În această secțiune propunem o colecție de 20 de exerciții rezolvate despre funcții, concepute pentru a înțelege în mod riguros și gradual conceptele fundamentale legate de definiția funcției, domeniul, codomeniul și imaginea unei funcții.
Exercițiile sunt ordonate după dificultate crescătoare și însoțite de o rezolvare completă pas cu pas, cu explicații detaliate și o atenție deosebită acordată raționamentelor teoretice esențiale.
În particular, vom învăța să:
- recunoaștem când o corespondență definește efectiv o funcție;
- determinăm domeniul de definiție al unei funcții;
- distingem corect codomeniul de imaginea funcției;
- studiem valorile efectiv asumate de o funcție.
Reamintim că o funcție este o corespondență care asociază fiecărui element al domeniului unul și numai unul element al codomeniului.
Va fi, de asemenea, esențial să distingem corect:
- domeniul, adică mulțimea elementelor pentru care funcția este definită;
- codomeniul, adică mulțimea în care funcția ia valori;
- imaginea, adică mulțimea valorilor efectiv asumate de funcție.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-1. \]
Să se determine:
- domeniul de definiție;
- codomeniul;
- imaginea funcției.
Rezultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R} \]
Rezolvare
Funcția dată este:
\[ f(x)=2x-1. \]
Este o funcție polinomială de gradul întâi. Funcțiile polinomiale sunt definite pentru orice număr real, deoarece nu apar numitori, radicali sau logaritmi care să impună restricții.
Prin urmare:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Din notația:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deducem că codomeniul ales este:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Studiem acum imaginea funcției.
Punem:
\[ y=2x-1. \]
Rezolvând în raport cu \(x\), obținem:
\[ x=\frac{y+1}{2}. \]
Această valoare există pentru orice \(y\in\mathbb{R}\). Aceasta înseamnă că orice număr real este atins de funcție.
Prin urmare:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Să se determine:
- domeniul de definiție;
- codomeniul;
- imaginea funcției.
Rezultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Rezolvare
Funcția:
\[ f(x)=x^2 \]
este o funcție polinomială, deci este definită pentru orice număr real.
Prin urmare:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Din scrierea:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deducem că codomeniul este:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinăm acum imaginea funcției.
Deoarece pătratul unui număr real este întotdeauna nenegativ, avem:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
În plus:
- valoarea \(0\) este atinsă pentru \(x=0\);
- orice număr pozitiv \(y>0\) poate fi scris sub forma: \[ y=x^2 \] alegând: \[ x=\sqrt{y}. \]
Funcția ia exact valorile nenegative.
În consecință:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Observăm în final că:
\[ \mathrm{Im}(f)\subsetneq\mathrm{Cod}(f), \]
deoarece funcția nu asumă niciodată valori negative.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă următoarea corespondență definește o funcție:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Rezultat
Corespondența dată nu definește o funcție.
Rezolvare
Pentru a fi o funcție, o corespondență trebuie să asocieze fiecărui element al domeniului unul și numai unul element al codomeniulu.
În cazul nostru:
\[ f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Simbolul \(\pm\) indică două valori posibile:
\[ +\sqrt{x} \qquad \text{și} \qquad -\sqrt{x}. \]
De exemplu, pentru \(x=4\), obținem:
\[ f(4)=\pm2. \]
Astfel, același element \(4\) are asociate două valori distincte:
\[ 2 \qquad \text{și} \qquad -2. \]
Mai mult, deoarece domeniul este \(\mathbb{R}\), expresia \(\sqrt{x}\) nu este definită în numere reale pentru valorile negative ale lui \(x\). Corespondența nu asociază, deci, nicio valoare reală fiecărui element al domeniului indicat.
Aceasta contrazice definiția funcției, deoarece un element al domeniului nu poate avea două imagini diferite.
Prin urmare, corespondența dată nu este o funcție.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Să se determine:
- domeniul de definiție;
- codomeniul;
- imaginea funcției.
Rezultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty) \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Rezolvare
Funcția dată este:
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Pentru ca o rădăcină pătrată să fie definită în numere reale, radicantul trebuie să fie mai mare sau egal cu zero.
Trebuie, deci, să impunem condiția:
\[ x\ge0. \]
În consecință:
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty). \]
Din notația:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
observăm că codomeniul ales este:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determinăm acum imaginea funcției.
Deoarece rădăcina pătrată aritmetică este întotdeauna nenegativă, avem:
\[ \sqrt{x}\ge0 \qquad \forall x\ge0. \]
Deci funcția ia numai valori nenegative.
În plus, orice număr real nenegativ este efectiv atins.
