În această culegere propunem 20 de exerciții rezolvate privind funcțiile crescătoare, funcțiile descrescătoare, funcțiile monotone și funcțiile strict monotone. Fiecare exercițiu este rezolvat pas cu pas, acordând o atenție deosebită comparării valorilor funcției în două puncte \(x_1\) și \(x_2\) ale domeniului.
Pentru a stabili dacă o funcție este crescătoare sau descrescătoare pe o mulțime \(X\), nu este suficient să observăm câteva puncte ale graficului: trebuie verificată o proprietate valabilă pentru orice pereche de puncte \(x_1,x_2\in X\) cu \(x_1<x_2\).
Reamintim că o funcție \(f:X\to\mathbb R\) este crescătoare pe \(X\) dacă
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2), \]
în timp ce este descrescătoare pe \(X\) dacă
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Dacă inegalitățile sunt stricte, vorbim în schimb despre funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare. Exercițiile care urmează arată cum se aplică aceste definiții, cum se recunosc funcțiile monotone pe intervale și cum se distinge monotonia în sens larg de monotonia strictă.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este strict crescătoare pe \(\mathbb R\). În consecință, este și crescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezolvare
Pentru a studia monotonia cu ajutorul definiției, considerăm două puncte oarecare \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Trebuie să comparăm \(f(x_1)\) și \(f(x_2)\). Deoarece
\[ f(x)=2x+1, \]
avem
\[ f(x_1)=2x_1+1 \]
și
\[ f(x_2)=2x_2+1. \]
Din inegalitatea \(x_1<x_2\), înmulțind ambii membri cu \(2\), care este un număr pozitiv, obținem
\[ 2x_1<2x_2. \]
Adunând \(1\) la ambii membri, rezultă
\[ 2x_1+1<2x_2+1. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Am demonstrat astfel că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Prin definiție, funcția este strict crescătoare pe \(\mathbb R\).
Deoarece orice funcție strict crescătoare este și crescătoare, concluzionăm că \(f\) este și crescătoare pe \(\mathbb R\).
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-3x+4 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este strict descrescătoare pe \(\mathbb R\). În consecință, este și descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezolvare
Considerăm două puncte oarecare \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Trebuie să comparăm valorile \(f(x_1)\) și \(f(x_2)\). Deoarece
\[ f(x)=-3x+4, \]
avem
\[ f(x_1)=-3x_1+4 \]
și
\[ f(x_2)=-3x_2+4. \]
Din inegalitatea
\[ x_1<x_2 \]
înmulțind ambii membri cu \(-3\), care este un număr negativ, sensul inegalității se schimbă:
\[ -3x_1>-3x_2. \]
Adunând \(4\) la ambii membri, obținem
\[ -3x_1+4>-3x_2+4. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Am demonstrat astfel că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Deoarece orice funcție strict descrescătoare este și descrescătoare, funcția este și descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția constantă
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este crescătoare și descrescătoare pe \(\mathbb R\), dar nu este nici strict crescătoare, nici strict descrescătoare.
Rezolvare
Considerăm două puncte oarecare \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece funcția este constantă, valoarea ei este mereu egală cu \(5\). Așadar
\[ f(x_1)=5 \]
și
\[ f(x_2)=5. \]
În particular,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Din această egalitate rezultă atât
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
cât și
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Prin urmare, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\) cu \(x_1<x_2\), au loc ambele condiții:
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
și
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Prin definiție, funcția este deci atât crescătoare, cât și descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Totuși, nu este strict crescătoare. Într-adevăr, pentru a fi strict crescătoare ar trebui să aibă loc
\[ f(x_1)<f(x_2) \]
pentru orice \(x_1<x_2\), însă în acest caz cele două valori sunt mereu egale.
În mod analog, nu este strict descrescătoare, deoarece nu are loc
\[ f(x_1)>f(x_2) \]
pentru orice \(x_1<x_2\).
Concluzionăm că funcția constantă este crescătoare și descrescătoare, dar nu este nici strict crescătoare, nici strict descrescătoare.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția nu este monotonă pe \(\mathbb R\): nu este nici crescătoare, nici descrescătoare pe întreg domeniul său.
