O colecție progresivă de 20 de exerciții rezolvate despre fracțiile algebrice, concepută pentru a învăța să determinăm corect condițiile de existență, să simplificăm fracțiile, să efectuăm operații și să evităm cele mai frecvente greșeli.
În fiecare exercițiu, obiectivul central nu este doar să efectuăm calculele, ci să înțelegem de ce fiecare pas este justificat. Fracțiile algebrice depind esențial de numitor: înainte de a le transforma, trebuie întotdeauna să stabilim pentru ce valori sunt ele definite.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinați condițiile de existență ale fracției:
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Rezultat
\[ x\neq 3 \]
Rezolvare
O fracție algebrică este definită numai atunci când numitorul este diferit de zero. Trebuie deci să impunem:
\[ x-3\neq 0. \]
Rezolvând condiția, obținem:
\[ x\neq 3. \]
Aceasta înseamnă că fracția este definită pentru toate numerele reale cu excepția lui \(3\).
Domeniul este deci:
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinați domeniul fracției:
\[ \frac{2x-1}{x^2-9} \]
Rezultat
\[ x\neq -3, \qquad x\neq 3 \]
Rezolvare
Numitorul fracției trebuie să fie diferit de zero:
\[ x^2-9\neq 0. \]
Pentru a studia această condiție, factorizăm polinomul:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Condiția devine deci:
\[ (x-3)(x+3)\neq 0. \]
Un produs este diferit de zero dacă și numai dacă niciun factor nu este zero. Trebuie deci să impunem:
\[ x-3\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+3\neq 0. \]
Obținem:
\[ x\neq 3, \qquad x\neq -3. \]
Domeniul fracției este:
\[ \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}. \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Simplificați fracția:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \]
Rezultat
\[ \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2 \]
Rezolvare
Pentru a simplifica o fracție algebrică, trebuie mai întâi să factorizăm numărătorul și numitorul.
Numărătorul este o diferență de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Numitorul este un pătrat perfect:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
Fracția devine deci:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}. \]
Înainte de a simplifica, trebuie să impunem condiția de existență:
\[ (x+2)^2\neq 0. \]
De unde:
\[ x+2\neq 0, \qquad x\neq -2. \]
Acum putem simplifica factorul comun \(x+2\):
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Prin urmare:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2. \]
Condiția \(x\neq -2\) trebuie păstrată și după simplificare.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Simplificați:
\[ \frac{3x^2}{6x} \]
Rezultat
\[ \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0 \]
Rezolvare
Chiar și atunci când o fracție algebrică pare foarte simplă, prima verificare privește întotdeauna numitorul. În acest caz, numitorul este:
\[ 6x. \]
O fracție este definită numai dacă numitorul este diferit de zero, deci trebuie să impunem:
\[ 6x\neq 0. \]
Deoarece \(6\) este diferit de zero, produsul \(6x\) se anulează numai când \(x=0\). Prin urmare:
\[ x\neq 0. \]
Putem trece acum la simplificare. Scriem numărătorul punând în evidență factorii:
\[ 3x^2=3\cdot x\cdot x. \]
Numitorul poate fi scris și ca:
\[ 6x=6\cdot x. \]
Deci:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{3\cdot x\cdot x}{6\cdot x}. \]
Factorul \(x\) apare atât la numărător, cât și la numitor. Putem să-l simplificăm deoarece am stabilit deja că \(x\neq 0\). Dacă \(x\) ar fi egal cu zero, numitorul inițial s-ar anula și fracția nu ar mai fi definită.
Rămâne:
\[ \frac{3x}{6}. \]
Simplificăm acum coeficientul numeric:
\[ \frac{3x}{6}=\frac{x}{2}. \]
Deci:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0. \]
Condiția \(x\neq 0\) trebuie păstrată. Într-adevăr, fracția inițială nu este definită pentru \(x=0\), în timp ce expresia \(\frac{x}{2}\) ar fi definită și pentru \(x=0\). Fără condiția de existență am pierde astfel o informație esențială.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} \]
Rezultat
\[ \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5 \]
Rezolvare
Pentru a simplifica o fracție algebrică, trebuie să transformăm numărătorul și numitorul în produse. Numai astfel putem identifica eventualii factori comuni.