Într-adevăr, fie:
\[ y\ge0. \]
Este suficient să alegem:
\[ x=y^2. \]
Obținem astfel:
\[ f(y^2)=\sqrt{y^2}=y. \]
Funcția asumă deci toate și numai valorile nenegative.
Prin urmare:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Să se determine:
- domeniul de definiție;
- codomeniul;
- imaginea funcției.
Rezultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
Rezolvare
Funcția dată este:
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Într-o fracție, numitorul nu poate fi egal cu zero.
Trebuie, deci, să impunem condiția:
\[ x\neq0. \]
Prin urmare:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Din notația:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \]
observăm că codomeniul ales este:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Studiem acum imaginea.
Funcția:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
nu poate lua niciodată valoarea \(0\).
Într-adevăr, ecuația:
\[ \frac{1}{x}=0 \]
nu are soluții reale, deoarece o fracție cu numărătorul diferit de zero nu poate fi egală cu zero.
Arătăm acum că orice număr real diferit de zero este efectiv atins de funcție.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Căutăm un număr real \(x\neq0\) astfel încât:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Rezolvând în raport cu \(x\), obținem:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Deoarece \(y\neq0\), valoarea:
\[ \frac{1}{y} \]
este bine definită și aparține domeniului.
Deci orice număr real diferit de zero aparține imaginii funcției.
Prin urmare:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Să se stabilească dacă funcția este injectivă.
Rezultat
Funcția este injectivă.
Rezolvare
O funcție este injectivă dacă elemente distincte ale domeniului au imagini distincte.
Echivalent, putem verifica că:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Presupunem, deci, că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Deoarece:
\[ f(x)=x^3, \]
obținem:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extragând rădăcina cubică din ambii membri:
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat astfel că:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Prin urmare, funcția este injectivă.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă funcția este injectivă.
Rezultat
Funcția nu este injectivă.
Rezolvare
Pentru a arăta că o funcție nu este injectivă, este suficient să găsim două elemente distincte ale domeniului care au aceeași imagine.
Considerăm:
\[ x_1=2 \qquad \text{și} \qquad x_2=-2. \]
Evident:
\[ 2\neq-2. \]
Totuși:
\[ f(2)=2^2=4 \]
și:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Deci:
\[ f(2)=f(-2), \]
deși:
\[ 2\neq-2. \]
Am găsit două valori distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Prin urmare, funcția nu este injectivă.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă funcția este injectivă.
Rezultat
Funcția este injectivă.
Rezolvare
Legea funcției este aceeași ca în exercițiul precedent:
\[ f(x)=x^2. \]
Totuși, domeniul s-a schimbat.
Acum funcția este definită numai pe:
\[ [0,+\infty). \]
Verificăm injectivitatea.
Presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obținem:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Din această egalitate rezultă:
\[ x_1=x_2 \qquad \text{sau} \qquad x_1=-x_2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) aparțin amândoi intervalului:
\[ [0,+\infty), \]
ei sunt amândoi nenegativi.
Două numere nenegative cu același pătrat trebuie în mod necesar să coincidă.
În consecință:
\[ x_1=x_2. \]
Am demonstrat astfel că:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Prin urmare, funcția este injectivă.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Să se stabilească dacă funcția este surjectivă.
Rezultat
Funcția nu este surjectivă.
Rezolvare
O funcție este surjectivă atunci când orice element al codomeniulu este imaginea cel puțin unui element al domeniului.
În acest caz codomeniul este:
\[ \mathbb{R}. \]
Studiem valorile asumate de funcție:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Deoarece:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
atunci:
\[ x^2+1\ge1. \]
Deci funcția asumă numai valori mai mari sau egale cu \(1\).
De exemplu, numărul \(0\) aparține codomeniulu \(\mathbb{R}\), dar nu este niciodată atins de funcție.
Într-adevăr, ecuația:
\[ x^2+1=0 \]
este echivalentă cu:
\[ x^2=-1, \]
care nu are soluții reale.
Există, deci, cel puțin un element al codomeniulu care nu este imaginea niciunui element al domeniului.
Prin urmare, funcția nu este surjectivă.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Să se stabilească dacă funcția este surjectivă.
Rezultat
Funcția este surjectivă.
Rezolvare
Legea funcției este:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Față de exercițiul precedent, codomeniul s-a schimbat.
Avem acum:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Pentru a verifica surjectivitatea, trebuie să arătăm că orice element al codomeniulu \([1,+\infty)\) este atins de funcție.
Fie, deci:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Căutăm un număr real \(x\) astfel încât:
\[ f(x)=y. \]
Adică:
\[ x^2+1=y. \]
Scăzând \(1\) din ambii membri:
\[ x^2=y-1. \]
Deoarece \(y\in[1,+\infty)\), avem:
\[ y-1\ge0. \]
Putem, deci, alege:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Acest număr aparține lui \(\mathbb{R}\), adică domeniului funcției.
