
Putem împărți ambii membri prin \(a+3\):
\[ x=\frac{a^2-9}{a+3} \]
Descompunem numărătorul ca diferență de pătrate:
\[ a^2-9=(a-3)(a+3) \]
Obținem:
\[ x=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} \]
Deoarece în cazul \(a\ne-3\) avem \(a+3\ne0\), putem simplifica:
\[ x=a-3 \]
Prin urmare:
\[ S=\{a-3\} \]
Cazul \(a=-3\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-3 \]
înlocuim în ecuația inițială:
\[ (-3+3)x=(-3)^2-9 \]
adică:
\[ 0\cdot x=9-9 \]
deci:
\[ 0\cdot x=0 \]
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a \ne 2 \ \text{și}\ a \ne -2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a^2-4 \]
Înainte de a împărți prin această expresie, trebuie să verificăm când se anulează.
Rezolvăm:
\[ a^2-4=0 \]
Descompunem ca diferență de pătrate:
\[ a^2-4=(a-2)(a+2) \]
Obținem:
\[ (a-2)(a+2)=0 \]
de unde:
\[ a=2 \]
sau:
\[ a=-2 \]
Trebuie, prin urmare, să discutăm trei cazuri distincte.
Cazul \(a\ne2\) și \(a\ne-2\)
Dacă:
\[ a\ne2 \qquad \text{și} \qquad a\ne-2 \]
atunci:
\[ a^2-4\ne0 \]
Putem împărți ambii membri prin \(a^2-4\):
\[ x=\frac{a-2}{a^2-4} \]
Înlocuim descompunerea numitorului:
\[ x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)} \]
Deoarece în cazul considerat avem:
\[ a-2\ne0 \]
putem simplifica factorul \(a-2\):
\[ x=\frac{1}{a+2} \]
Ecuația admite deci o unică soluție:
\[ S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \]
Cazul \(a=2\)
Dacă:
\[ a=2 \]
înlocuim în ecuația inițială:
\[ (2^2-4)x=2-2 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată.
Ecuația este deci nedeterminată și orice număr real este soluție:
\[ S=\mathbb{R} \]
Cazul \(a=-2\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-2 \]
înlocuim în ecuație:
\[ ((-2)^2-4)x=-2-2 \]
adică:
\[ 0\cdot x=-4 \]
deci:
\[ 0=-4 \]
Această egalitate este imposibilă.
Ecuația nu admite soluții.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Este vorba de un produs egal cu zero.
Reamintim regula anulării produsului:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{sau} \ B=0 \]
În cazul nostru, cei doi factori sunt:
\[ a-1 \]
și:
\[ x-2 \]
Totuși, trebuie să fim atenți: parametrul \(a\) nu este necunoscuta ecuației. Necunoscuta este exclusiv \(x\).
Din acest motiv, trebuie să discutăm valorile parametrului.
Cazul \(a\ne1\)
Dacă:
\[ a\ne1 \]
atunci:
\[ a-1\ne0 \]
Primul factor nu se poate, prin urmare, anula.
Pentru ca produsul să fie nul, trebuie să se anuleze al doilea factor:
\[ x-2=0 \]
de unde:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Cazul \(a=1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=1 \]
primul factor devine:
\[ a-1=0 \]
Ecuația ia, astfel, forma:
\[ 0\cdot(x-2)=0 \]
adică:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată, indiferent de valoarea lui \(x\).
Orice număr real satisface, prin urmare, ecuația.
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne-2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Factorul \(a+2\) apare în ambii membri, dar nu îl putem simplifica imediat fără a discuta cazul în care se anulează.