Rezolvare
Pentru a stabili dacă \(f(x)=x^2\) este crescătoare pe \(\mathbb R\), ar trebui să verificăm că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Este însă suficient să găsim o singură pereche de puncte care contrazice această condiție pentru a demonstra că funcția nu este crescătoare.
Alegem
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Avem, evident,
\[ -1<0, \]
adică \(x_1<x_2\). Totuși,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
în timp ce
\[ f(0)=0^2=0. \]
Așadar
\[ f(-1)>f(0). \]
Am găsit două puncte \(x_1<x_2\) astfel încât \(f(x_1)>f(x_2)\). Acest lucru contrazice definiția funcției crescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este crescătoare pe \(\mathbb R\).
Verificăm acum dacă funcția este descrescătoare pe \(\mathbb R\). Pentru a fi descrescătoare ar trebui să aibă loc, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Și în acest caz este suficient să găsim o pereche care contrazice condiția.
Alegem
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Avem
\[ 0<1, \]
dar
\[ f(0)=0 \]
și
\[ f(1)=1. \]
Așadar
\[ f(0)<f(1). \]
Am găsit două puncte \(x_1<x_2\) astfel încât \(f(x_1)<f(x_2)\). Acest lucru contrazice definiția funcției descrescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Deoarece funcția nu este nici crescătoare, nici descrescătoare pe \(\mathbb R\), concluzionăm că \(f(x)=x^2\) este nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \([0,+\infty)\).
Rezultat
Funcția este strict crescătoare pe \([0,+\infty)\). În consecință, este și crescătoare pe \([0,+\infty)\).
Rezolvare
Pentru a studia monotonia pe \([0,+\infty)\), considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) aparțin lui \([0,+\infty)\), sunt amândoi nenegativi. În particular,
\[ 0\le x_1<x_2. \]
Dorim să comparăm \(f(x_1)\) și \(f(x_2)\). Deoarece
\[ f(x)=x^2, \]
avem
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
și
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Din inegalitatea
\[ 0\le x_1<x_2 \]
rezultă că
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Într-adevăr, putem scrie
\[ x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). \]
Deoarece \(x_2>x_1\), avem
\[ x_2-x_1>0. \]
În plus, întrucât \(x_1\ge 0\) și \(x_2>x_1\), avem și
\[ x_2+x_1>0. \]
Prin urmare
\[ (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0, \]
adică
\[ x_2^2-x_1^2>0. \]
De aici rezultă
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Așadar
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Am demonstrat că, pentru orice \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este strict crescătoare pe \([0,+\infty)\).
În consecință, \(f\) este și crescătoare pe \([0,+\infty)\).
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:(-\infty,0]\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\).
Rezultat
Funcția este strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\). În consecință, este și descrescătoare pe \((-\infty,0]\).
Rezolvare
Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece ambele puncte aparțin lui \((-\infty,0]\), avem
\[ x_1<x_2\le 0. \]
Trebuie să comparăm
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
și
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Considerăm diferența
\[ x_1^2-x_2^2. \]
Descompunem ca diferență de pătrate:
\[ x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2). \]
Deoarece \(x_1<x_2\), avem
\[ x_1-x_2<0. \]
În plus, întrucât \(x_1<x_2\le 0\), ambele numere sunt nepozitive și cel puțin \(x_1\) este strict negativ. Așadar
\[ x_1+x_2<0. \]
Produsul a două numere negative este pozitiv, deci
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)>0. \]
Prin urmare
\[ x_1^2-x_2^2>0. \]
Din această inegalitate rezultă
\[ x_1^2>x_2^2. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Am demonstrat astfel că, pentru orice \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\).
În consecință, \(f\) este și descrescătoare pe \((-\infty,0]\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
este descrescătoare pe întreg domeniul său.
Rezultat
Funcția nu este descrescătoare pe întreg domeniul \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Rezolvare
Domeniul funcției este
\[ \mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]
Pentru a fi descrescătoare pe întreg domeniul, funcția ar trebui să satisfacă următoarea condiție: pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Pentru a demonstra că funcția nu este descrescătoare pe întreg domeniul, este suficient să găsim o pereche de puncte din domeniu care contrazice această condiție.
