Noțiunea de funcție inversă se naște dintr-o întrebare firească: dată fiind o funcție care asociază fiecărui element al domeniului un element al codomeniului, putem oare parcurge această corespondență în sens invers?
Altfel spus, dacă o funcție \(f:A\to B\) asociază unui element \(x\in A\) valoarea \(y=f(x)\in B\), ne putem întreba dacă, cunoscând \(y\), este posibil să regăsim în mod unic elementul \(x\) din care provine.
Această posibilitate nu este însă întotdeauna asigurată. O funcție poate, într-adevăr, să ia aceeași valoare în puncte diferite ale domeniului ori poate să nu atingă toate elementele codomeniului. Din acest motiv, funcția inversă nu depinde numai de formula care definește funcția, ci și de domeniu, de codomeniu și de proprietățile de injectivitate și surjectivitate.
Scopul este de a lămuri când o funcție admite inversă, cum se definește riguros funcția inversă și ce rol joacă noțiunile de inversă la stânga și inversă la dreapta. Acestea din urmă ne permit să înțelegem cu mai mare precizie ce se întâmplă atunci când o funcție nu este bijectivă, ci păstrează numai una dintre cele două proprietăți fundamentale: injectivitatea sau surjectivitatea.
Cuprins
- Ce înseamnă a inversa o funcție
- Definiția funcției inverse
- Când există funcția inversă
- Unicitatea inversei și rolul domeniului și codomeniului
- Cum se determină funcția inversă
- Exemple de funcții inversabile și neinversabile
- Inversa la stânga a unei funcții
- Inversa la dreapta a unei funcții
- Relația dintre inversă, inversa la stânga și inversa la dreapta
- Recapitulare finală
Ce înseamnă a inversa o funcție
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. Prin definiție, fiecărui element \(x\in A\) funcția îi asociază un unic element \(f(x)\in B\).
A inversa o funcție înseamnă a ne întreba dacă putem parcurge această asociere în sens invers: nu pornind de la \(x\) pentru a obține \(f(x)\), ci pornind de la o valoare \(y\in B\) și regăsind elementul \(x\in A\) care a generat-o.
În simboluri, dacă
\[ y=f(x), \]
ne întrebăm dacă putem determina \(x\) plecând de la \(y\).
Această operație nu este însă întotdeauna posibilă. Primul obstacol apare atunci când două elemente distincte ale domeniului au aceeași imagine. Dacă există \(x_1,x_2\in A\), cu \(x_1\ne x_2\), astfel încât
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
atunci, plecând de la valoarea \(f(x_1)=f(x_2)\), nu putem stabili în mod unic dacă elementul de plecare a fost \(x_1\) sau \(x_2\). În acest caz, inversarea nu poate da naștere unei funcții, deoarece o funcție trebuie să asocieze fiecărui element al domeniului său o singură valoare.
Un al doilea obstacol apare atunci când unele elemente ale codomeniului nu sunt valori luate de funcție. Dacă există un element \(y\in B\) care nu aparține imaginii lui \(f\), atunci nu există niciun \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
În acest caz, plecând de la \(y\), nu putem regăsi niciun element al domeniului.
Prin urmare, inversarea unei funcții cere două condiții fundamentale: fiecare element al codomeniului trebuie să fie efectiv atins de funcție și trebuie să fie atins de un singur element al domeniului. Prima cerință corespunde surjectivității, iar a doua injectivității.
Când ambele condiții sunt îndeplinite, funcția stabilește o corespondență biunivocă între elementele lui \(A\) și elementele lui \(B\). Numai în această situație putem defini o adevărată funcție inversă, care asociază fiecărui element al lui \(B\) unicul element al lui \(A\) din care provine.
Definiția funcției inverse
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. O funcție
\[ f^{-1}:B\to A \]
se numește inversa lui \(f\) dacă, pentru orice \(x\in A\) și pentru orice \(y\in B\), are loc următoarea echivalență:
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f^{-1}(y). \]
Cu alte cuvinte, funcția inversă asociază fiecărui element \(y\in B\) unicul element \(x\in A\) a cărui imagine prin \(f\) este chiar \(y\).
