În această culegere propunem 20 de exerciții rezolvate despre funcția inversă, cu dificultate progresivă și explicații pas cu pas. Exercițiile vizează calculul inversei, studiul inversabilității, rolul domeniului și al codomeniului, precum și noțiunile de inversă la stânga și inversă la dreapta.
Ideea fundamentală de reținut este că o funcție \(f:A\to B\) admite inversă \(f^{-1}:B\to A\) dacă și numai dacă este bijectivă, adică dacă este în același timp injectivă și surjectivă.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă, iar inversa ei este
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Rezolvare
Funcția este afină, cu coeficient unghiular nenul. Prin urmare, este injectivă și surjectivă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), deci admite inversă.
Notăm
\[ y=3x-5. \]
Pentru a găsi inversa, trebuie să rezolvăm această ecuație în raport cu \(x\). Adunăm \(5\) la ambii membri:
\[ y+5=3x. \]
Împărțind la \(3\), obținem
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Așadar,
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Redenumind variabila independentă, se obține
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Verificăm prin compunere:
\[ f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x \]
și
\[ f(f^{-1}(x))=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Cele două identități confirmă că funcția găsită este într-adevăr inversa lui \(f\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Fie
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-4}{2}. \]
Să se determine \(f^{-1}\) și să se verifice rezultatul prin compunere.
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Rezolvare
Notăm
\[ y=\frac{x-4}{2}. \]
Rezolvăm în raport cu \(x\). Înmulțind ambii membri cu \(2\), obținem
\[ 2y=x-4. \]
Adunând \(4\) la ambii membri:
\[ x=2y+4. \]
Deci
\[ f^{-1}(y)=2y+4. \]
Redenumind variabila independentă:
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Verificăm acum cele două compuneri. Pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=2\cdot\frac{x-4}{2}+4=x-4+4=x. \]
În plus, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=\frac{(2x+4)-4}{2}=x. \]
Deoarece
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{și}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}, \]
funcția găsită este inversa lui \(f\).
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:\mathbb R\setminus\{-3\}\to\mathbb R\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Rezolvare
Pornim de la ecuația
\[ y=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Deoarece \(x\ne -3\), numitorul este nenul. Înmulțim ambii membri cu \(x+3\):
\[ y(x+3)=2x-1. \]
Dezvoltăm membrul stâng:
\[ xy+3y=2x-1. \]
Trecem termenii care conțin \(x\) într-o parte și pe ceilalți în cealaltă parte:
\[ xy-2x=-1-3y. \]
Dăm factor comun pe \(x\):
\[ x(y-2)=-(1+3y). \]
Deoarece codomeniul este \(\mathbb R\setminus\{2\}\), avem \(y\ne 2\), deci putem împărți la \(y-2\):
\[ x=\frac{-(1+3y)}{y-2}. \]
Schimbând semnul la numărător și la numitor, obținem
\[ x=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Deci
\[ f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Redenumind variabila independentă:
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Observăm că \(x\ne 2\) în domeniul lui \(f^{-1}\), deci numitorul \(2-x\) nu se anulează. Acest lucru este în concordanță cu faptul că domeniul inversei coincide cu codomeniul funcției inițiale.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Se consideră funcția
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă este inversabilă și, în caz afirmativ, să se determine inversa ei.
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Rezolvare
Funcția
\[ f(x)=x^2 \]
nu este inversabilă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), dar în acest exercițiu domeniul este restrâns la \([0,+\infty)\), iar codomeniul este \([0,+\infty)\).
Verificăm injectivitatea. Dacă \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) și
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
atunci
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Deoarece \(x_1\ge 0\) și \(x_2\ge 0\), din \(x_1^2=x_2^2\) rezultă
\[ x_1=x_2. \]
Așadar, \(f\) este injectivă.
Verificăm surjectivitatea. Fie \(y\in[0,+\infty)\) oarecare; alegem
\[ x=\sqrt y. \]
Atunci \(x\in[0,+\infty)\) și
\[ f(x)=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Prin urmare, \(f\) este surjectivă.
Fiind injectivă și surjectivă, \(f\) este bijectivă și admite inversă. Din relația
\[ y=x^2 \]
cu \(x\ge 0\), obținem
\[ x=\sqrt y. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
admite funcție inversă.
Rezultat
Funcția nu este inversabilă, deoarece nu este nici injectivă, nici surjectivă pe \(\mathbb R\).
Rezolvare
O funcție \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) admite inversă dacă și numai dacă este bijectivă, adică dacă este injectivă și surjectivă.
