Împărțirea Polinoamelor: 20 de Exerciții Rezolvate Pas cu Pas

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Deîmpărțitul se descompune în \((x+2)(x+3)\): împărțirea va fi exactă. Algoritmul o confirmă în doar doi pași.

Pasul 1

Împart termenul de grad maxim: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x+2)=x^2+2x\). Schimb semnele și adun: \(x^2\) se anulează. Polinomul rămas: \(3x+6\).

Pasul 2

Împart: \(3x\div x=3\). Înmulțesc: \(3(x+2)=3x+6\). Schimb semnele: \(3x\) și \(6\) se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Se recunoaște forma \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) cu \(a=x\) și \(b=3\). Termenul \(0x\) trebuie introdus ca element de poziție.

Pasul 1

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-3)=x^2-3x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(3x-9\).

Pasul 2

Împart: \(3x\div x=3\). Înmulțesc: \(3(x-3)=3x-9\). Schimb semnele: \(3x\) și \(-9\) se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Deoarece \(f(1)=1+2-3=0\), teorema restului garantează că \((x-1)\) divide exact deîmpărțitul.

Pasul 1

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-1)=x^2-x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(3x-3\).

Pasul 2

Împart: \(3x\div x=3\). Înmulțesc: \(3(x-1)=3x-3\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Coeficientul dominant al deîmpărțitului este \(2\): primul termen al câtului va fi \(2x\). Împărțirea este exactă deoarece \(f(-1)=0\).

Pasul 1

Împart: \(2x^2\div x=2x\). Înmulțesc: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Schimb semnele: \(2x^2\) se anulează. Rămas: \(-3x-3\).

Pasul 2

Împart: \(-3x\div x=-3\). Înmulțesc: \(-3(x+1)=-3x-3\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Idee de rezolvare

Prin teorema restului \(R=f(1)=1+1=2\neq0\): împărțirea nu este exactă. Termenul \(0x\) trebuie explicitat ca element de poziție.

Pasul 1

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-1)=x^2-x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(x+1\).

Pasul 2

Împart: \(x\div x=1\). Înmulțesc: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Schimb semnele: \(x\) se anulează; \(1+1=2\). Gradul \(0<1\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Verificare: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Formula: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) cu \(a=x,\;b=2\). Termenii \(0x^2\) și \(0x\) trebuie explicitați.

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(2x^2-8\).

Pasul 2

Împart: \(2x^2\div x=2x\). Înmulțesc: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Schimb semnele: \(2x^2\) se anulează. Rămas: \(4x-8\).

Pasul 3

Împart: \(4x\div x=4\). Înmulțesc: \(4(x-2)=4x-8\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Formula: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) cu \(a=x,\;b=1\). Verificare imediată: \(f(-1)=-1+1=0\).

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(-x^2+1\).

Pasul 2

Împart: \(-x^2\div x=-x\). Înmulțesc: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Schimb semnele: \(-x^2\) se anulează. Rămas: \(x+1\).

Pasul 3

Împart: \(x\div x=1\). Înmulțesc: \(1\cdot(x+1)=x+1\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Idee de rezolvare

Lipsește termenul \(x^2\): se introduce ca \(0x^2\). Prin teorema restului \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), deci restul este \(3\).

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(x^2+x+1\).

Pasul 2

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-1)=x^2-x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(2x+1\).

Pasul 3

Împart: \(2x\div x=2\). Înmulțesc: \(2(x-1)=2x-2\). Schimb semnele: \(2x\) se anulează; \(1+2=3\). Gradul \(0<1\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Verificare: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Deîmpărțitul este \((x-1)^3\). Împărțind la \((x-1)\) se obține \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Verificare: \(f(1)=0\).

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(-2x^2+3x-1\).

Pasul 2

Împart: \(-2x^2\div x=-2x\). Înmulțesc: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Schimb semnele: \(-2x^2\) se anulează. Rămas: \(x-1\).

Pasul 3

Împart: \(x\div x=1\). Înmulțesc: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Idee de rezolvare

Prin teorema restului \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). Câtul are gradul \(1\).

Pasul 1

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-2)=x^2-2x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(-x+1\).

Pasul 2

Împart: \(-x\div x=-1\). Înmulțesc: \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Schimb semnele: \(-x\) se anulează; \(1-2=-1\). Gradul \(0<1\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Verificare: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

\(f(1)=1+1-1-1=0\): împărțirea este exactă. Câtul \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) este un trinom pătrat perfect.

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(2x^2-x-1\).

Pasul 2

Împart: \(2x^2\div x=2x\). Înmulțesc: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Schimb semnele: \(2x^2\) se anulează. Rămas: \(x-1\).

Pasul 3

Împart: \(x\div x=1\). Înmulțesc: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Idee de rezolvare

Lipsește \(x^2\): se introduce ca \(0x^2\). Teorema restului dă \(f(-2)=-16+6+1=-9\): confirmă restul.

Pasul 1

Împart: \(2x^3\div x=2x^2\). Înmulțesc: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Schimb semnele: \(2x^3\) se anulează. Rămas: \(-4x^2-3x+1\).