Funcția inversă, atunci când există, inversează sensul corespondenței definite de \(f\). Dacă funcția inițială duce \(x\) în \(y\), atunci funcția inversă duce \(y\) în \(x\):
\[ f(x)=y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(y)=x. \]
Această notație trebuie interpretată cu atenție. Simbolul \(f^{-1}\) nu reprezintă inversul în sens aritmetic al funcției \(f\), adică funcția \(x\mapsto \frac{1}{f(x)}\). În general,
\[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
Simbolul \(f^{-1}\) desemnează, în schimb, funcția care realizează operația inversă față de \(f\), adică funcția care readuce fiecare valoare a codomeniului la elementul domeniului din care provine.
Proprietatea caracteristică a funcției inverse poate fi exprimată și prin compunerea funcțiilor. Dacă \(f:A\to B\) admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), atunci au loc identitățile
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Prima identitate înseamnă că, plecând de la un element al lui \(A\), aplicând mai întâi \(f\) și apoi \(f^{-1}\), revenim la elementul inițial:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{pentru orice } x\in A. \]
A doua identitate înseamnă că, plecând de la un element al lui \(B\), aplicând mai întâi \(f^{-1}\) și apoi \(f\), revenim la elementul inițial:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{pentru orice } y\in B. \]
Aceste două egalități rezumă în mod riguros semnificația funcției inverse: a aplica o funcție și apoi inversa sa, ori a aplica mai întâi inversa și apoi funcția, nu modifică elementul de plecare.
Când există funcția inversă
Nu orice funcție admite funcție inversă. Pentru ca o funcție
\[ f:A\to B \]
să admită inversa
\[ f^{-1}:B\to A, \]
este necesar ca fiecare element al lui \(B\) să aibă unul și numai un element al lui \(A\) care îl generează.
Mai precis, pentru orice \(y\in B\) trebuie să existe un unic \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Această condiție conține două cerințe distincte.
Prima este o cerință de existență: pentru orice \(y\in B\) trebuie să existe cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\). În acest fel, fiecare element al codomeniului este efectiv atins de funcție. Aceasta este tocmai surjectivitatea.
A doua este o cerință de unicitate: pentru orice \(y\in B\) trebuie să existe cel mult un element \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\). În acest fel, nu pot exista două elemente distincte ale domeniului cu aceeași imagine. Aceasta este tocmai injectivitatea.
În consecință, o funcție admite funcție inversă dacă și numai dacă este atât injectivă, cât și surjectivă, adică dacă și numai dacă este bijectivă.
În simboluri:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ este bijectivă}. \]
Necesitatea acestei condiții poate fi înțeleasă direct. Dacă \(f\) nu este injectivă, există două elemente distincte \(x_1,x_2\in A\) astfel încât
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
În acest caz, plecând de la valoarea comună \(f(x_1)=f(x_2)\), eventuala inversă ar trebui să asocieze aceluiași element al lui \(B\) atât pe \(x_1\), cât și pe \(x_2\). Acest lucru este imposibil, deoarece o funcție trebuie să asocieze fiecărui element al domeniului său o singură valoare.
Dacă, în schimb, \(f\) nu este surjectivă, există cel puțin un element \(y\in B\) care nu este imaginea niciunui element al lui \(A\). Pentru un asemenea \(y\) nu există niciun \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
În acest caz, inversa nu ar putea fi definită pe întreg \(B\), deoarece acelui element \(y\) nu i-ar corespunde niciun element al lui \(A\).
Reciproc, dacă \(f\) este bijectivă, atunci pentru orice \(y\in B\) există unul și numai un \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\). Putem astfel defini
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Această definiție este corectă: existența lui \(x\) este asigurată de surjectivitate, iar unicitatea lui \(x\) este asigurată de injectivitate.
Prin urmare, bijectivitatea nu este doar o condiție suficientă pentru existența funcției inverse, ci și o condiție necesară.
Unicitatea inversei și rolul domeniului și codomeniului
O funcție inversabilă stabilește o corespondență biunivocă între elementele domeniului și elementele codomeniului.
Dacă
\[ f:A\to B \]
este bijectivă, atunci fiecare element \(y\in B\) este imaginea unuia și numai unui element \(x\in A\). În consecință, inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
este funcția care asociază fiecărui \(y\in B\) acel unic element \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
În simboluri:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
Prin urmare, funcția inversă nu este un obiect adăugat în mod artificial funcției inițiale: ea este determinată în mod unic de funcția \(f\), atunci când \(f\) este bijectivă.