Funcția
\[ f(x)=x^2 \]
nu este injectivă. Într-adevăr,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
și
\[ f(1)=1^2=1. \]
Așadar,
\[ f(-1)=f(1), \]
dar \(-1\ne 1\). Prin urmare, două elemente distincte ale domeniului au aceeași imagine.
În plus, funcția nu este surjectivă pe \(\mathbb R\), deoarece niciun număr negativ nu este imaginea vreunui număr real prin funcția \(x^2\). De exemplu, nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x^2=-1. \]
În consecință, \(f\) nu este bijectivă.
Prin urmare, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
nu admite funcție inversă.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:[-2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Rezolvare
Funcția este definită pe \([-2,+\infty)\), deoarece trebuie să avem
\[ x+2\ge 0. \]
În plus, ia valori în \([0,+\infty)\), deoarece o rădăcină pătrată este întotdeauna nenegativă.
Notăm
\[ y=\sqrt{x+2}. \]
Deoarece \(y\ge 0\), putem ridica la pătrat ambii membri:
\[ y^2=x+2. \]
Rezolvând în raport cu \(x\), obținem:
\[ x=y^2-2. \]
Așadar,
\[ f^{-1}(y)=y^2-2. \]
Redenumind variabila independentă:
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Observăm că domeniul lui \(f^{-1}\) este \([0,+\infty)\), adică codomeniul lui \(f\), în timp ce codomeniul lui \(f^{-1}\) este \([-2,+\infty)\), adică domeniul lui \(f\).
Verificăm:
\[ f^{-1}(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x \]
pentru orice \(x\in[-2,+\infty)\), și
\[ f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \]
pentru orice \(x\in[0,+\infty)\). În ultimul pas am folosit faptul că \(x\ge 0\), deci \(\sqrt{x^2}=x\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:\mathbb R\to(1,+\infty), \qquad f(x)=e^x+1. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Rezolvare
Funcția \(e^x\) este strict crescătoare pe \(\mathbb R\), deci și \(e^x+1\) este strict crescătoare pe \(\mathbb R\). În consecință, \(f\) este injectivă.
În plus, deoarece
\[ e^x>0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem
\[ e^x+1>1. \]
Imaginea funcției este, prin urmare, \((1,+\infty)\), care coincide cu codomeniul dat. Așadar, funcția este surjectivă.
Fiind bijectivă, admite inversă. Notăm
\[ y=e^x+1. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri:
\[ y-1=e^x. \]
Deoarece \(y\in(1,+\infty)\), avem \(y-1>0\), deci putem aplica logaritmul natural:
\[ \ln(y-1)=x. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(y)=\ln(y-1). \]
Redenumind variabila:
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln x-3. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Rezolvare
Funcția logaritm natural este definită pentru \(x>0\), este strict crescătoare și ia toate valorile reale. Prin urmare, și funcția \(\ln x-3\) este bijectivă de la \((0,+\infty)\) la \(\mathbb R\).
Notăm
\[ y=\ln x-3. \]
Adunăm \(3\) la ambii membri:
\[ y+3=\ln x. \]
Aplicăm exponențiala ambilor membri:
\[ e^{y+3}=x. \]
Deci
\[ f^{-1}(y)=e^{y+3}. \]
Redenumind variabila independentă, obținem
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Verificăm una dintre compuneri:
\[ f(f^{-1}(x))=\ln(e^{x+3})-3=x+3-3=x. \]
În plus,
\[ f^{-1}(f(x))=e^{(\ln x-3)+3}=e^{\ln x}=x. \]
Cele două identități confirmă că funcția găsită este inversa.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x \]
este inversabilă. În caz contrar, să se precizeze ce proprietate lipsește.
Rezultat
Funcția nu este inversabilă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), deoarece nu este surjectivă.
Rezolvare
Funcția
\[ f(x)=e^x \]
este injectivă pe \(\mathbb R\), deoarece exponențiala este strict crescătoare.
Totuși, nu este surjectivă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\). Într-adevăr, pentru orice \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x>0. \]
Așadar, niciun număr real mai mic sau egal cu zero nu este imaginea vreunui număr real prin \(f\). De exemplu, nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ e^x=-1. \]
În consecință, imaginea lui \(f\) este
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
care este o submulțime proprie a codomeniului \(\mathbb R\).