Studiem, deci:
\[ a+2=0 \]
de unde:
\[ a=-2 \]
Distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne-2\)
Dacă:
\[ a\ne-2 \]
atunci:
\[ a+2\ne0 \]
Putem împărți ambii membri prin \(a+2\):
\[ x-1=1 \]
Adunăm \(1\) la ambii membri:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Cazul \(a=-2\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-2 \]
înlocuim în ecuația inițială:
\[ (-2+2)(x-1)=-2+2 \]
adică:
\[ 0\cdot(x-1)=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este întotdeauna adevărată, indiferent de valoarea lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată și orice număr real este soluție:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Soluție
\[ S=\{a\} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Dezvoltăm ambii membri.
Membrul stâng este:
\[ (a-1)x=ax-x \]
Membrul drept este:
\[ a(x-1)=ax-a \]
Ecuația devine:
\[ ax-x=ax-a \]
Scădem \(ax\) din ambii membri:
\[ ax-x-ax=ax-a-ax \]
adică:
\[ -x=-a \]
Înmulțim ambii membri cu \(-1\):
\[ x=a \]
În acest exercițiu nu este necesară distingerea unor cazuri particulare, deoarece, după simplificări, coeficientul necunoscutei este \(-1\), care nu se anulează niciodată.
Astfel, pentru orice valoare reală a parametrului \(a\), ecuația admite o unică soluție:
\[ S=\{a\} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Soluție
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Pentru \(a=1\) ecuația nu este definită.
Rezolvare
În această ecuație parametrul apare la numitor:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Înainte de a rezolva, trebuie să impunem condiția de existență a numitorului.
Numitorul nu poate fi nul:
\[ a-1\ne0 \]
deci:
\[ a\ne1 \]
Dacă \(a=1\), ecuația nu are sens, deoarece ar apărea o împărțire prin zero.
Pentru \(a\ne1\), în schimb, putem înmulți ambii membri cu \(a-1\):
\[ x=2(a-1) \]
Dezvoltăm:
\[ x=2a-2 \]
Prin urmare:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvă și discută ecuația:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Soluție
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Pentru \(a=-2\) ecuația nu este definită.
Rezolvare
În această ecuație parametrul apare la numitor:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Înainte de a rezolva ecuația, trebuie să stabilim pentru ce valori ale parametrului aceasta are sens.
Numitorul nu poate fi egal cu zero:
\[ a+2\ne0 \]
deci:
\[ a\ne-2 \]
Dacă \(a=-2\), ecuația nu este definită, deoarece ar apărea o împărțire prin zero.
Presupunem, deci:
\[ a\ne-2 \]
În acest caz putem înmulți ambii membri cu \(a+2\):
\[ x-1=3(a+2) \]
Dezvoltăm membrul drept:
\[ x-1=3a+6 \]
Adunăm \(1\) la ambii membri:
\[ x=3a+7 \]
Prin urmare:
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-1 \]
Înainte de a împărți prin \(a-1\), trebuie să verificăm când acest coeficient se anulează:
\[ a-1=0 \]
deci:
\[ a=1 \]
Distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne1\)
Dacă:
\[ a\ne1 \]
atunci:
\[ a-1\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a-1\):
\[ x=\frac{2a-2}{a-1} \]
Factorizăm numărătorul scoțând factorul comun \(2\):
\[ 2a-2=2(a-1) \]
Deci:
\[ x=\frac{2(a-1)}{a-1} \]
Deoarece în cazul considerat \(a-1\ne0\), putem simplifica:
\[ x=2 \]
Prin urmare:
\[ S=\{2\} \]
Cazul \(a=1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=1 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (1-1)x=2\cdot1-2 \]
adică:
\[ 0\cdot x=0 \]
deci:
\[ 0=0 \]
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) este:
\[ a+1 \]
Înainte de a împărți prin \(a+1\), trebuie să verificăm când acest coeficient se anulează:
\[ a+1=0 \]
deci:
\[ a=-1 \]
Distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne-1\)
Dacă:
\[ a\ne-1 \]
atunci:
\[ a+1\ne0 \]
Putem împărți ambii membri prin \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Descompunem numărătorul ca diferență de pătrate:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Obținem:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Deoarece în cazul considerat \(a+1\ne0\), putem simplifica factorul \(a+1\):
\[ x=a-1 \]
Prin urmare:
\[ S=\{a-1\} \]
Cazul \(a=-1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=-1 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
adică:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
deci:
\[ 0\cdot x=0 \]
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvă și discută ecuația:
\[ ax+a=2x+2 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{-1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ ax+a=2x+2 \]
Aducem termenii care conțin \(x\) în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept.