Alegem
\[ x_1=-1,\qquad x_2=1. \]
Ambele aparțin domeniului, fiind diferite de \(0\), și avem
\[ -1<1. \]
Calculăm valorile funcției:
\[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1 \]
și
\[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \]
Așadar
\[ f(-1)<f(1). \]
Dar o funcție descrescătoare ar trebui să satisfacă
\[ f(-1)\ge f(1), \]
deoarece \(-1<1\).
Perechea \(x_1=-1\), \(x_2=1\) contrazice deci definiția funcției descrescătoare.
Prin urmare, funcția
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
nu este descrescătoare pe întreg domeniul său \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Acest fapt nu contrazice faptul că \(f\) este strict descrescătoare separat pe \((-\infty,0)\) și pe \((0,+\infty)\). Monotonia trebuie raportată întotdeauna la mulțimea pe care este studiată.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \((0,+\infty)\).
Rezultat
Funcția este strict descrescătoare pe \((0,+\infty)\). În consecință, este și descrescătoare pe \((0,+\infty)\).
Rezolvare
Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(0,+\infty) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) aparțin lui \((0,+\infty)\), sunt amândoi pozitivi:
\[ 0<x_1<x_2. \]
Dorim să comparăm
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
și
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Deoarece
\[ 0<x_1<x_2, \]
împărțind \(1\) la un număr pozitiv mai mare se obține o valoare mai mică. Algebric, comparăm cele două fracții:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Numărătorul este pozitiv, deoarece
\[ x_2-x_1>0. \]
Și numitorul este pozitiv, deoarece \(x_1>0\) și \(x_2>0\). Așadar
\[ x_1x_2>0. \]
Rezultă că
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Așadar
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
adică
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Prin urmare
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Am demonstrat că, pentru orice \(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este strict descrescătoare pe \((0,+\infty)\).
În consecință, \(f\) este și descrescătoare pe \((0,+\infty)\).
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:(-\infty,0)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \((-\infty,0)\).
Rezultat
Funcția este strict descrescătoare pe \((-\infty,0)\). În consecință, este și descrescătoare pe \((-\infty,0)\).
Rezolvare
Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) aparțin lui \((-\infty,0)\), sunt amândoi negativi. Așadar
\[ x_1<x_2<0. \]
Dorim să comparăm
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
și
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Considerăm diferența:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Deoarece \(x_1<x_2\), avem
\[ x_2-x_1>0. \]
În plus, \(x_1\) și \(x_2\) sunt amândoi negativi, deci produsul lor este pozitiv:
\[ x_1x_2>0. \]
Prin urmare
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Așadar
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
adică
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Am obținut deci
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Acest lucru are loc pentru orice pereche \(x_1,x_2\in(-\infty,0)\) cu \(x_1<x_2\). Prin definiție, funcția este strict descrescătoare pe \((-\infty,0)\).
În consecință, \(f\) este și descrescătoare pe \((-\infty,0)\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este strict crescătoare pe \(\mathbb R\). În consecință, este și crescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezolvare
Folosim direct definiția. Considerăm două puncte oarecare \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Trebuie să demonstrăm că
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
adică
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Considerăm diferența
\[ x_2^3-x_1^3. \]
Descompunem diferența de cuburi:
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). \]
Deoarece \(x_1<x_2\), avem
\[ x_2-x_1>0. \]
Rămâne să observăm că
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. \]
Într-adevăr, putem scrie
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_1^2. \]
Această cantitate este întotdeauna nenegativă și, în cazul nostru, nu poate fi nulă simultan cu \(x_1<x_2\). Așadar este pozitivă.
Prin urmare, produsul
\[ (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \]
este pozitiv. Așadar
\[ x_2^3-x_1^3>0. \]
De aici rezultă
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Am demonstrat că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Prin definiție, \(f(x)=x^3\) este strict crescătoare pe \(\mathbb R\).
Acest exemplu este important deoarece arată că faptul de a fi strict crescătoare poate fi demonstrat direct din definiție, comparând valorile pe care le ia funcția în două puncte oarecare ale domeniului.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-4x+1 \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția nu este monotonă pe \(\mathbb R\). Este strict descrescătoare pe \((-\infty,2]\) și strict crescătoare pe \([2,+\infty)\).