Într-adevăr, dacă ar exista două inverse \(g:B\to A\) și \(h:B\to A\) ale aceleiași funcții \(f\), atunci pentru orice \(y\in B\) am avea
\[ f(g(y))=y \qquad \text{și} \qquad f(h(y))=y. \]
Deoarece \(f\) este injectivă, din egalitatea
\[ f(g(y))=f(h(y)) \]
rezultă în mod necesar
\[ g(y)=h(y). \]
Acest lucru are loc pentru orice \(y\in B\), deci \(g=h\). Inversa unei funcții, atunci când există, este așadar unică.
Mai mult, dacă \(f:A\to B\) este bijectivă și admite inversa \(f^{-1}:B\to A\), atunci și \(f^{-1}\) este bijectivă. Inversa sa este chiar funcția de plecare:
\[ (f^{-1})^{-1}=f. \]
Această egalitate exprimă faptul că inversarea corespondenței a doua oară readuce la funcția inițială.
Inversabilitatea depinde întotdeauna de funcția considerată împreună cu domeniul și codomeniul său. Aceeași formulă poate defini o funcție inversabilă sau neinversabilă, în funcție de mulțimile între care este considerată: este, prin urmare, necesar să precizăm întotdeauna domeniul, codomeniul și legea de asociere.
De exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
nu este inversabilă, deoarece nu este injectivă: într-adevăr, \(f(-1)=f(1)=1\).
Dacă, în schimb, considerăm funcția
\[ f:[0,+\infty)\to [0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
atunci \(f\) este bijectivă și deci admite inversă. În acest caz,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Acest exemplu arată că nu este suficient să privim formula: pentru a stabili dacă o funcție este inversabilă, trebuie să ținem seama de domeniu, de codomeniu și de proprietățile funcției.
Cum se determină funcția inversă
Atunci când o funcție este inversabilă, inversa sa poate fi adesea determinată pornind de la ecuația care definește funcția.
Să presupunem că avem o funcție
\[ f:A\to B \]
definită printr-o anumită expresie \(y=f(x)\). Pentru a determina inversa, trebuie să rezolvăm ecuația
\[ y=f(x) \]
în raport cu variabila \(x\).
Dacă funcția este inversabilă, pentru orice \(y\in B\) există unul și numai un \(x\in A\) astfel încât \(f(x)=y\). Prin urmare, rezolvarea ecuației în raport cu \(x\) conduce la o expresie de forma
\[ x=f^{-1}(y). \]
În acest punct, dacă dorim să scriem inversa folosind variabila \(x\) drept variabilă independentă, putem redenumi variabila \(y\) cu \(x\). Acest pas reprezintă doar o schimbare de nume a variabilei, nu o modificare a sensului matematic.
În practică, procedeul este următorul:
- se scrie \(y=f(x)\);
- se rezolvă ecuația în raport cu \(x\);
- se obține \(x=f^{-1}(y)\);
- se redenumește variabila independentă, scriind \(f^{-1}(x)\) în locul lui \(f^{-1}(y)\).
Să considerăm, de exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=2x+3. \]
Funcția este bijectivă, deci admite inversă. Scriem
\[ y=2x+3. \]
Rezolvăm în raport cu \(x\):
\[ y-3=2x, \]
deci
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}. \]
Redenumind variabila independentă, obținem
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
Este întotdeauna util să verificăm rezultatul prin compunere. Într-adevăr:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\), și
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x \]
pentru orice \(x\in\mathbb R\).
Cele două identități confirmă că funcția găsită este într-adevăr inversa lui \(f\).
Procedeul algebric are sens ca metodă de determinare a inversei numai după ce am verificat că funcția este inversabilă ori după ce am precizat în mod corespunzător domeniul și codomeniul. Rezolvarea formală a unei ecuații nu garantează, prin ea însăși, existența unei funcții inverse.
De exemplu, din relația
\[ y=x^2 \]
se obține formal
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Această expresie nu definește o funcție inversă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), deoarece aceleiași valori pozitive a lui \(y\) îi corespund două valori posibile ale lui \(x\). Problema nu este doar de natură algebrică: funcția \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), nu este injectivă și, prin urmare, nu este inversabilă.