Mai mult:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y-1+1 = y. \]
Am demonstrat că orice element al codomeniulu este imaginea cel puțin unui element al domeniului.
Prin urmare, funcția este surjectivă.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x+3. \]
Să se stabilească dacă funcția este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Atunci:
\[ 2x_1+3=2x_2+3. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Împărțind prin \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este, deci, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm un \(x\in\mathbb{R}\) astfel încât:
\[ 2x+3=y. \]
Rezolvând:
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Această valoare este reală pentru orice \(y\in\mathbb{R}\).
Deci funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Să se stabilească dacă funcția este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
O funcție este bijectivă dacă este în același timp:
- injectivă;
- surjectivă.
Verificăm mai întâi injectivitatea.
Presupunem că:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Obținem:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Extragând rădăcina cubică din ambii membri:
\[ x_1=x_2. \]
Funcția este, deci, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm un număr real \(x\) astfel încât:
\[ x^3=y. \]
Este suficient să alegem:
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Într-adevăr:
\[ \left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Orice număr real este, deci, atins de funcție.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Să se stabilească dacă funcția este bijectivă.
Rezultat
Funcția nu este bijectivă.
Rezolvare
O funcție este bijectivă dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.
Studiem separat cele două proprietăți.
Funcția:
\[ f(x)=x^2 \]
nu este injectivă.
Într-adevăr:
\[ f(2)=4 \]
și:
\[ f(-2)=4. \]
Deci:
\[ f(2)=f(-2), \]
deși:
\[ 2\neq-2. \]
Funcția nu este, deci, injectivă.
De asemenea, nu este surjectivă pe \(\mathbb{R}\).
Într-adevăr:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
deci funcția nu asumă niciodată valori negative.
De exemplu, numărul:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
nu este imaginea niciunui element al domeniului.
Funcția nu este, deci, surjectivă.
Nefiind nici injectivă, nici surjectivă, funcția nu este bijectivă.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Considerăm funcția:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\ln(x). \]
Să se stabilească dacă funcția este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Studiem mai întâi injectivitatea.
Funcția logaritm natural este strict crescătoare pe intervalul:
\[ (0,+\infty). \]
O funcție strict crescătoare asociază întotdeauna imagini distincte elementelor distincte ale domeniului.
Funcția este, deci, injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm un număr real pozitiv \(x\) astfel încât:
\[ \ln(x)=y. \]
Aplicând exponențiala la ambii membri:
\[ x=e^y. \]
Deoarece:
\[ e^y>0 \qquad \forall y\in\mathbb{R}, \]
valoarea găsită aparține domeniului:
\[ (0,+\infty). \]
Mai mult:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Orice număr real aparține, deci, imaginii funcției.
Funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-5. \]
Să se determine funcția inversă.
Rezultat
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Rezolvare
Pentru a determina funcția inversă, punem:
\[ y=2x-5. \]
Scopul este de a exprima \(x\) în funcție de \(y\).
Adunăm \(5\) la ambii membri:
\[ y+5=2x. \]
Împărțim acum prin \(2\):
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Interschimbând rolul variabilelor, obținem:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Verificăm rezultatul calculând \(f(f^{-1}(x))\):
\[ f\left(\frac{x+5}{2}\right) = 2\cdot\frac{x+5}{2}-5. \]
Simplificând:
\[ x+5-5=x. \]
Deci:
\[ f(f^{-1}(x))=x. \]
Funcția inversă determinată este, deci, corectă.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Să se determine funcția inversă.
Rezultat
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Rezolvare
Funcția:
\[ f(x)=x^2 \]
este considerată cu domeniul:
\[ [0,+\infty) \]
și codomeniul:
\[ [0,+\infty). \]
Această alegere este esențială: pe tot \(\mathbb{R}\), funcția \(x^2\) nu ar fi injectivă; în schimb, pe \([0,+\infty)\), devine injectivă.
Pentru a determina inversa, punem:
\[ y=x^2. \]
Rezolvând în raport cu \(x\), obținem formal:
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Deoarece domeniul funcției originale este \([0,+\infty)\), trebuie să alegem numai valoarea nenegativă.
Deci:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Interschimbând rolul variabilelor, obținem:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Verificăm:
\[ f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x, \qquad x\in[0,+\infty). \]
Funcția inversă este, deci, corectă.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=|x|. \]
Să se stabilească dacă funcția este injectivă și, în caz negativ, să se determine o restricție a domeniului care să o facă injectivă.
Rezultat
Funcția nu este injectivă pe \(\mathbb{R}\).