Scădem \(2x\) din ambii membri:
\[ ax-2x+a=2 \]
Scădem acum \(a\) din ambii membri:
\[ ax-2x=2-a \]
Scoatem factorul comun \(x\) în membrul stâng:
\[ x(a-2)=2-a \]
Observăm că:
\[ 2-a=-(a-2) \]
Ecuația devine, deci:
\[ x(a-2)=-(a-2) \]
Coeficientul necunoscutei este:
\[ a-2 \]
Trebuie, prin urmare, să distingem cazul în care \(a-2\ne0\) de cazul în care \(a-2=0\).
Cazul \(a\ne2\)
Dacă:
\[ a\ne2 \]
atunci:
\[ a-2\ne0 \]
Putem împărți ambii membri prin \(a-2\):
\[ x=-1 \]
Prin urmare:
\[ S=\{-1\} \]
Cazul \(a=2\)
Dacă, în schimb:
\[ a=2 \]
înlocuim în ecuația inițială:
\[ 2x+2=2x+2 \]
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\).
Ecuația este deci nedeterminată:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvă și discută ecuația:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Soluție
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Rezolvare
Considerăm ecuația:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Coeficientul necunoscutei \(x\) depinde de parametrul \(a\). Din acest motiv nu putem rezolva imediat ecuația împărțind prin \(a-1\): trebuie mai întâi să verificăm când acest coeficient se anulează.
Studiem, deci, condiția:
\[ a-1=0 \]
de unde obținem:
\[ a=1 \]
Trebuie, prin urmare, să distingem două cazuri.
Cazul \(a\ne1\)
Dacă:
\[ a\ne1 \]
atunci:
\[ a-1\ne0 \]
Putem, prin urmare, împărți ambii membri prin \(a-1\):
\[ x=\frac{a+3}{a-1} \]
În acest caz ecuația admite o unică soluție.
Prin urmare:
\[ S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \]
Cazul \(a=1\)
Dacă, în schimb:
\[ a=1 \]
înlocuim această valoare în ecuația inițială:
\[ (1-1)x=1+3 \]
adică:
\[ 0\cdot x=4 \]
Obținem, deci:
\[ 0=4 \]
Această egalitate este imposibilă, deoarece zero nu poate fi egal cu patru.
Nu există, prin urmare, niciun număr real care să satisfacă ecuația.
Ecuația este deci imposibilă.
Prin urmare:
\[ S=\varnothing \]
Ecuațiile parametrice de gradul întâi ne permit să înțelegem cum se modifică comportamentul unei ecuații pe măsură ce parametrul variază. Spre deosebire de ecuațiile numerice obișnuite, nu este suficient să efectuăm calculele mecanic: este necesară o analiză atentă a valorilor parametrului care pot anula coeficientul necunoscutei.
În multe exerciții am văzut că:
\[ ax+b=0 \]
se comportă diferit în funcție de valoarea coeficientului \(a\):
- dacă \(a\ne0\), ecuația admite o singură soluție;
- dacă \(a=0\), ecuația poate deveni imposibilă sau nedeterminată.
Din acest motiv, în studiul ecuațiilor parametrice este esențial să:
- identificăm coeficientul necunoscutei;
- determinăm pentru ce valori ale parametrului acesta se anulează;
- discutăm separat toate cazurile posibile.
Acest tip de raționament nu este util exclusiv în ecuațiile de gradul întâi: reprezintă o tehnică fundamentală care va fi folosită și în studiul sistemelor de ecuații, al inecuațiilor, al funcțiilor și al problemelor mai avansate de algebră.