Considerăm numărătorul:
\[ x^2+5x. \]
Cei doi termeni au în comun factorul \(x\). Dând factor comun pe \(x\), obținem:
\[ x^2+5x=x(x+5). \]
Considerăm acum numitorul:
\[ x^2-25. \]
Este vorba despre o diferență de pătrate, deoarece:
\[ 25=5^2. \]
Deci:
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \]
Fracția poate fi rescrisă astfel:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}. \]
Înainte de a simplifica factorul comun \(x+5\), trebuie să determinăm condițiile de existență ale fracției inițiale. Numitorul trebuie să fie diferit de zero:
\[ x^2-25\neq 0. \]
Folosind factorizarea tocmai găsită, această condiție devine:
\[ (x-5)(x+5)\neq 0. \]
Un produs este diferit de zero dacă niciunul dintre factorii săi nu este zero. Deci:
\[ x-5\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+5\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 5 \qquad \text{și} \qquad x\neq -5. \]
Acum putem simplifica factorul comun \(x+5\):
\[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}. \]
Deci:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5. \]
Valoarea \(x=-5\) trebuie să rămână exclusă chiar dacă factorul \(x+5\) a fost eliminat din expresia finală. Simplificarea schimbă forma fracției, dar nu modifică domeniul fracției inițiale.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Simplificați:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} \]
Rezultat
\[ \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3 \]
Rezolvare
Pentru a simplifica corect fracția, trebuie mai întâi să factorizăm numărătorul și numitorul.
Pornim de la numărător:
\[ x^2-3x. \]
Ambii termeni conțin factorul \(x\). Dând factor comun pe \(x\), obținem:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Considerăm acum numitorul:
\[ x^2-6x+9. \]
Acest trinom este un pătrat perfect. Într-adevăr:
\[ (x-3)^2=x^2-6x+9. \]
Deci:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
Fracția devine:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2}. \]
Înainte de a simplifica, trebuie să impunem condiția de existență. Numitorul inițial nu poate fi egal cu zero:
\[ x^2-6x+9\neq 0. \]
Deoarece:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]
condiția devine:
\[ (x-3)^2\neq 0. \]
Un pătrat este diferit de zero dacă și numai dacă baza sa este diferită de zero. Deci:
\[ x-3\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 3. \]
Acum putem simplifica un factor \(x-3\):
\[ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x}{x-3}. \]
Obținem deci:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3. \]
Condiția \(x\neq 3\) nu este un detaliu secundar: pentru \(x=3\), numitorul fracției inițiale devine zero, deci acea valoare nu poate fi admisă.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Reduceți la același numitor:
\[ \frac{2}{x} \qquad \text{și} \qquad \frac{3}{x+1} \]
Rezultat
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{și} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Rezolvare
A reduce două fracții la același numitor înseamnă a le transforma în fracții echivalente cu un numitor comun. Această operație este indispensabilă, de exemplu, când se dorește adunarea sau scăderea fracțiilor algebrice.
Numitorii celor două fracții sunt:
\[ x \qquad \text{și} \qquad x+1. \]
Înainte de a construi numitorul comun, determinăm condițiile de existență. Trebuie să impunem:
\[ x\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+1\neq 0. \]
A doua condiție este echivalentă cu:
\[ x\neq -1. \]
Condițiile globale sunt deci:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Deoarece numitorii \(x\) și \(x+1\) nu au factori comuni, cel mai mic numitor comun este produsul lor:
\[ x(x+1). \]
Considerăm prima fracție:
\[ \frac{2}{x}. \]
Pentru a obține numitorul \(x(x+1)\), trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul cu factorul lipsă \(x+1\):
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}. \]
Considerăm acum a doua fracție:
\[ \frac{3}{x+1}. \]
În acest caz, factorul lipsă este \(x\), deci:
\[ \frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}. \]
Cele două fracții reduse la același numitor sunt deci:
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{și} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Condițiile de existență garantează că factorii utilizați în numitori nu sunt zero. Din acest motiv, transformările efectuate produc fracții echivalente în domeniul comun.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]
Rezultat
\[ \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2 \]
Rezolvare
Pentru a aduna două fracții algebrice cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reducem la același numitor. Înainte de a efectua orice transformare, să determinăm condițiile de existență.