Rezolvare
Rescriem funcția completând pătratul:
\[ f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3. \]
Această formă arată că valoarea funcției depinde de pătratul distanței de la \(x\) la numărul \(2\).
Studiem mai întâi funcția pe intervalul \([2,+\infty)\). Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in[2,+\infty) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece \(x_1\ge 2\) și \(x_2\ge 2\), avem
\[ 0\le x_1-2<x_2-2. \]
Ridicând la pătrat, întrucât cei doi membri sunt nenegativi, obținem
\[ (x_1-2)^2<(x_2-2)^2. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri:
\[ (x_1-2)^2-3<(x_2-2)^2-3. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict crescătoare pe \([2,+\infty)\).
Studiem acum funcția pe intervalul \((-\infty,2]\). Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(-\infty,2] \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Atunci
\[ x_1-2<x_2-2\le 0. \]
Înmulțind cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ 2-x_1>2-x_2\ge 0. \]
Deoarece ambii membri sunt nenegativi, ridicând la pătrat obținem
\[ (2-x_1)^2>(2-x_2)^2. \]
Dar
\[ (2-x)^2=(x-2)^2. \]
Așadar
\[ (x_1-2)^2>(x_2-2)^2. \]
Scăzând \(3\) din ambii membri:
\[ (x_1-2)^2-3>(x_2-2)^2-3. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict descrescătoare pe \((-\infty,2]\).
În sfârșit, funcția nu este monotonă pe tot \(\mathbb R\), deoarece mai întâi descrește, apoi crește. Putem verifica acest lucru și prin două contraexemple.
Într-adevăr,
\[ f(1)=1-4+1=-2 \]
în timp ce
\[ f(2)=4-8+1=-3. \]
Deoarece \(1<2\), dar \(f(1)>f(2)\), funcția nu este crescătoare pe \(\mathbb R\).
În plus,
\[ f(2)=-3 \]
și
\[ f(3)=9-12+1=-2. \]
Deoarece \(2<3\), dar \(f(2)<f(3)\), funcția nu este descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Concluzionăm că \(f\) nu este monotonă pe \(\mathbb R\), însă este strict descrescătoare pe \((-\infty,2]\) și strict crescătoare pe \([2,+\infty)\).
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-x^2+6x-5 \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția nu este monotonă pe \(\mathbb R\). Este strict crescătoare pe \((-\infty,3]\) și strict descrescătoare pe \([3,+\infty)\).
Rezolvare
Rescriem funcția completând pătratul:
\[ f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4. \]
Această formă arată că funcția atinge valoarea maximă pentru \(x=3\), deoarece termenul \((x-3)^2\) este întotdeauna nenegativ.
Studiem mai întâi funcția pe \((-\infty,3]\). Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(-\infty,3] \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Atunci
\[ x_1-3<x_2-3\le 0. \]
Înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ 3-x_1>3-x_2\ge 0. \]
Deoarece cei doi membri sunt nenegativi, ridicând la pătrat avem
\[ (3-x_1)^2>(3-x_2)^2. \]
Deoarece
\[ (3-x)^2=(x-3)^2, \]
obținem
\[ (x_1-3)^2>(x_2-3)^2. \]
Înmulțind cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ -(x_1-3)^2<-(x_2-3)^2. \]
Adunând \(4\) la ambii membri:
\[ -(x_1-3)^2+4<-(x_2-3)^2+4. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict crescătoare pe \((-\infty,3]\).
Studiem acum funcția pe \([3,+\infty)\). Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in[3,+\infty) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Atunci
\[ 0\le x_1-3<x_2-3. \]
Ridicând la pătrat:
\[ (x_1-3)^2<(x_2-3)^2. \]
Înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ -(x_1-3)^2>-(x_2-3)^2. \]
Adunând \(4\):
\[ -(x_1-3)^2+4>-(x_2-3)^2+4. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict descrescătoare pe \([3,+\infty)\).
Funcția nu este monotonă pe tot \(\mathbb R\), deoarece crește până la \(x=3\), apoi descrește.
