În această culegere prezentăm 20 de exerciții rezolvate privind inecuațiile cu parametru, ordonate după dificultate și rezolvate pas cu pas.
Scopul este de a învăța să identificăm valorile parametrului care modifică structura inecuației: semnul unui coeficient, sensul inegalității, gradul expresiei, discriminantul și concavitatea parabolei.
Fiecare exercițiu arată cum se structurează corect discuția pe cazuri, evitând greșelile cele mai frecvente și ajungând la o descriere completă a mulțimii soluțiilor în funcție de valorile parametrului.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k-3)x > 6 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x > \dfrac{6}{k-3}, & k > 3, \\[6pt] x < \dfrac{6}{k-3}, & k < 3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = 3. \end{cases} \]
Rezolvare
Inecuația este liniară în necunoscuta \(x\). Coeficientul lui \(x\) este:
\[ k - 3. \]
Pentru a-l izola pe \(x\), ar trebui să împărțim ambii membri prin \(k-3\). Totuși, semnul lui \(k-3\) depinde de parametrul \(k\). Din acest motiv trebuie să distingem trei cazuri:
\[ k-3 > 0, \qquad k-3 < 0, \qquad k-3 = 0. \]
Cazul \(k > 3\)
Dacă \(k > 3\), atunci \(k-3 > 0\), deci putem împărți prin \(k-3\) fără a schimba sensul inecuației:
\[ x > \frac{6}{k-3}. \]
Cazul \(k < 3\)
Dacă \(k < 3\), atunci \(k-3 < 0\), deci împărțind printr-o cantitate negativă sensul inecuației se inversează:
\[ x < \frac{6}{k-3}. \]
Cazul \(k = 3\)
Dacă \(k = 3\), coeficientul lui \(x\) se anulează. Inecuația devine:
\[ 0 \cdot x > 6, \qquad \text{adică} \qquad 0 > 6. \]
Această afirmație este falsă, deci nu există nicio valoare reală a lui \(x\) care să satisfacă inecuația. Prin urmare:
\[ S = \emptyset. \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k+1)x - 4 \leq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{4}{k+1}, & k > -1, \\[6pt] x \geq \dfrac{4}{k+1}, & k < -1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = -1. \end{cases} \]
Rezolvare
Mutăm termenul liber în membrul drept:
\[ (k+1)x \leq 4. \]
Și în acest caz coeficientul necunoscutei depinde de parametru: \(k+1\). Pentru a împărți corect, trebuie să știm dacă \(k+1\) este pozitiv, negativ sau nul.
Cazul \(k > -1\)
Dacă \(k > -1\), atunci \(k+1 > 0\). Împărțind printr-o cantitate pozitivă, sensul nu se schimbă:
\[ x \leq \frac{4}{k+1}. \]
Cazul \(k < -1\)
Dacă \(k < -1\), atunci \(k+1 < 0\). Împărțind printr-o cantitate negativă, sensul se inversează:
\[ x \geq \frac{4}{k+1}. \]
Cazul \(k = -1\)
Dacă \(k = -1\), coeficientul lui \(x\) se anulează. Inecuația inițială devine:
\[ 0 \cdot x - 4 \leq 0, \qquad \text{adică} \qquad -4 \leq 0. \]
Această afirmație este adevărată pentru orice valoare reală a lui \(x\). Deci:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k-2)x + 5 \geq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x \geq -\dfrac{5}{k-2}, & k > 2, \\[6pt] x \leq -\dfrac{5}{k-2}, & k < 2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = 2. \end{cases} \]
Rezolvare
Izolăm termenul care conține necunoscuta:
\[ (k-2)x \geq -5. \]
Coeficientul lui \(x\) este \(k-2\). Deoarece depinde de parametru, nu putem împărți fără a discuta semnul său.