Numitorii sunt:
\[ x-2 \qquad \text{și} \qquad x+2. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+2\neq 0. \]
Din aceste condiții obținem:
\[ x\neq 2 \qquad \text{și} \qquad x\neq -2. \]
Numitorul comun cel mai convenabil este produsul celor doi numitori:
\[ (x-2)(x+2). \]
În prima fracție lipsește factorul \(x+2\). Înmulțim deci numărătorul și numitorul cu \(x+2\):
\[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}. \]
În a doua fracție lipsește factorul \(x-2\). Înmulțim numărătorul și numitorul cu \(x-2\):
\[ \frac{3}{x+2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Acum cele două fracții au același numitor, deci putem aduna numărătorii și păstra numitorul comun:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ x+2+3(x-2)=x+2+3x-6. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ x+2+3x-6=4x-4. \]
Deci:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}. \]
Putem scoate factor comun \(4\) din numărător:
\[ 4x-4=4(x-1). \]
Prin urmare:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2. \]
Nu există simplificări suplimentare, deoarece factorul \(x-1\) nu apare la numitor. Condițiile \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\) trebuie în schimb să rămână indicate, deoarece provin din numitorii inițiali.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} \]
Rezultat
\[ \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Rezolvare
Expresia conține o diferență între fracții algebrice. Ca întotdeauna, pornim de la condițiile de existență, adică de la valorile care nu pot fi atribuite variabilei.
Numitorii sunt:
\[ x+1 \qquad \text{și} \qquad x-1. \]
Trebuie să impunem:
\[ x+1\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x-1\neq 0. \]
Deci:
\[ x\neq -1 \qquad \text{și} \qquad x\neq 1. \]
Numitorul comun este:
\[ (x+1)(x-1). \]
În prima fracție lipsește factorul \(x-1\), deci:
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}. \]
În a doua fracție lipsește factorul \(x+1\), deci:
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}. \]
Acum putem scădea numărătorii. Este important să păstrăm parantezele, deoarece semnul minus se distribuie asupra întregului numărător al celei de-a doua fracții:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ x(x-1)-(x+1)=x^2-x-x-1. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ x^2-x-x-1=x^2-2x-1. \]
Obținem deci:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}. \]
Numărătorul nu conține nici factorul \(x+1\), nici factorul \(x-1\), deci nu este posibil să simplificăm.
Prin urmare:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Calculați:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} \]
Rezultat
\[ 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Rezolvare
Într-un produs de fracții algebrice, este aproape întotdeauna avantajos să factorizăm polinoamele înainte de a înmulți. Astfel putem identifica imediat eventualii factori comuni și simplifica calculele.
Dar mai întâi, să determinăm condițiile de existență. Numitorii prezenți sunt:
\[ x \qquad \text{și} \qquad x+1. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+1\neq 0. \]
A doua condiție este echivalentă cu:
\[ x\neq -1. \]
Deci condițiile de existență sunt:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Considerăm acum produsul:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
Numărătorul \(x^2-1\) este o diferență de pătrate:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Substituind această factorizare, obținem:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
La acest punct putem simplifica factorul \(x+1\), care apare la numărătorul primei fracții și la numitorul celei de-a doua.
Această simplificare este permisă deoarece în domeniu am impus \(x+1\neq 0\), adică \(x\neq -1\).
Putem de asemenea simplifica factorul \(x\), care apare la numitorul primei fracții și la numărătorul celei de-a doua. Și această operație este permisă deoarece am impus \(x\neq 0\).
După simplificări, rămâne:
\[ 2(x-1). \]
Deci:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Chiar dacă rezultatul final este un polinom, condițiile de existență nu trebuie uitate: expresia inițială nu era definită pentru \(x=0\) și pentru \(x=-1\).
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Calculați:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} \]
Rezultat
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Rezolvare
Expresia conține o împărțire între fracții algebrice. În aceste cazuri, trebuie verificat nu numai că numitorii sunt diferiți de zero, ci și că fracția împărțitor este diferită de zero.
Numitorul primei fracții este:
\[ x^2-2x. \]
Îl factorizăm dând factor comun pe \(x\):
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x(x-2)\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq 2. \]
Numitorul celei de-a doua fracții este și el \(x\), deci regăsim condiția:
\[ x\neq 0. \]
Trebuie acum să considerăm o condiție suplimentară: fracția \(\frac{x+2}{x}\) este împărțitorul. Deoarece nu se poate împărți la zero, trebuie să fie valabilă:
\[ \frac{x+2}{x}\neq 0. \]
În domeniul în care \(x\neq 0\), o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero. Trebuie deci să impunem:
\[ x+2\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq -2. \]
Condițiile globale sunt:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Acum putem transforma împărțirea în înmulțire cu fracția inversă:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Factorizăm polinoamele prezente:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
și
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Substituind, obținem:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
La acest punct putem simplifica factorii comuni. Factorul \(x-2\) apare la numărător și la numitor, factorul \(x+2\) apare la numărător și la numitor, și același lucru se întâmplă cu \(x\).