Dacă, în schimb, restrângem domeniul la \([0,+\infty)\) și considerăm
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
atunci pentru orice \(y\in[0,+\infty)\) există un unic \(x\in[0,+\infty)\) astfel încât \(x^2=y\), adică
\[ x=\sqrt{y}. \]
În acest caz, inversa este
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Calculul inversei trebuie, prin urmare, să fie întotdeauna însoțit de verificarea domeniului, a codomeniului și a bijectivității funcției.
Exemple de funcții inversabile și neinversabile
Pentru a înțelege mai bine semnificația funcției inverse, este util să comparăm câteva exemple în care inversabilitatea depinde în mod esențial de domeniul și de codomeniul alese.
O funcție inversabilă
Să considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+4. \]
Funcția este injectivă, deoarece dacă \(f(x_1)=f(x_2)\), atunci
\[ x_1+4=x_2+4, \]
și deci
\[ x_1=x_2. \]
În plus, este surjectivă, deoarece pentru orice \(y\in\mathbb R\) există \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x+4=y. \]
Într-adevăr, este suficient să alegem
\[ x=y-4. \]
Funcția este, prin urmare, bijectivă și admite inversă. Din relația
\[ y=x+4 \]
obținem
\[ x=y-4. \]
Prin urmare,
\[ f^{-1}(x)=x-4. \]
O funcție neinversabilă deoarece nu este injectivă
Să considerăm acum funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Această funcție nu este injectivă. Într-adevăr, două elemente distincte ale domeniului pot avea aceeași imagine:
\[ f(-2)=4 \qquad \text{și} \qquad f(2)=4. \]
Dacă am încerca să construim o inversă, valoarea \(4\) ar trebui dusă atât în \(-2\), cât și în \(2\). Acest lucru este imposibil, deoarece o funcție trebuie să asocieze fiecărui element al domeniului său o singură valoare.
În consecință, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
nu admite funcție inversă.
O funcție neinversabilă deoarece nu este surjectivă
Să considerăm funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Această funcție este injectivă, dar nu este surjectivă pe \(\mathbb R\). Într-adevăr, valorile sale sunt întotdeauna pozitive:
\[ e^x>0 \qquad \text{pentru orice } x\in\mathbb R. \]
Prin urmare, niciun număr real mai mic sau egal cu zero nu aparține imaginii funcției. De exemplu, nu există niciun \(x\in\mathbb R\) astfel încât
\[ e^x=-1. \]
În consecință, funcția nu poate avea inversă de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), deoarece eventuala inversă ar trebui să fie definită pe întreg codomeniul \(\mathbb R\), inclusiv pe valorile neatinse de \(f\).
Dacă însă schimbăm codomeniul și considerăm
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^x, \]
atunci funcția devine bijectivă. În acest caz, ea admite inversa
\[ f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R, \]
dată de
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Aceeași formulă poate da funcții diferite
Exemplele precedente evidențiază un aspect esențial: inversabilitatea nu este o proprietate doar a formulei, ci a funcției în ansamblul ei.
Formula \(x^2\), privită ca funcție de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), nu definește o funcție inversabilă. Aceeași formulă, privită ca funcție de la \([0,+\infty)\) la \([0,+\infty)\), definește, în schimb, o funcție inversabilă.
În același mod, formula \(e^x\), privită ca funcție de la \(\mathbb R\) la \(\mathbb R\), nu este surjectivă; privită însă ca funcție de la \(\mathbb R\) la \((0,+\infty)\), devine bijectivă.
Pentru a stabili, așadar, dacă o funcție admite inversă, trebuie să precizăm întotdeauna trei elemente: legea de asociere, domeniul și codomeniul.
Inversa la stânga a unei funcții
Funcția inversă există, în sens obișnuit, numai atunci când funcția este bijectivă. Totuși, dacă o funcție nu este bijectivă, se poate întâmpla ca o parte din comportamentul inversei să fie încă prezentă.
Acest fapt conduce la noțiunile de inversă la stânga și inversă la dreapta.
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. O funcție
\[ g:B\to A \]
se numește inversă la stânga a lui \(f\) dacă
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
În formă explicită, aceasta înseamnă că
\[ g(f(x))=x \qquad \text{pentru orice } x\in A. \]
Așadar, aplicând mai întâi \(f\) și apoi \(g\), revenim mereu la elementul inițial al domeniului \(A\).