Într-adevăr, alegând \(x_1=2\) și \(x_2=3\), avem \(2<3\), dar
\[ f(2)=-4+12-5=3 \]
și
\[ f(3)=-9+18-5=4. \]
Așadar \(f(2)<f(3)\), iar acest lucru exclude posibilitatea ca funcția să fie descrescătoare pe \(\mathbb R\).
În plus, alegând \(x_1=3\) și \(x_2=4\), avem \(3<4\), dar
\[ f(3)=4 \]
și
\[ f(4)=-16+24-5=3. \]
Așadar \(f(3)>f(4)\), iar acest lucru exclude posibilitatea ca funcția să fie crescătoare pe \(\mathbb R\).
Concluzionăm că \(f\) nu este monotonă pe \(\mathbb R\), însă este strict crescătoare pe \((-\infty,3]\) și strict descrescătoare pe \([3,+\infty)\).
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\). Apoi să se determine intervalele pe care este monotonă.
Rezultat
Funcția nu este monotonă pe \(\mathbb R\). Este strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\) și strict crescătoare pe \([0,+\infty)\).
Rezolvare
Funcția modul este definită prin
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{dacă } x<0,\\ x & \text{dacă } x\ge 0. \end{cases} \]
Studiem mai întâi funcția pe \([0,+\infty)\). Dacă \(x\ge 0\), atunci
\[ |x|=x. \]
Considerăm deci două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece pe \([0,+\infty)\) avem \(f(x)=x\), obținem
\[ f(x_1)=x_1 \]
și
\[ f(x_2)=x_2. \]
Din inegalitatea \(x_1<x_2\) rezultă direct
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict crescătoare pe \([0,+\infty)\).
Studiem acum funcția pe \((-\infty,0]\). Dacă \(x\le 0\), atunci
\[ |x|=-x. \]
Considerăm două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
astfel încât
\[ x_1<x_2. \]
Deoarece pe \((-\infty,0]\) avem \(f(x)=-x\), obținem
\[ f(x_1)=-x_1 \]
și
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Din inegalitatea
\[ x_1<x_2 \]
înmulțind cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ -x_1>-x_2. \]
Așadar
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\).
Funcția nu este monotonă pe tot \(\mathbb R\). Într-adevăr, alegând
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0, \]
avem \(x_1<x_2\), dar
\[ f(-1)=1>0=f(0). \]
Acest lucru exclude posibilitatea ca \(f\) să fie crescătoare pe \(\mathbb R\).
În plus, alegând
\[ x_1=0,\qquad x_2=1, \]
avem \(x_1<x_2\), dar
\[ f(0)=0<1=f(1). \]
Acest lucru exclude posibilitatea ca \(f\) să fie descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Prin urmare, \(f(x)=|x|\) nu este monotonă pe \(\mathbb R\), însă este strict descrescătoare pe \((-\infty,0]\) și strict crescătoare pe \([0,+\infty)\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-|x| \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\). Apoi să se determine intervalele pe care este monotonă.
Rezultat
Funcția nu este monotonă pe \(\mathbb R\). Este strict crescătoare pe \((-\infty,0]\) și strict descrescătoare pe \([0,+\infty)\).
Rezolvare
Funcția este
\[ f(x)=-|x|. \]
Deoarece
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{dacă } x<0,\\ x & \text{dacă } x\ge 0, \end{cases} \]
obținem
\[ -|x|= \begin{cases} x & \text{dacă } x<0,\\ -x & \text{dacă } x\ge 0. \end{cases} \]
Studiem mai întâi funcția pe \((-\infty,0]\). Pe acest interval funcția se comportă ca
\[ f(x)=x. \]
Dacă \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) și
\[ x_1<x_2, \]
atunci
\[ f(x_1)=x_1 \]
și
\[ f(x_2)=x_2. \]
Așadar, din inegalitatea \(x_1<x_2\) rezultă
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict crescătoare pe \((-\infty,0]\).
Studiem acum funcția pe \([0,+\infty)\). Pe acest interval funcția se comportă ca
\[ f(x)=-x. \]
Dacă \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) și
\[ x_1<x_2, \]
atunci, înmulțind cu \(-1\), obținem
\[ -x_1>-x_2. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Așadar \(f\) este strict descrescătoare pe \([0,+\infty)\).