Toate aceste simplificări sunt permise deoarece am exclus valorile care ar face nuli acești factori:
\[ x\neq 2,\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 0. \]
După simplificări, rămâne:
\[ 1. \]
Deci:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Rezultatul final este o constantă, dar expresia inițială nu era definită pentru \(x=-2\), \(x=0\) și \(x=2\). Din acest motiv, condițiile de existență trebuie să rămână indicate.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Simplificați:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \]
Rezultat
\[ \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Rezolvare
Pentru a simplifica o fracție algebrică, trebuie mai întâi să factorizăm numărătorul și numitorul. Abia după această operație putem identifica factorii comuni de simplificat.
Considerăm numărătorul:
\[ x^2+2x+1. \]
Acest trinom este pătratul binomului \(x+1\), într-adevăr:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \]
Deci:
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Considerăm acum numitorul:
\[ x^2-1. \]
Este o diferență de pătrate:
\[ x^2-1=x^2-1^2. \]
Aplicând formula diferenței de pătrate, obținem:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Fracția devine:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}. \]
Înainte de a simplifica factorul comun \(x+1\), trebuie să determinăm condițiile de existență ale fracției inițiale:
\[ x^2-1\neq 0. \]
Folosind factorizarea:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
obținem:
\[ (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Un produs este diferit de zero dacă și numai dacă niciun factor nu este zero. Deci:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+1\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 1 \qquad \text{și} \qquad x\neq -1. \]
Acum putem simplifica un factor \(x+1\):
\[ \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. \]
Prin urmare:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Valoarea \(x=-1\) trebuie să rămână exclusă chiar dacă factorul \(x+1\) a fost simplificat. Într-adevăr, fracția inițială nu era definită pentru \(x=-1\).
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Calculați:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} \]
Rezultat
\[ \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Rezolvare
Expresia conține o sumă de fracții algebrice. Pentru a aduna fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aducem la același numitor.
Dar mai întâi să determinăm condițiile de existență. Numitorii sunt:
\[ x-1 \qquad \text{și} \qquad x^2-1. \]
Trebuie să impunem:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x^2-1\neq 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Condițiile devin deci:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{și} \qquad (x-1)(x+1)\neq 0. \]
De aici obținem:
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Numitorul comun cel mai convenabil este:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
A doua fracție are deja acest numitor:
\[ \frac{x}{x^2-1}. \]
Prima fracție, în schimb, are numitorul \(x-1\). Pentru a obține numitorul \((x-1)(x+1)\), trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul cu \(x+1\):
\[ \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Acum putem aduna:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{2(x+1)+x}{(x-1)(x+1)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ 2(x+1)+x=2x+2+x. \]
Reducem termenii asemănători:
\[ 2x+2+x=3x+2. \]
Deci:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)}. \]
Deoarece \((x-1)(x+1)=x^2-1\), putem scrie și:
\[ \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x^2-1}. \]
Prin urmare:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Nu putem simplifica mai departe, deoarece numărătorul \(3x+2\) nu conține factori comuni cu numitorul.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Simplificați expresia:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} \]
Rezultat
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Rezolvare
Expresia conține o paranteză cu o diferență între fracții algebrice și apoi un produs. Înainte de a efectua calculele, trebuie să determinăm condițiile de existență.
Numitorii prezenți sunt:
\[ x+2,\qquad x,\qquad x-2. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x+2\neq 0,\qquad x\neq 0,\qquad x-2\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Simplificăm mai întâi paranteza:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}. \]
Numitorul comun este:
\[ x(x+2). \]
În prima fracție lipsește factorul \(x\), deci:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x^2}{x(x+2)}. \]
În a doua fracție lipsește factorul \(x+2\), deci:
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Scăzând cele două fracții, obținem:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x} = \frac{x^2-2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ x^2-2(x+2)=x^2-2x-4. \]
Deci paranteza este egală cu:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}. \]
Expresia inițială devine:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}\cdot \frac{x(x+2)}{x-2}. \]
Acum putem simplifica factorul comun \(x(x+2)\), care apare la numitorul primei fracții și la numărătorul celei de-a doua.
Această simplificare este permisă deoarece în condițiile de existență am exclus deja \(x=0\) și \(x=-2\), adică valorile care ar anula acei factori.