Denumirea de „inversă la stânga” provine din poziția lui \(g\) în compunerea
\[ g\circ f. \]
Într-adevăr, în scrierea \(g\circ f\), funcția \(g\) apare la stânga lui \(f\). Din acest motiv, \(g\) se numește inversă la stânga a lui \(f\).
Existența unei inverse la stânga este strâns legată de injectivitate. Dacă \(f\) admite o inversă la stânga, atunci \(f\) este injectivă.
Într-adevăr, să presupunem că există \(x_1,x_2\in A\) astfel încât
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicând \(g\) ambilor membri, obținem
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Deoarece \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), rezultă că
\[ x_1=x_2. \]
Așadar, \(f\) este injectivă.
Reciproc, dacă \(f\) este injectivă, atunci fiecare element al imaginii lui \(f\) provine dintr-un unic element al lui \(A\). Prin urmare, pe elementele lui \(B\) care aparțin imaginii lui \(f\), putem defini o funcție care readuce fiecare valoare la unicul său punct de plecare.
Rămâne însă un detaliu important: dacă \(f\) nu este surjectivă, unele elemente ale lui \(B\) nu aparțin imaginii lui \(f\). Pe aceste elemente, inversa la stânga nu este determinată de funcția \(f\), deoarece ele nu provin din niciun element al lui \(A\).
Din acest motiv, atunci când \(f\) este injectivă, dar nu surjectivă, o inversă la stânga poate fi definită în mod natural pe imaginea lui \(f\), în timp ce pe punctele din \(B\setminus f(A)\) definiția sa poate fi aleasă în mod arbitrar, cu condiția să ia valori în \(A\). În contextul obișnuit al domeniilor nevide, acest lucru nu ridică nicio dificultate.
Să considerăm, de exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Această funcție este injectivă, dar nu este surjectivă pe \(\mathbb R\), deoarece imaginea sa este \((0,+\infty)\).
Pe elementele pozitive, adică pe elementele efectiv atinse de \(f\), funcția care inversează \(f\) este logaritmul natural:
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{pentru orice } x\in\mathbb R. \]
Așadar, funcția
\[ \ln:(0,+\infty)\to\mathbb R \]
inversează exponențiala pe imaginea sa, în sensul că
\[ \ln\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Totuși, \(\ln\) nu este, prin ea însăși, o inversă la stânga a funcției \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=e^x\), deoarece nu este definită pe întreg codomeniul \(\mathbb R\). Pentru a obține o veritabilă inversă la stânga \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), trebuie să prelungim logaritmul și la valorile reale mai mici sau egale cu zero.
De exemplu, putem defini
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Atunci \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) este bine definită și, pentru orice \(x\in\mathbb R\), avem
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Așadar,
\[ g\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Alegerea valorii lui \(g\) pe numerele reale mai mici sau egale cu zero este arbitrară: în acele puncte, funcția \(f(x)=e^x\) nu impune nicio valoare.
Inversa la stânga garantează, prin urmare, că funcția poate fi inversată după ce a fost aplicată, dar nu cere în mod necesar ca toate elementele codomeniului să fie atinse.
Pe scurt, existența unei inverse la stânga exprimă faptul că \(f\) nu identifică elemente distincte ale domeniului. Din acest motiv, inversa la stânga este legată de injectivitate.
Inversa la dreapta a unei funcții
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. O funcție
\[ h:B\to A \]
se numește inversă la dreapta a lui \(f\) dacă
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
În formă explicită, aceasta înseamnă că
\[ f(h(y))=y \qquad \text{pentru orice } y\in B. \]
Așadar, plecând de la un element \(y\in B\), funcția \(h\) alege un element al lui \(A\) care este dus de \(f\) chiar în \(y\).
Denumirea de „inversă la dreapta” provine din poziția lui \(h\) în compunerea
\[ f\circ h. \]
Într-adevăr, în scrierea \(f\circ h\), funcția \(h\) apare la dreapta lui \(f\). Din acest motiv, \(h\) se numește inversă la dreapta a lui \(f\).
Existența unei inverse la dreapta este strâns legată de surjectivitate. Dacă \(f\) admite o inversă la dreapta, atunci \(f\) este surjectivă.
Într-adevăr, pentru orice \(y\in B\), din identitatea
\[ f(h(y))=y \]
rezultă că \(y\) este imaginea elementului \(h(y)\in A\). Așadar, fiecare element al lui \(B\) este atins de \(f\) și, în consecință, \(f\) este surjectivă.