Funcția nu este monotonă pe tot \(\mathbb R\). Într-adevăr, crește până la \(x=0\), apoi descrește.
Pentru a vedea că nu este crescătoare pe tot \(\mathbb R\), alegem
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Avem \(0<1\), dar
\[ f(0)=0>-1=f(1). \]
Acest lucru contrazice creșterea.
Pentru a vedea că nu este descrescătoare pe tot \(\mathbb R\), alegem
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Avem \(-1<0\), dar
\[ f(-1)=-1<0=f(0). \]
Acest lucru contrazice descreșterea.
Prin urmare, \(f(x)=-|x|\) nu este monotonă pe \(\mathbb R\), însă este strict crescătoare pe \((-\infty,0]\) și strict descrescătoare pe \([0,+\infty)\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x<0,\\ 0 & \text{dacă } x\ge 0 \end{cases} \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este crescătoare pe \(\mathbb R\), dar nu este strict crescătoare.
Rezolvare
Funcția este definită pe ramuri:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x<0,\\ 0 & \text{dacă } x\ge 0. \end{cases} \]
Trebuie să verificăm că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\) cu
\[ x_1<x_2, \]
are loc
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Considerăm cazurile posibile.
Primul caz: \(x_1<x_2<0\). În acest caz ambele puncte sunt negative, deci
\[ f(x_1)=x_1,\qquad f(x_2)=x_2. \]
Deoarece \(x_1<x_2\), rezultă
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
și deci, în particular,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Al doilea caz: \(x_1<0\le x_2\). În acest caz
\[ f(x_1)=x_1 \]
și
\[ f(x_2)=0. \]
Deoarece \(x_1<0\), avem
\[ f(x_1)=x_1<0=f(x_2). \]
Așadar și în acest caz \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Al treilea caz: \(0\le x_1<x_2\). În acest caz ambele puncte sunt nenegative, deci
\[ f(x_1)=0,\qquad f(x_2)=0. \]
În consecință
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
și deci
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
În toate cazurile posibile am obținut
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Prin definiție, funcția este crescătoare pe \(\mathbb R\).
Funcția nu este însă strict crescătoare. Într-adevăr, alegând
\[ x_1=1,\qquad x_2=2, \]
avem \(x_1<x_2\), dar
\[ f(1)=0=f(2). \]
Așadar nu are loc \(f(x_1)<f(x_2)\) pentru orice pereche \(x_1<x_2\). Prin urmare, funcția este crescătoare, dar nu strict crescătoare.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} 1 & \text{dacă } x<0,\\ -x & \text{dacă } x\ge 0 \end{cases} \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este descrescătoare pe \(\mathbb R\), dar nu este strict descrescătoare.
Rezolvare
Funcția este definită pe ramuri:
\[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{dacă } x<0,\\ -x & \text{dacă } x\ge 0. \end{cases} \]
Pentru a demonstra că \(f\) este descrescătoare pe \(\mathbb R\), trebuie să verificăm că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Considerăm toate cazurile posibile.
Primul caz: \(x_1<x_2<0\).
În acest caz ambele puncte sunt negative. Așadar, prin definiția funcției,
\[ f(x_1)=1 \qquad \text{și} \qquad f(x_2)=1. \]
Prin urmare
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
și deci, în particular,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Al doilea caz: \(x_1<0\le x_2\).
În acest caz \(x_1\) este negativ, iar \(x_2\) este nenegativ. Așadar
\[ f(x_1)=1 \]
și
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Deoarece \(x_2\ge 0\), avem
\[ -x_2\le 0. \]
Așadar
\[ f(x_2)\le 0. \]
Dar
\[ f(x_1)=1, \]
deci, cu certitudine,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Al treilea caz: \(0\le x_1<x_2\).
