Fracțiile algebrice sunt expresii în care apar polinoame la numărător și la numitor. Ele reprezintă o extindere naturală a fracțiilor numerice: după cum o fracție numerică exprimă raportul dintre două numere, o fracție algebrică exprimă raportul dintre două expresii algebrice.
Față de fracțiile numerice, fracțiile algebrice impun o atenție suplimentară: numitorul poate depinde de una sau mai multe variabile și se poate anula pentru anumite valori. Din acest motiv nu este suficient să știm să calculăm; trebuie mai întâi să stabilim pentru ce valori expresia are sens.
Cuprins
- Ce este o fracție algebrică
- Condiții de existență și domeniu de definiție
- Fracții algebrice echivalente
- Simplificarea fracțiilor algebrice
- Reducerea la același numitor
- Operații cu fracțiile algebrice
- Expresii cu fracții algebrice
- Ecuații cu fracții algebrice
- Greșeli de evitat
Ce este o fracție algebrică
Se numește fracție algebrică o expresie de forma
\[ \frac{A}{B} \]
unde \(A\) și \(B\) sunt expresii algebrice, cu \(B\neq 0\). În cazurile cele mai comune, \(A\) și \(B\) sunt polinoame. Expresia \(A\) se numește numărător, iar \(B\) se numește numitor.
De exemplu,
\[ \frac{x+1}{x-2}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}, \qquad \frac{2a-b}{a^2-b^2} \]
sunt fracții algebrice.
Prezența numitorului este aspectul central al teoriei. Într-adevăr, o fracție, numerică sau algebrică, nu are sens atunci când numitorul este nul. Din acest motiv, înainte de a transforma sau simplifica o fracție algebrică, este necesar să identificăm valorile pentru care numitorul se anulează.
Condiții de existență și domeniu de definiție
O fracție algebrică
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \]
este definită pentru toate valorile variabilei pentru care numitorul este diferit de zero:
\[ B(x)\neq 0. \]
Această condiție poartă denumirea de condiție de existență. Mulțimea valorilor care satisfac această condiție este domeniul de definiție al fracției algebrice.
Exemplu
Considerăm fracția
\[ \frac{x+3}{x-5}. \]
Numitorul este \(x-5\). Impunem că este diferit de zero:
\[ x-5\neq 0. \]
De unde
\[ x\neq 5. \]
Deci fracția este definită pentru toate valorile reale ale lui \(x\), cu excepția lui \(5\). Domeniul de definiție este
\[ \mathbb{R}\setminus\{5\}. \]
Exemplu cu numitor descompozabil
Considerăm
\[ \frac{x+1}{x^2-4}. \]
Numitorul se anulează când
\[ x^2-4=0. \]
Deoarece
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
obținem
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un produs este diferit de zero dacă și numai dacă fiecare factor este diferit de zero. Deci
\[ x\neq 2 \quad \text{și} \quad x\neq -2. \]
Domeniul de definiție este
\[ \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
Fracții algebrice echivalente
Două fracții algebrice sunt echivalente dacă iau aceeași valoare pentru orice valoare a variabilei aparținând domeniului comun.
Proprietatea fundamentală este analogă celei a fracțiilor numerice: înmulțind numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă, se obține o fracție echivalentă.
Dacă \(C\neq 0\), atunci
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}, \qquad B\neq 0,\ C\neq 0. \]
Această proprietate stă la baza atât a simplificării, cât și a reducerii la același numitor. Condiția \(C\neq 0\) nu este un detaliu formal: dacă se înmulțește sau se împarte printr-o expresie care se poate anula, există riscul de a modifica domeniul de definiție al expresiei.
Simplificarea fracțiilor algebrice
A simplifica o fracție algebrică înseamnă a împărți numărătorul și numitorul prin același factor comun nenul. Pentru a o face corect, trebuie mai întâi să descompunem numărătorul și numitorul în factori.
Nu se pot simplifica termeni separați prin adunări sau scăderi. Se pot simplifica doar factorii comuni.
Exemplu
Simplificăm
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}. \]
Mai întâi descompunem numărătorul și numitorul:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Prin urmare
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}. \]
Factorul \(x+1\) este comun numărătorului și numitorului. Îl putem simplifica, reamintind însă că \(x+1\neq 0\), adică \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}. \]
Deci
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{x-1}{x+1}, \qquad x\neq -1. \]
Este important să observăm că fracția simplificată are aceeași valoare cu fracția inițială numai pe domeniul de definiție al fracției inițiale. Simplificarea nu permite uitarea condițiilor de existență.
Reducerea la același numitor
Pentru a aduna sau scădea fracții algebrice, trebuie să le reducem la același numitor. Cel mai convenabil numitor comun este de obicei cel mai mic multiplu comun al numitorilor, calculat după descompunerea lor în factori.
Procedeul este următorul:
- se descompun numitorii în factori;
- se determină cel mai mic numitor comun;
- se transformă fiecare fracție într-o fracție echivalentă cu acel numitor;
- se adună sau se scad numărătorii.
Exemplu
Reducem la același numitor
\[ \frac{1}{x-1} \quad \text{și} \quad \frac{2}{x+1}. \]
Numitorii sunt deja descompuși. Cel mai mic numitor comun este
\[ (x-1)(x+1). \]
Prin urmare
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]
și
\[ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Condițiile de existență sunt
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Operații cu fracțiile algebrice
Sumă și diferență
Pentru a aduna sau scădea două fracții algebrice cu același numitor, se adună sau se scad numărătorii și se păstrează numitorul:
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Analog,
\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Exemplu
Calculăm
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}. \]
Numitorul comun este \((x-1)(x+1)\). Deci
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Acum putem aduna numărătorii:
\[ \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ x+1+2x-2=3x-1. \]
Prin urmare
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Condițiile de existență sunt
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1. \]
Produs
Produsul a două fracții algebrice se obține înmulțind numărătorii între ei și numitorii între ei:
\[ \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \qquad B\neq 0,\ D\neq 0. \]
Înainte de a efectua produsele, este adesea convenabil să descompunem în factori și să simplificăm eventualii factori comuni.