Reciproc, dacă \(f\) este surjectivă, atunci pentru orice \(y\in B\) există cel puțin un element \(x\in A\) astfel încât
\[ f(x)=y. \]
Pentru a construi o inversă la dreapta, putem alege, pentru fiecare \(y\in B\), unul dintre elementele lui \(A\) care au imaginea \(y\). Definind \(h(y)\) ca fiind unul dintre aceste elemente, obținem
\[ f(h(y))=y \qquad \text{pentru orice } y\in B. \]
Așadar, \(h\) este o inversă la dreapta a lui \(f\).
Într-un cadru general al teoriei mulțimilor, această construcție necesită o precizare. Pentru a defini \(h\), trebuie, într-adevăr, să alegem, pentru fiecare \(y\in B\), un element al fibrei
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\in A : f(x)=y\}. \]
Deoarece \(f\) este surjectivă, fiecare dintre aceste fibre este nevidă. Totuși, alegerea simultană a câte unui element din fiecare fibră este, în cazul general, asigurată de axioma alegerii. În contextele uzuale ale analizei și ale algebrei elementare, această dificultate nu apare aproape niciodată, deoarece alegerile sunt în mod normal explicite ori determinate de o regulă naturală.
Atunci când \(f\) este surjectivă, dar nu injectivă, inversa la dreapta nu este în mod necesar unică. Într-adevăr, un același element \(y\in B\) poate avea mai multe preimagini în \(A\), iar funcția \(h\) trebuie să aleagă una dintre ele.
Să considerăm, de exemplu, funcția
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Această funcție este surjectivă, dar nu este injectivă. Într-adevăr, orice număr real nenegativ este pătratul a cel puțin unui număr real, însă, dacă \(y>0\), atunci
\[ f(\sqrt y)=y \qquad \text{și} \qquad f(-\sqrt y)=y. \]
Pentru orice \(y\in[0,+\infty)\), putem alege drept preimagine numărul nenegativ \(\sqrt y\). Obținem astfel funcția
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y. \]
Atunci
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y \qquad \text{pentru orice } y\in[0,+\infty). \]
Așadar, \(h\) este o inversă la dreapta a lui \(f\).
Totuși, am fi putut face și o altă alegere, de exemplu
\[ k:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad k(y)=-\sqrt y. \]
Și în acest caz avem
\[ f(k(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y \qquad \text{pentru orice } y\in[0,+\infty). \]
Așadar, și \(k\) este o inversă la dreapta a lui \(f\). Aceasta arată că, în absența injectivității, inversa la dreapta poate să nu fie unică.
Inversa la dreapta garantează, prin urmare, că fiecare element al codomeniului poate fi atins alegând în mod corespunzător un element al domeniului. Ea nu garantează însă că acest element este unic.
Pe scurt, existența unei inverse la dreapta exprimă faptul că \(f\) atinge întreg codomeniul. Din acest motiv, inversa la dreapta este legată de surjectivitate.
Relația dintre inversă, inversa la stânga și inversa la dreapta
Noțiunile de inversă la stânga și inversă la dreapta permit separarea celor două proprietăți care, împreună, fac o funcție inversabilă.
Fie
\[ f:A\to B \]
o funcție. O funcție
\[ g:B\to A \]
este inversă la stânga a lui \(f\) dacă
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Această condiție înseamnă că, după aplicarea lui \(f\), funcția \(g\) permite revenirea la elementul inițial al lui \(A\). Din acest motiv, existența unei inverse la stânga este legată de injectivitatea lui \(f\).
O funcție
\[ h:B\to A \]
este, în schimb, inversă la dreapta a lui \(f\) dacă
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Această condiție înseamnă că fiecare element al lui \(B\) poate fi obținut aplicând \(f\) unui element potrivit al lui \(A\). Din acest motiv, existența unei inverse la dreapta este legată de surjectivitatea lui \(f\).
Atunci când o aceeași funcție
\[ u:B\to A \]
este în același timp inversă la stânga și inversă la dreapta a lui \(f\), adică atunci când au loc ambele identități
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
atunci \(u\) este adevărata funcție inversă a lui \(f\). În acest caz, se scrie
\[ u=f^{-1}. \]
Așadar, funcția inversă obișnuită poate fi privită ca o funcție care este, în același timp, inversă la stânga și inversă la dreapta.