În acest caz ambele puncte sunt nenegative. Așadar funcția este dată de
\[ f(x)=-x. \]
Prin urmare
\[ f(x_1)=-x_1 \qquad \text{și} \qquad f(x_2)=-x_2. \]
Din inegalitatea
\[ x_1<x_2 \]
înmulțind cu \(-1\), sensul inegalității se schimbă:
\[ -x_1>-x_2. \]
Adică
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
În particular, și în acest caz are loc
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
În toate cazurile posibile am demonstrat că, dacă \(x_1<x_2\), atunci
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este deci descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Funcția nu este însă strict descrescătoare. Într-adevăr, alegând
\[ x_1=-2,\qquad x_2=-1, \]
avem
\[ -2<-1, \]
dar, deoarece ambele puncte sunt negative,
\[ f(-2)=1 \qquad \text{și} \qquad f(-1)=1. \]
Așadar
\[ f(-2)=f(-1). \]
Pentru a fi strict descrescătoare ar trebui, în schimb, să aibă loc
\[ f(-2)>f(-1). \]
Această condiție nu este satisfăcută. Prin urmare, funcția este descrescătoare pe \(\mathbb R\), dar nu este strict descrescătoare.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x\le 0,\\ x+1 & \text{dacă } x>0 \end{cases} \]
este crescătoare, descrescătoare, strict crescătoare sau strict descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este strict crescătoare pe \(\mathbb R\). În consecință, este și crescătoare pe \(\mathbb R\).
Rezolvare
Funcția este definită pe ramuri:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x\le 0,\\ x+1 & \text{dacă } x>0. \end{cases} \]
Pentru a demonstra că \(f\) este strict crescătoare pe \(\mathbb R\), trebuie să verificăm că, pentru orice \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Considerăm toate cazurile posibile.
Primul caz: \(x_1<x_2\le 0\).
În acest caz ambele puncte aparțin primei ramuri a funcției. Așadar
\[ f(x_1)=x_1 \]
și
\[ f(x_2)=x_2. \]
Deoarece \(x_1<x_2\), obținem direct
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Al doilea caz: \(0<x_1<x_2\).
În acest caz ambele puncte aparțin celei de-a doua ramuri a funcției. Așadar
\[ f(x_1)=x_1+1 \]
și
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Din inegalitatea \(x_1<x_2\), adunând \(1\) la ambii membri, rezultă
\[ x_1+1<x_2+1. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Al treilea caz: \(x_1\le 0<x_2\).
În acest caz \(x_1\) aparține primei ramuri, iar \(x_2\) aparține celei de-a doua. Așadar
\[ f(x_1)=x_1 \]
și
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Deoarece \(x_1\le 0\) și \(x_2>0\), avem
\[ x_1\le 0<x_2<x_2+1. \]
În particular,
\[ x_1<x_2+1. \]
Adică
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
În toate cazurile posibile am demonstrat că
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Prin definiție, funcția este strict crescătoare pe \(\mathbb R\).
În consecință, este și crescătoare pe \(\mathbb R\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă funcția
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x<0,\\ x-1 & \text{dacă } x\ge 0 \end{cases} \]
este crescătoare, descrescătoare sau nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Rezultat
Funcția este nemonotonă pe \(\mathbb R\): nu este nici crescătoare, nici descrescătoare.
Rezolvare
Funcția este definită pe ramuri:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{dacă } x<0,\\ x-1 & \text{dacă } x\ge 0. \end{cases} \]
Observăm că funcția crește pe fiecare dintre cele două ramuri considerate separat. Într-adevăr, pentru \(x<0\) avem \(f(x)=x\), iar pentru \(x\ge 0\) avem \(f(x)=x-1\).
Totuși, acest lucru nu este suficient pentru a concluziona că funcția este crescătoare pe tot \(\mathbb R\). Trebuie verificat și ce se întâmplă la trecerea de la valori negative la valori nenegative.
Pentru a demonstra că \(f\) nu este crescătoare pe \(\mathbb R\), găsim două puncte \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2 \]
dar
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Alegem
\[ x_1=-\frac12,\qquad x_2=0. \]
Avem
\[ -\frac12<0. \]
Calculăm valorile funcției:
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12, \]
deoarece \(-\frac12<0\), în timp ce
\[ f(0)=0-1=-1, \]
deoarece \(0\ge 0\).
Așadar
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12>-1=f(0). \]
Am găsit două puncte \(x_1<x_2\) astfel încât \(f(x_1)>f(x_2)\). Acest lucru contrazice definiția funcției crescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este crescătoare pe \(\mathbb R\).