Rămâne:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}. \]
Nu putem simplifica mai departe cu \(x-2\), deoarece numărătorul \(x^2-2x-4\) nu are \(x-2\) ca factor. Într-adevăr, substituind \(x=2\), se obține:
\[ 2^2-2\cdot 2-4=4-4-4=-4\neq 0. \]
Deci:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați ecuația fracționară:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2 \]
Rezultat
\[ S=\{7\} \]
Rezolvare
Într-o ecuație fracționară, primul pas constă întotdeauna în determinarea condițiilor de existență. Într-adevăr, valorile care anulează numitorii nu pot fi soluții ale ecuației.
În acest caz, numitorul este:
\[ x-3. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x-3\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 3. \]
Acum putem rezolva ecuația:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2. \]
Înmulțim ambii membri cu \(x-3\). Această operație este permisă deoarece lucrăm în domeniul ecuației, unde \(x-3\neq 0\).
Obținem:
\[ x+1=2(x-3). \]
Dezvoltăm al doilea membru:
\[ x+1=2x-6. \]
Aducem termenii cu \(x\) de o parte și termenii liberi de cealaltă:
\[ 1+6=2x-x. \]
Deci:
\[ 7=x. \]
Am găsit valoarea \(x=7\). Acum trebuie să verificăm că satisface condiția de existență.
Deoarece:
\[ 7\neq 3, \]
valoarea găsită este acceptabilă.
Prin urmare:
\[ S=\{7\}. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați ecuația fracționară:
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1} \]
Rezultat
\[ S=\{2\} \]
Rezolvare
Înainte de a rezolva ecuația, determinăm condițiile de existență. Numitorul este \(x-1\), deci trebuie să fie diferit de zero:
\[ x-1\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 1. \]
În domeniul ecuației, cei doi membri au același numitor:
\[ x-1. \]
Deoarece acest numitor este diferit de zero, putem egaliza numărătorii:
\[ x=2. \]
La acest punct trebuie să verificăm dacă valoarea găsită este compatibilă cu condiția de existență.
Condiția impune:
\[ x\neq 1. \]
Deoarece \(2\neq 1\), valoarea \(x=2\) este acceptabilă.
Deci mulțimea soluțiilor este:
\[ S=\{2\}. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați ecuația fracționară:
\[ \frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]
Rezultat
\[ S=\varnothing \]
Rezolvare
Înainte de a rezolva ecuația, trebuie să determinăm condițiile de existență. Chiar dacă numitorii sunt egali, nu putem ignora acest pas.
Numitorul comun este:
\[ x-1. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x-1\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 1. \]
În domeniul ecuației, numitorul \(x-1\) este diferit de zero. Putem deci egaliza numărătorii:
\[ x+2=3x. \]
Aducem termenii cu \(x\) de o parte:
\[ 2=3x-x. \]
Deci:
\[ 2=2x. \]
Împărțind la \(2\), obținem:
\[ x=1. \]
Valoarea găsită trebuie însă comparată cu condiția de existență. Impusesem:
\[ x\neq 1. \]
Valoarea \(x=1\) nu este deci acceptabilă, deoarece anulează numitorul inițial:
\[ 1-1=0. \]
În consecință, valoarea găsită trebuie eliminată.
Ecuația nu are soluții:
\[ S=\varnothing. \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați ecuația fracționară:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1 \]
Rezultat
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\} \]
Rezolvare
Pornim de la condițiile de existență. Numitorii prezenți în ecuație sunt:
\[ x \qquad \text{și} \qquad x+1. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+1\neq 0. \]
A doua condiție este echivalentă cu:
\[ x\neq -1. \]
Deci:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Acum rezolvăm ecuația:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1. \]
Numitorul comun este:
\[ x(x+1). \]
În domeniul ecuației, acest produs este diferit de zero. Putem deci înmulți ambii membri cu \(x(x+1)\).
Înmulțind primul termen cu \(x(x+1)\), obținem:
\[ \frac{1}{x}\cdot x(x+1)=x+1. \]
Înmulțind al doilea termen cu \(x(x+1)\), obținem:
\[ \frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=x. \]
Înmulțind al doilea membru cu \(x(x+1)\), obținem:
\[ 1\cdot x(x+1)=x(x+1). \]
Ecuația devine deci:
\[ x+1+x=x(x+1). \]
Adunăm termenii asemănători din primul membru:
\[ 2x+1=x(x+1). \]
Dezvoltăm al doilea membru:
\[ 2x+1=x^2+x. \]
Aducem toți termenii la al doilea membru:
\[ 0=x^2+x-2x-1. \]
Reducând termenii asemănători:
\[ 0=x^2-x-1. \]
Trebuie deci să rezolvăm:
\[ x^2-x-1=0. \]
Aplicăm formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
În acest caz:
\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1. \]
Prin urmare:
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}. \]
Simplificând:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}. \]
Deci:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \]
Trebuie acum să verificăm că valorile găsite sunt compatibile cu condițiile de existență. Condițiile erau:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Cele două valori
\[ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \qquad \text{și} \qquad \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
nu sunt nici \(0\), nici \(-1\), deci ambele sunt acceptabile.