O posibilă restricție a domeniului este:
\[ [0,+\infty). \]
Rezolvare
Funcția valoare absolută este:
\[ f(x)=|x|. \]
Pentru a verifica dacă este injectivă pe \(\mathbb{R}\), căutăm două valori distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Considerăm:
\[ x_1=2 \qquad \text{și} \qquad x_2=-2. \]
Avem:
\[ 2\neq-2. \]
Totuși:
\[ f(2)=|2|=2 \]
și:
\[ f(-2)=|-2|=2. \]
Deci:
\[ f(2)=f(-2), \]
deși \(2\neq-2\).
Funcția nu este, deci, injectivă pe tot \(\mathbb{R}\).
Pentru a o face injectivă, putem restrânge domeniul la:
\[ [0,+\infty). \]
Pe acest interval, într-adevăr, avem:
\[ |x|=x. \]
Funcția devine, deci:
\[ f(x)=x, \]
care este în mod evident injectivă.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Considerăm funcția:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\tan(x). \]
Să se stabilească dacă funcția este bijectivă.
Rezultat
Funcția este bijectivă.
Rezolvare
Pentru a stabili dacă funcția este bijectivă, trebuie să verificăm că este atât injectivă, cât și surjectivă.
Studiem mai întâi injectivitatea.
Pe intervalul:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
funcția tangentă este strict crescătoare.
O funcție strict crescătoare este injectivă, deoarece la valori distincte ale domeniului corespund imagini distincte.
Deci \(f\) este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Codomeniul funcției este \(\mathbb{R}\). Trebuie, deci, să arătăm că orice număr real este atins de funcție.
Se știe că:
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty \]
și:
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty. \]
Mai mult, funcția tangentă este continuă pe intervalul:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Deci, pe măsură ce \(x\) parcurge intervalul \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), funcția \(\tan(x)\) ia toate valorile reale.
În consecință:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Deoarece imaginea coincide cu codomeniul, funcția este surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3-1. \]
Să se stabilească dacă funcția este inversabilă și, în caz afirmativ, să se determine inversa sa.
Rezultat
Funcția este inversabilă.
Inversa sa este:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Rezolvare
O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă, adică dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.
Studiem funcția:
\[ f(x)=x^3-1. \]
Funcția \(x^3\) este strict crescătoare pe tot \(\mathbb{R}\). Scăderea lui \(1\) deplasează graficul în jos graficul în jos, dar nu modifică monotonia.
Deci \(f(x)=x^3-1\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).
Prin urmare, este injectivă.
Verificăm acum surjectivitatea.
Fie:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Căutăm un număr real \(x\) astfel încât:
\[ x^3-1=y. \]
Adunând \(1\) la ambii membri:
\[ x^3=y+1. \]
Extragând rădăcina cubică:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Această valoare există și este reală pentru orice \(y\in\mathbb{R}\).
Deci orice număr real \(y\) este imaginea cel puțin unui element al domeniului.
Funcția este, deci, surjectivă.
Fiind atât injectivă, cât și surjectivă, funcția este bijectivă și deci inversabilă.
Determinăm acum inversa.
Plecând de la:
\[ y=x^3-1, \]
rezolvăm în raport cu \(x\):
\[ y+1=x^3 \]
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Interschimbând rolul variabilelor, obținem:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Considerăm funcția:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Să se stabilească dacă funcția este inversabilă pe \(\mathbb{R}\). În caz negativ, să se determine o restricție a domeniului care să o facă inversabilă.
Rezultat
Funcția nu este inversabilă pe \(\mathbb{R}\).
O posibilă restricție a domeniului care o face inversabilă este:
\[ [2,+\infty). \]
Rezolvare
Funcția dată este:
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Este o funcție pătratică. Funcțiile pătratice, considerate pe tot \(\mathbb{R}\), nu sunt injective, deoarece graficul lor este o parabolă.
Verificăm explicit că această funcție nu este injectivă.
Calculăm:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
De asemenea:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Deci:
\[ f(1)=f(3), \]
dar:
\[ 1\neq3. \]
Am găsit două elemente distincte ale domeniului cu aceeași imagine.
Prin urmare, funcția nu este injectivă și deci nu este inversabilă pe tot \(\mathbb{R}\).
Căutăm acum o restricție a domeniului care să o facă inversabilă.
Completăm pătratul:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Din această formă observăm că vârful parabolei are abscisa:
\[ x=2. \]
Funcția este descrescătoare pentru:
\[ x\le2 \]
și crescătoare pentru:
\[ x\ge2. \]
Dacă restrângem domeniul la:
\[ [2,+\infty), \]
funcția devine strict crescătoare, deci injectivă.
Mai mult, pe acest interval, imaginea este:
\[ [-1,+\infty). \]
Deci funcția:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \]
definită prin:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
este bijectivă și deci inversabilă.