În particular, dacă \(f\) admite o funcție inversă \(f^{-1}:B\to A\), atunci
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Prima identitate exprimă injectivitatea: elemente distincte ale lui \(A\) nu sunt identificate de \(f\). A doua identitate exprimă surjectivitatea: fiecare element al lui \(B\) este atins de \(f\).
Putem, prin urmare, rezuma situația în felul următor:
- inversa la stânga corespunde recuperării elementelor domeniului după aplicarea lui \(f\);
- inversa la dreapta corespunde posibilității de a reprezenta fiecare element al codomeniului ca imagine prin \(f\);
- funcția inversă obișnuită există atunci când ambele condiții sunt îndeplinite.
În termeni de proprietăți ale funcției:
\[ f \text{ admite inversă la stânga } \Longrightarrow f \text{ este injectivă}, \]
în timp ce
\[ f \text{ admite inversă la dreapta } \Longrightarrow f \text{ este surjectivă}. \]
Reciproc, dacă \(f\) este injectivă, atunci putem inversa \(f\) pe imaginea sa; dacă \(f\) este surjectivă, atunci, presupunând axioma alegerii în cazul general, putem construi o inversă la dreapta.
Atunci când \(f\) este atât injectivă, cât și surjectivă, cele două condiții se reunesc: funcția admite o singură inversă, care este în același timp inversă la stânga și inversă la dreapta.
În simboluri:
\[ f \text{ este bijectivă} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, f^{-1}:B\to A \]
astfel încât
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad \text{și} \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Această formulare scoate în evidență semnificația profundă a inversabilității: o funcție este inversabilă atunci când nu pierde informații despre elementele domeniului și, în același timp, atinge toate elementele codomeniului.
Recapitulare finală
Funcția inversă permite parcurgerea unei funcții în sens invers. Dacă o funcție
\[ f:A\to B \]
asociază unui element \(x\in A\) valoarea \(y=f(x)\in B\), funcția inversă, atunci când există, asociază lui \(y\) elementul \(x\) din care provine.
Pentru ca acest lucru să fie posibil pe întreg codomeniul \(B\), fiecare element al lui \(B\) trebuie să fie imaginea unuia și numai unui element al lui \(A\). Cerința de existență corespunde surjectivității; cerința de unicitate corespunde injectivității.
Prin urmare, o funcție admite inversă dacă și numai dacă este bijectivă:
\[ f:A\to B \text{ admite inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ este bijectivă}. \]
Atunci când inversa există, ea este caracterizată prin cele două identități
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
și
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Prima identitate spune că, plecând de la un element al lui \(A\), aplicând mai întâi \(f\) și apoi \(f^{-1}\), revenim la elementul inițial. A doua spune că, plecând de la un element al lui \(B\), aplicând mai întâi \(f^{-1}\) și apoi \(f\), revenim la elementul inițial.
Inversele la stânga și la dreapta separă aceste două condiții.
O inversă la stânga a lui \(f\) este o funcție \(g:B\to A\) astfel încât
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Ea permite recuperarea fiecărui element al domeniului după aplicarea lui \(f\). Din acest motiv, este legată de injectivitate.
O inversă la dreapta a lui \(f\) este o funcție \(h:B\to A\) astfel încât
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Ea permite obținerea fiecărui element al codomeniului ca imagine prin \(f\). Din acest motiv, este legată de surjectivitate.
Dacă o aceeași funcție este în același timp inversă la stânga și inversă la dreapta a lui \(f\), atunci ea este funcția inversă obișnuită a lui \(f\).
În concluzie:
- injectivitatea împiedică două elemente distincte ale domeniului să aibă aceeași imagine;
- surjectivitatea garantează că fiecare element al codomeniului este atins;
- bijectivitatea garantează ambele proprietăți și face posibilă funcția inversă;
- inversa la stânga reflectă injectivitatea;
- inversa la dreapta reflectă surjectivitatea;
- funcția inversă obișnuită există atunci când cele două condiții au loc împreună.
Noțiunea de funcție inversă nu depinde, așadar, doar de o formulă, ci de funcția considerată în întregimea ei: domeniu, codomeniu și lege de asociere. Numai precizând toate aceste elemente putem stabili cu precizie dacă o funcție este inversabilă și care este inversa sa.