Prin urmare:
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Simplificați:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} \]
Rezultat
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3 \]
Rezolvare
Expresia conține un produs de fracții algebrice. Înainte de a efectua produsul, este avantajos să factorizăm toate polinoamele. Totuși, condițiile de existență trebuie determinate pornind de la numitorii expresiei inițiale.
Numitorii sunt:
\[ x^2-4 \qquad \text{și} \qquad x-3. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x^2-4\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x-3\neq 0. \]
Factorizăm primul numitor:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Deci condiția \(x^2-4\neq 0\) devine:
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un produs este diferit de zero dacă niciunul dintre factori nu este zero. Deci:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{și} \qquad x+2\neq 0. \]
De unde:
\[ x\neq 2 \qquad \text{și} \qquad x\neq -2. \]
Din a doua condiție obținem în schimb:
\[ x-3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x\neq 3. \]
Condițiile de existență globale sunt deci:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 2,\qquad x\neq 3. \]
Trecem acum la simplificare. Factorizăm numărătorul primei fracții:
\[ x^2-5x+6. \]
Căutăm două numere al căror produs este \(6\) și a căror sumă este \(-5\). Aceste numere sunt \(-2\) și \(-3\). Deci:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Mai mult, după cum am văzut deja:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Expresia devine:
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-3}. \]
La acest punct putem simplifica factorii comuni.
Factorul \(x-2\) apare la numărătorul și la numitorul primei fracții. Putem să-l simplificăm deoarece am exclus \(x=2\).
Factorul \(x+2\) apare la numitorul primei fracții și la numărătorul celei de-a doua. Putem să-l simplificăm deoarece am exclus \(x=-2\).
Factorul \(x-3\) apare la numărătorul primei fracții și la numitorul celei de-a doua. Putem să-l simplificăm deoarece am exclus \(x=3\).
După aceste simplificări, nu mai rămâne niciun factor variabil:
\[ 1. \]
Prin urmare:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} = 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3. \]
Chiar dacă rezultatul final este constanta \(1\), nu putem uita condițiile de existență. Expresia inițială, într-adevăr, nu este definită pentru \(x=-2\), \(x=2\) și \(x=3\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Simplificați expresia:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} \]
Rezultat
\[ 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1 \]
Rezolvare
Această expresie conține mai întâi o diferență între fracții algebrice și apoi o împărțire printr-o altă fracție. Din acest motiv, condițiile de existență trebuie determinate cu atenție deosebită.
Numitorii prezenți sunt:
\[ x^2-1,\qquad x-1,\qquad x+1. \]
Trebuie deci să impunem:
\[ x^2-1\neq 0,\qquad x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0. \]
Factorizăm:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Deci condițiile asupra numitorilor conduc la:
\[ x\neq 1 \qquad \text{și} \qquad x\neq -1. \]
Există însă o condiție suplimentară. Fracția
\[ \frac{x}{x+1} \]
este împărțitorul expresiei. A împărți printr-o fracție înseamnă a înmulți cu inversul ei, dar aceasta este posibil numai dacă fracția împărțitor este diferită de zero.
Trebuie deci să impunem:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
În domeniul în care \(x+1\neq 0\), o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul este egal cu zero. Prin urmare, trebuie să excludem și:
\[ x=0. \]
Condițiile globale sunt:
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 1. \]
Acum lucrăm la paranteză:
\[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Factorizăm numitorul primei fracții:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Deci:
\[ \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}. \]
În domeniul expresiei știm că \(x+1\neq 0\). Putem deci simplifica factorul comun \(x+1\):
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}. \]
Paranteza devine:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Diferența dintre două fracții egale este zero:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0. \]
Expresia inițială se reduce deci la:
\[ 0:\frac{x}{x+1}. \]
Prin condițiile de existență am impus că:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Deci împărțirea este permisă și rezultatul este:
\[ 0. \]
Prin urmare:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} = 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Rezultatul final este zero, dar expresia inițială nu este definită pentru \(x=-1\), \(x=0\) și \(x=1\). Aceste valori trebuie deci să rămână excluse.