Pasul 2

Împart: \(-4x^2\div x=-4x\). Înmulțesc: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Schimb semnele: \(-4x^2\) se anulează. Rămas: \(5x+1\).

Pasul 3

Împart: \(5x\div x=5\). Înmulțesc: \(5(x+2)=5x+10\). Schimb semnele: \(5x\) se anulează; \(1-10=-9\). Gradul \(0<1\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Verificare: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) are gradul 2: câtul va avea gradul \(3-2=1\), iar restul cel mult gradul \(1\).

Pasul 1

Împart: \(x^3\div x^2=x\). Înmulțesc: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Schimb semnele: \(x^3\) și \(-x\) se anulează. Rămas: \(2x^2-2\).

Pasul 2

Împart: \(2x^2\div x^2=2\). Înmulțesc: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul are gradul 2, iar deîmpărțitul gradul 3: câtul va avea gradul \(1\). Restul are cel mult gradul \(1\), deci este de forma \(ax+b\).

Pasul 1

Împart: \(2x^3\div x^2=2x\). Înmulțesc: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Schimb semnele: \(2x^3\) se anulează. Rămas: \(x^2-3x+6\).

Pasul 2

Împart: \(x^2\div x^2=1\). Înmulțesc: \(x^2-x-2\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(-2x+8\). Gradul \(1<2\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Verificare: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Idee de rezolvare

Lipsește termenul \(x^3\): se introduce ca \(0x^3\). Câtul va avea gradul \(4-2=2\). Restul este o constantă.

Pasul 1

Împart: \(x^4\div x^2=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Schimb semnele: \(x^4\) și \(x^3\) se anulează. Rămas: \(-x^3+x^2+x-1\).

Pasul 2

Împart: \(-x^3\div x^2=-x\). Înmulțesc: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Schimb semnele: \(-x^3\), \(x^2\) și \(x\) se anulează. Rămas: \(2x^2+2x-1\).

Pasul 3

Împart: \(2x^2\div x^2=2\). Înmulțesc: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Schimb semnele: \(2x^2\) și \(2x\) se anulează; \(-1-2=-3\). Gradul \(0<2\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Verificare: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Lipsesc \(x^3\) și \(x\): se introduc ca \(0x^3\) și \(0x\). Se recunoaște \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).

Pasul 1

Împart: \(x^4\div x^2=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Schimb semnele: \(x^4\) se anulează. Rămas: \(-4x^2+4\).

Pasul 2

Împart: \(-4x^2\div x^2=-4\). Înmulțesc: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Idee de rezolvare

Gradul deîmpărțitului este 3, gradul împărțitorului este 2: câtul are gradul \(1\), restul cel mult gradul \(1\). Restul nu este nul și trebuie calculat complet.

Pasul 1

Împart: \(3x^3\div x^2=3x\). Înmulțesc: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Schimb semnele: \(3x^3\) se anulează. Rămas: \(-5x^2+4x-4\).

Pasul 2

Împart: \(-5x^2\div x^2=-5\). Înmulțesc: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Schimb semnele: \(-5x^2\) se anulează. Rămas: \(9x-9\). Gradul \(1<2\): ne oprim.

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Verificare: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Împărțitorul \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). Atât \(f(1)\) cât și \(f(-2)\) sunt nuli: împărțirea este exactă. Câtul este la rândul său factorizabil.

Pasul 1

Împart: \(x^4\div x^2=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Schimb semnele: \(x^4\) se anulează. Rămas: \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Pasul 2

Împart: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Înmulțesc: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Schimb semnele: \(-2x^3\) se anulează. Rămas: \(-3x^2-3x+6\).

Pasul 3

Împart: \(-3x^2\div x^2=-3\). Înmulțesc: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Identitatea seriei geometrice: \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Toți termenii intermediari ai deîmpărțitului sunt nuli.

Pasul 1

Împart: \(x^5\div x=x^4\). Înmulțesc: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Schimb semnele: \(x^5\) se anulează. Rămas: \(x^4-1\).

Pasul 2

Împart: \(x^4\div x=x^3\). Înmulțesc: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Schimb semnele: \(x^4\) se anulează. Rămas: \(x^3-1\).

Pasul 3

Împart: \(x^3\div x=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Schimb semnele: \(x^3\) se anulează. Rămas: \(x^2-1\).

Pasul 4

Împart: \(x^2\div x=x\). Înmulțesc: \(x(x-1)=x^2-x\). Schimb semnele: \(x^2\) se anulează. Rămas: \(x-1\).

Pasul 5

Împart: \(x\div x=1\). Înmulțesc: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Idee de rezolvare

Deîmpărțitul se factorizează ca \(x(x-2)(x^2-1)\), iar împărțitorul ca \(x(x-2)\): împărțirea este exactă în doar doi pași.

Pasul 1

Împart: \(x^4\div x^2=x^2\). Înmulțesc: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Schimb semnele: \(x^4\) și \(-2x^3\) se anulează. Rămas: \(-x^2+2x\).

Pasul 2

Împart: \(-x^2\div x^2=-1\). Înmulțesc: \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Schimb semnele: totul se anulează. Restul este \(0\).

Schema completă

Rezultat

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Verificare: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)