Exemplu
Calculăm
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Descompunem:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Deci
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Putem simplifica factorul \(x+1\) și un factor \(x\), ținând seama de condițiile \(x\neq 0\) și \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}. \]
Prin urmare
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}, \qquad x\neq 0,\ x\neq -1. \]
Împărțire
A împărți printr-o fracție algebrică înseamnă a înmulți cu reciproca sa, cu condiția că fracția împărțitor să fie diferită de zero:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. \]
Condițiile sunt
\[ B\neq 0,\qquad D\neq 0,\qquad C\neq 0. \]
Condiția \(C\neq 0\) este necesară deoarece fracția \(\frac{C}{D}\), fiind împărțitorul, nu poate fi egală cu zero.
Expresii cu fracții algebrice
În expresiile ce conțin fracții algebrice, este oportun să se procedeze cu ordine. Mai întâi se stabilesc condițiile de existență, apoi se efectuează operațiile respectând ierarhia parantezelor și a operațiilor.
Exemplu
Simplificăm
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Mai întâi determinăm condițiile de existență:
\[ x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0,\qquad x\neq 0. \]
Deci
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1,\qquad x\neq 0. \]
Acum lucrăm pe paranteză:
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}. \]
Numitorul comun este \((x-1)(x+1)\), deci
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]
și
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Prin urmare
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Dezvoltăm numărătorul:
\[ x(x+1)-(x-1)=x^2+x-x+1=x^2+1. \]
Astfel expresia devine
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Deoarece
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
avem
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}. \]
Simplificând factorii comuni,
\[ \frac{x^2+1}{x}. \]
Deci
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2+1}{x}, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Ecuații cu fracții algebrice
Ecuațiile care conțin fracții algebrice se numesc adesea ecuații fracționare. Rezolvarea lor necesită o atenție deosebită, deoarece nu toate soluțiile obținute algebric sunt în mod necesar acceptabile.
Procedeul corect este:
- determinarea condițiilor de existență;
- rezolvarea ecuației cu respectarea acestor condiții;
- eliminarea eventualelor valori care anulează unul dintre numitorii inițiali.
Exemplu
Rezolvăm
\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]
Condiția de existență este
\[ x-2\neq 0, \]
adică
\[ x\neq 2. \]
Înmulțim ambii membri cu \(x-2\), care este diferit de zero pe domeniul ecuației:
\[ x+1=3(x-2). \]
Dezvoltăm:
\[ x+1=3x-6. \]
Trecem termenii cu \(x\) de o parte și termenii liberi de cealaltă:
\[ 1+6=3x-x. \]
Deci
\[ 7=2x, \]
de unde
\[ x=\frac{7}{2}. \]
Deoarece \(\frac{7}{2}\neq 2\), soluția este acceptabilă:
\[ S=\left\{\frac{7}{2}\right\}. \]
Exemplu cu valoare de eliminat
Rezolvăm
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}. \]
Condiția de existență este
\[ x-1\neq 0, \]
adică
\[ x\neq 1. \]
Deoarece numitorii sunt egali și diferiți de zero pe domeniu, putem egaliza numărătorii:
\[ x=1. \]
Totuși \(x=1\) nu satisface condiția de existență, deoarece anulează numitorul. Prin urmare, valoarea găsită trebuie eliminată.
Ecuația nu are soluții:
\[ S=\varnothing. \]
Greșeli de evitat
Prima greșeală constă în simplificarea termenilor în loc de factori. De exemplu,
\[ \frac{x+2}{x} \]
nu poate fi simplificată prin eliminarea lui \(x\), deoarece \(x\) nu este un factor comun al întregului numărător: apare doar ca termen al sumei \(x+2\).
A doua greșeală constă în uitarea condițiilor de existență după o simplificare. De exemplu,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \]
dar această egalitate este valabilă numai pentru
\[ x\neq 1. \]
Într-adevăr, fracția inițială nu este definită pentru \(x=1\), în timp ce expresia \(x+1\) ar fi. Prin urmare, privite ca expresii cu domeniu de definiție, cele două scrieri nu sunt identice dacă nu se păstrează condiția \(x\neq 1\).
A treia greșeală constă în înmulțirea ambilor membri ai unei ecuații cu o expresie care poate fi nulă, fără a fi stabilit în prealabil domeniul de definiție. Într-o ecuație fracționară, orice transformare trebuie justificată în cadrul condițiilor de existență.
Fracțiile algebrice nu sunt pur și simplu fracții cu litere. Sunt expresii raționale al căror sens depinde în mod esențial de numitor. Din acest motiv, orice calcul trebuie însoțit de verificarea condițiilor de existență.
A simplifica, a aduna, a înmulți sau a împărți fracții algebrice înseamnă a aplica aceleași proprietăți ale fracțiilor numerice, dar cu o atenție sporită față de domeniul de definiție. Regula fundamentală este întotdeauna aceeași: expresiile pot fi transformate numai în mod compatibil cu valorile pentru care ele sunt definite.
O cunoaștere riguroasă a fracțiilor algebrice este indispensabilă pentru abordarea ecuațiilor fracționare, inecuațiilor raționale, funcțiilor raționale și a multor subiecte ulterioare din algebră și analiză matematică.