Deoarece \(f\) nu este surjectivă, nu este bijectivă. Prin urmare, nu admite funcție inversă
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Dacă, în schimb, se consideră funcția
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty), \qquad f(x)=e^x, \]
atunci funcția devine bijectivă, iar inversa ei este
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x| \]
este inversabilă. În caz contrar, să se precizeze ce proprietate lipsește.
Rezultat
Funcția nu este inversabilă, deoarece este surjectivă, dar nu injectivă.
Rezolvare
Funcția
\[ f(x)=|x| \]
ia întotdeauna valori nenegative, deci codomeniul \([0,+\infty)\) este în concordanță cu imaginea ei.
Funcția este surjectivă pe \([0,+\infty)\). Într-adevăr, dat fiind un \(y\in[0,+\infty)\) oarecare, este suficient să alegem
\[ x=y. \]
Atunci \(x\in\mathbb R\) și
\[ f(x)=|y|=y, \]
deoarece \(y\ge 0\).
Totuși, \(f\) nu este injectivă. Într-adevăr,
\[ f(-2)=|-2|=2 \]
și
\[ f(2)=|2|=2. \]
Așadar,
\[ f(-2)=f(2), \]
dar \(-2\ne 2\).
Deoarece funcția nu este injectivă, nu este bijectivă. În consecință, nu admite funcție inversă.
Problema este că, pornind de la valoarea \(2\), nu am putea decide în mod unic dacă elementul de plecare a fost \(2\) sau \(-2\).
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Se consideră funcția
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=(x-1)^2. \]
Să se stabilească dacă este inversabilă și, în caz afirmativ, să se determine inversa ei.
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Rezolvare
Funcția este definită pe \([1,+\infty)\). Pe acest interval avem
\[ x-1\ge 0. \]
Verificăm injectivitatea. Dacă \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) și
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
atunci
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Deoarece \(x_1-1\ge 0\) și \(x_2-1\ge 0\), rezultă
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Deci
\[ x_1=x_2. \]
Așadar, funcția este injectivă.
Verificăm surjectivitatea. Fie \(y\in[0,+\infty)\). Căutăm \(x\in[1,+\infty)\) astfel încât
\[ (x-1)^2=y. \]
Deoarece \(x-1\ge 0\), obținem
\[ x-1=\sqrt y. \]
Așadar,
\[ x=1+\sqrt y. \]
Acest număr aparține lui \([1,+\infty)\), deci funcția este surjectivă.
Fiind bijectivă, funcția este inversabilă. Din relația
\[ y=(x-1)^2 \]
obținem
\[ x=1+\sqrt y. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt x. \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^3+2. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Rezolvare
Funcția
\[ f(x)=x^3+2 \]
este strict crescătoare pe \(\mathbb R\), deoarece funcția \(x^3\) este strict crescătoare, iar adunarea lui \(2\) nu modifică monotonia.
Așadar, \(f\) este injectivă.
În plus, pentru orice \(y\in\mathbb R\), putem rezolva ecuația
\[ x^3+2=y. \]
Scăzând \(2\):
\[ x^3=y-2. \]
Deoarece orice număr real admite o rădăcină cubică reală, obținem
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Așadar, pentru orice \(y\in\mathbb R\), există \(x\in\mathbb R\) astfel încât \(f(x)=y\). Funcția este surjectivă.
Fiind injectivă și surjectivă, \(f\) este bijectivă și admite inversă.
Din relația
\[ y=x^3+2 \]
obținem
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Se consideră funcția
\[ f:[2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x-2|. \]
Să se stabilească dacă este inversabilă și să se determine inversa ei.
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Rezolvare
Deoarece domeniul este \([2,+\infty)\), pentru orice \(x\in[2,+\infty)\) avem
\[ x-2\ge 0. \]
În consecință,
\[ |x-2|=x-2. \]
Funcția devine astfel
\[ f(x)=x-2 \]
pe domeniul \([2,+\infty)\).
Această funcție este injectivă, deoarece dacă
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
atunci
\[ x_1-2=x_2-2, \]
și deci
\[ x_1=x_2. \]
Este și surjectivă pe \([0,+\infty)\). Într-adevăr, dat fiind \(y\in[0,+\infty)\), alegem
\[ x=y+2. \]
Atunci \(x\in[2,+\infty)\) și
\[ f(x)=|y+2-2|=|y|=y, \]
deoarece \(y\ge 0\).
Așadar, funcția este bijectivă.