Pentru a demonstra că \(f\) nu este descrescătoare pe \(\mathbb R\), găsim două puncte \(x_1,x_2\in\mathbb R\) astfel încât
\[ x_1<x_2 \]
dar
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Alegem
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Avem
\[ 1<2. \]
Deoarece ambele puncte sunt nenegative, obținem
\[ f(1)=1-1=0 \]
și
\[ f(2)=2-1=1. \]
Așadar
\[ f(1)<f(2). \]
Această pereche contrazice definiția funcției descrescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este descrescătoare pe \(\mathbb R\).
Deoarece funcția nu este nici crescătoare, nici descrescătoare pe \(\mathbb R\), concluzionăm că este nemonotonă pe \(\mathbb R\).
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se demonstreze că orice funcție strict crescătoare este injectivă.
Rezultat
Orice funcție strict crescătoare este injectivă.
Rezolvare
Fie
\[ f:X\to\mathbb R \]
o funcție strict crescătoare pe o mulțime \(X\subseteq\mathbb R\).
Dorim să demonstrăm că \(f\) este injectivă. Prin definiție, trebuie să arătăm că elemente distincte ale domeniului au imagini distincte.
Considerăm deci două puncte oarecare
\[ x_1,x_2\in X \]
astfel încât
\[ x_1\ne x_2. \]
Deoarece \(x_1\) și \(x_2\) sunt două numere reale distincte, se realizează în mod necesar una dintre cele două posibilități:
\[ x_1<x_2 \]
sau
\[ x_2<x_1. \]
Dacă \(x_1<x_2\), deoarece \(f\) este strict crescătoare, obținem
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
În particular,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Dacă, în schimb, \(x_2<x_1\), atunci, tot pentru că \(f\) este strict crescătoare, obținem
\[ f(x_2)<f(x_1). \]
Și în acest caz rezultă
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
În ambele cazuri, din \(x_1\ne x_2\) rezultă
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Prin definiție, \(f\) este injectivă.
Concluzionăm deci că orice funcție strict crescătoare este injectivă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se stabilească dacă următoarea afirmație este adevărată sau falsă:
\[ \text{Dacă o funcție este injectivă, atunci este monotonă.} \]
În caz că este falsă, să se dea un contraexemplu.
Rezultat
Afirmația este falsă. Există funcții injective care nu sunt monotone.
Rezolvare
Afirmația de examinat este:
\[ \text{dacă o funcție este injectivă, atunci este monotonă.} \]
Această afirmație este falsă. Pentru a o demonstra, este suficient să construim o funcție injectivă care să nu fie nici crescătoare, nici descrescătoare.
Considerăm funcția
\[ f:\{1,2,3\}\to\mathbb R \]
definită prin
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=2. \]
Mai întâi verificăm că \(f\) este injectivă. Valorile pe care le ia funcția sunt
\[ 1,\qquad 3,\qquad 2. \]
Aceste trei valori sunt toate distincte. Așadar, elemente distincte ale domeniului au imagini distincte. Prin definiție, \(f\) este injectivă.
Verificăm acum că \(f\) nu este crescătoare.
Dacă \(f\) ar fi crescătoare, pentru orice pereche \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) cu \(x_1<x_2\) ar trebui să aibă loc
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Alegem
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Avem
\[ 2<3, \]
dar
\[ f(2)=3>2=f(3). \]
Această pereche contrazice definiția funcției crescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este crescătoare.
Verificăm acum că \(f\) nu este descrescătoare.
Dacă \(f\) ar fi descrescătoare, pentru orice pereche \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) cu \(x_1<x_2\) ar trebui să aibă loc
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Alegem
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Avem
\[ 1<2, \]
dar
\[ f(1)=1<3=f(2). \]
Această pereche contrazice definiția funcției descrescătoare. Prin urmare, \(f\) nu este descrescătoare.
Funcția este deci injectivă, dar nu este monotonă.
Acest contraexemplu arată că injectivitatea nu implică monotonia. Stricta monotonie implică injectivitatea, însă reciproca nu este adevărată.