Din relația
\[ y=x-2 \]
obținem
\[ x=y+2. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se determine inversa funcției
\[ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Rezultat
Funcția este inversabilă și coincide cu inversa sa:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Rezolvare
Funcția este definită pe \((0,+\infty)\) și ia valori în \((0,+\infty)\), deoarece dacă \(x>0\), atunci
\[ \frac{1}{x}>0. \]
Notăm
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Deoarece \(x>0\), putem înmulți cu \(x\):
\[ xy=1. \]
Deoarece \(y>0\), putem împărți la \(y\):
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Deci
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{y}. \]
Redenumind variabila independentă:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
În acest caz, funcția coincide cu propria sa inversă.
Verificăm:
\[ f(f(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. \]
Așadar, aplicând \(f\) de două ori se obține elementul inițial.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Se consideră funcția
\[ f:(-1,+\infty)\to(-\infty,1), \qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Să se stabilească dacă este inversabilă și, în caz afirmativ, să se determine inversa ei.
Rezultat
Funcția este inversabilă și
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Rezolvare
Pentru \(x\in(-1,+\infty)\), avem \(x+1>0\), deci funcția este bine definită.
În plus, putem rescrie funcția sub forma
\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]
Deoarece \(x+1>0\), avem
\[ \frac{1}{x+1}>0. \]
Deci
\[ f(x)=1-\frac{1}{x+1}<1. \]
Acest lucru este în concordanță cu codomeniul \((-\infty,1)\).
Determinăm inversa. Notăm
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Înmulțim cu \(x+1\):
\[ y(x+1)=x. \]
Dezvoltăm:
\[ xy+y=x. \]
Trecem termenii care conțin \(x\) în același membru:
\[ xy-x=-y. \]
Dăm factor comun pe \(x\):
\[ x(y-1)=-y. \]
Deoarece \(y\in(-\infty,1)\), avem \(y\ne 1\), deci putem împărți la \(y-1\):
\[ x=\frac{-y}{y-1}. \]
Schimbând semnul la numărător și la numitor:
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Deci
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
Redenumind variabila:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Observăm că domeniul inversei este \((-\infty,1)\), deci \(1-x>0\) și numitorul nu se anulează.
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x. \]
Să se construiască o inversă la stânga a lui \(f\).
Rezultat
O posibilă inversă la stânga este funcția \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definită prin
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Într-adevăr,
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Rezolvare
Funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
este injectivă, dar nu este surjectivă pe \(\mathbb R\), deoarece imaginea ei este \((0,+\infty)\).
Pentru a avea o inversă la stânga a lui \(f\), trebuie să construim o funcție
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
astfel încât
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
În formă explicită, trebuie să avem
\[ g(f(x))=x \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\).
Deoarece \(f(x)=e^x>0\), pe valorile pozitive funcția \(g\) trebuie să se comporte ca logaritmul natural:
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Totuși, \(g\) trebuie să fie definită pe întreg \(\mathbb R\), deoarece domeniul ei trebuie să coincidă cu codomeniul lui \(f\).
Pe valorile \(y\le 0\), funcția \(f\) nu impune nicio valoare lui \(g\), deoarece niciun număr mai mic sau egal cu zero nu este imaginea prin \(f\). Putem, prin urmare, alege arbitrar o valoare reală.
De exemplu, definim
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Atunci, pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem \(e^x>0\), deci
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Așadar,
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Prin urmare, funcția \(g\) este o inversă la stânga a lui \(f\). Totuși, nu este o adevărată funcție inversă, deoarece \(f\) nu este surjectivă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★☆☆
Fie
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Să se construiască două inverse la dreapta distincte ale lui \(f\).
Rezultat
Două inverse la dreapta ale lui \(f\) sunt
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
și
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Ambele sunt funcții de la \([0,+\infty)\) la \(\mathbb R\) și satisfac
\[ f\circ h_i=\operatorname{id}_{[0,+\infty)} \]
pentru \(i=1,2\).
Rezolvare
O inversă la dreapta a lui \(f\) este o funcție
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
astfel încât
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
În formă explicită, trebuie să avem
\[ f(h(y))=y \]
pentru orice \(y\in[0,+\infty)\).
Deoarece \(f(x)=x^2\), trebuie să alegem, pentru fiecare \(y\ge 0\), un număr real \(h(y)\) astfel încât
\[ (h(y))^2=y. \]
O primă alegere naturală este
\[ h_1(y)=\sqrt y. \]
Într-adevăr, pentru orice \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_1(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Deci
\[ f\circ h_1=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
O a doua alegere posibilă este
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Și în acest caz, pentru orice \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_2(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Deci
\[ f\circ h_2=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Funcțiile \(h_1\) și \(h_2\) sunt distincte, deoarece, de exemplu,
\[ h_1(1)=1, \qquad h_2(1)=-1. \]
Aceasta arată că o funcție surjectivă, dar care nu este injectivă, poate avea mai multe inverse la dreapta.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze că, dacă o funcție \(f:A\to B\) admite o inversă la stânga \(g:B\to A\), atunci \(f\) este injectivă.
Rezultat
Dacă există \(g:B\to A\) astfel încât
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A, \]
atunci \(f\) este injectivă.
Rezolvare
Prin ipoteză, \(g\) este o inversă la stânga a lui \(f\). Aceasta înseamnă că
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
În formă explicită:
\[ g(f(x))=x \]
pentru orice \(x\in A\).
Trebuie să demonstrăm că \(f\) este injectivă. Fie, așadar, \(x_1,x_2\in A\) și să presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Pentru a demonstra injectivitatea, trebuie să deducem că
\[ x_1=x_2. \]
Aplicăm \(g\) ambilor membri ai egalității \(f(x_1)=f(x_2)\). Obținem
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Deoarece \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), avem
\[ g(f(x_1))=x_1 \]
și
\[ g(f(x_2))=x_2. \]
Prin urmare,
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat că, dacă două elemente ale domeniului au aceeași imagine, atunci ele coincid. Așadar, \(f\) este injectivă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze că, dacă o funcție \(f:A\to B\) admite o inversă la dreapta \(h:B\to A\), atunci \(f\) este surjectivă.
Rezultat
Dacă există \(h:B\to A\) astfel încât
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B, \]
atunci \(f\) este surjectivă.
Rezolvare
Prin ipoteză, \(h\) este o inversă la dreapta a lui \(f\). Deci
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
În formă explicită, pentru orice \(y\in B\), avem
\[ f(h(y))=y. \]
Trebuie să demonstrăm că \(f\) este surjectivă. Pentru aceasta, fie \(y\in B\) un element arbitrar; trebuie să arătăm că există cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Deoarece \(h\) este o funcție de la \(B\) la \(A\), elementul \(h(y)\) aparține lui \(A\). Notăm, prin urmare,
\[ x=h(y). \]
Atunci, folosind identitatea \(f\circ h=\operatorname{id}_B\), obținem
\[ f(x)=f(h(y))=y. \]
Am găsit, așadar, un element \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\).
Deoarece \(y\in B\) a fost arbitrar, orice element din \(B\) este imaginea a cel puțin un element din \(A\). Așadar, \(f\) este surjectivă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Fie \(f:A\to B\) o funcție. Să presupunem că există o funcție \(u:B\to A\) astfel încât
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Să se demonstreze că \(f\) este bijectivă și că \(u=f^{-1}\).
Rezultat
Funcția \(f\) este bijectivă, iar \(u\) este funcția ei inversă:
\[ u=f^{-1}. \]
Rezolvare
Prin ipoteză, funcția \(u:B\to A\) satisface două identități:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Prima identitate spune că \(u\) este o inversă la stânga a lui \(f\). Într-adevăr, pentru orice \(x\in A\),
\[ u(f(x))=x. \]
Demonstrăm mai întâi că \(f\) este injectivă. Fie \(x_1,x_2\in A\) și să presupunem că
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicând \(u\) ambilor membri:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Deoarece \(u\circ f=\operatorname{id}_A\), obținem
\[ x_1=x_2. \]
Așadar, \(f\) este injectivă.
A doua identitate spune că \(u\) este o inversă la dreapta a lui \(f\). Într-adevăr, pentru orice \(y\in B\),
\[ f(u(y))=y. \]
Demonstrăm acum că \(f\) este surjectivă. Fie \(y\in B\). Deoarece \(u(y)\in A\), luând
\[ x=u(y), \]
obținem
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Așadar, orice element \(y\in B\) este imaginea a cel puțin un element din \(A\). Prin urmare, \(f\) este surjectivă.
Am demonstrat că \(f\) este atât injectivă, cât și surjectivă. Așadar, \(f\) este bijectivă.
Deoarece o funcție bijectivă admite o funcție inversă \(f^{-1}:B\to A\), această inversă este caracterizată de identitățile
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Însă funcția \(u\) satisface exact aceste două identități:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{și}\qquad f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Așadar, \(u\) este funcția care inversează \(f\) atât la stânga, cât și la dreapta.
Prin unicitatea inversei, deducem că
\[ u=f^{-1}. \]