Cazul \(k > 2\)
Dacă \(k > 2\), atunci \(k-2 > 0\). Împărțind prin \(k-2\), sensul rămâne nemodificat:
\[ x \geq -\frac{5}{k-2}. \]
Cazul \(k < 2\)
Dacă \(k < 2\), atunci \(k-2 < 0\). Împărțind printr-o cantitate negativă, sensul se schimbă:
\[ x \leq -\frac{5}{k-2}. \]
Cazul \(k = 2\)
Dacă \(k = 2\), termenul care conține \(x\) dispare:
\[ 0 \cdot x + 5 \geq 0, \qquad \text{adică} \qquad 5 \geq 0. \]
Această afirmație este întotdeauna adevărată. Prin urmare, orice număr real este soluție:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k^2 - 1)x < 2 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x < \dfrac{2}{k^2-1}, & k < -1 \ \text{sau}\ k > 1, \\[6pt] x > \dfrac{2}{k^2-1}, & -1 < k < 1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = \pm 1. \end{cases} \]
Rezolvare
Inecuația este liniară în necunoscuta \(x\), însă coeficientul lui \(x\) este:
\[ k^2 - 1 = (k-1)(k+1). \]
Studiem semnul lui \(k^2-1\):
\[ k^2 - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < -1 \ \text{sau}\ k > 1, \]
\[ k^2 - 1 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < k < 1, \]
\[ k^2 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = \pm 1. \]
Cazul \(k < -1\) sau \(k > 1\)
În acest caz \(k^2-1 > 0\). Putem împărți fără a schimba sensul:
\[ x < \frac{2}{k^2-1}. \]
Cazul \(-1 < k < 1\)
În acest caz \(k^2-1 < 0\). Împărțind printr-o cantitate negativă, sensul se inversează:
\[ x > \frac{2}{k^2-1}. \]
Cazul \(k = \pm 1\)
Dacă \(k = \pm 1\), atunci \(k^2 - 1 = 0\). Inecuația devine:
\[ 0 \cdot x < 2, \qquad \text{adică} \qquad 0 < 2. \]
Această afirmație este adevărată pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Deci:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k-1)x^2 - 4 > 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x < -\dfrac{2}{\sqrt{k-1}} \ \text{sau}\ x > \dfrac{2}{\sqrt{k-1}}, & k > 1, \\[10pt] S = \emptyset, & k \leq 1. \end{cases} \]
Rezolvare
Inecuația conține termenul \(x^2\), al cărui coeficient este \(k-1\). Trebuie să distingem cazurile în care acest coeficient este pozitiv, nul sau negativ.
Cazul \(k > 1\)
Dacă \(k > 1\), atunci \(k-1 > 0\). Putem împărți fără a schimba sensul:
\[ x^2 > \frac{4}{k-1}. \]
Membrul drept este pozitiv, deci:
\[ |x| > \frac{2}{\sqrt{k-1}}, \]
adică:
\[ x < -\frac{2}{\sqrt{k-1}} \quad \text{sau} \quad x > \frac{2}{\sqrt{k-1}}. \]
Cazul \(k = 1\)
Dacă \(k = 1\), termenul pătratic se anulează. Inecuația devine \(-4 > 0\), care este falsă. Deci:
\[ S = \emptyset. \]
Cazul \(k < 1\)
Dacă \(k < 1\), atunci \(k-1 < 0\). Deoarece \(x^2 \geq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), avem \((k-1)x^2 \leq 0\), deci:
\[ (k-1)x^2 - 4 < 0 \]
pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Inecuația nu are soluții:
\[ S = \emptyset. \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \geq -2, \\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{-k-2}}, & k < -2. \end{cases} \]
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k+2\). Trebuie să distingem cazurile \(k+2 > 0\), \(k+2 = 0\) și \(k+2 < 0\).
Cazul \(k > -2\)
Dacă \(k > -2\), atunci \(k+2 > 0\). Deoarece \(x^2 \geq 0\), avem \((k+2)x^2 \geq 0\), deci:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 1 > 0. \]
Inecuația este satisfăcută pentru orice \(x \in \mathbb{R}\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cazul \(k = -2\)
Dacă \(k = -2\), termenul pătratic dispare și inecuația devine \(1 \geq 0\), întotdeauna adevărată:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cazul \(k < -2\)
Dacă \(k < -2\), atunci \(k+2 < 0\). Pornim de la inecuație:
\[ (k+2)x^2 \geq -1. \]
Deoarece \(k+2 < 0\), împărțind prin \(k+2\) sensul se inversează:
\[ x^2 \leq \frac{-1}{k+2} = \frac{1}{-k-2}. \]
Prin urmare:
\[ -\frac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{-k-2}}. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 > 0 \]
Rezultat
\[ x < k-1 \quad \text{sau} \quad x > k+1. \]
Rezolvare
Observăm că trinomul poate fi scris ca un pătrat minus \(1\):
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = (x-k)^2 - 1. \]
Inecuația devine:
\[ (x-k)^2 > 1, \]
adică \(|x-k| > 1\). Deci:
\[ x - k < -1 \quad \text{sau} \quad x - k > 1, \]
de unde:
\[ x < k-1 \quad \text{sau} \quad x > k+1. \]
Mulțimea soluțiilor este:
\[ S = (-\infty,\, k-1) \cup (k+1,\, +\infty). \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ x^2 + (k-3)x + k < 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < 1 \ \text{sau}\ k > 9, \\[6pt] S = \emptyset, & 1 \leq k \leq 9, \end{cases} \]
unde, pentru \(k < 1\) sau \(k > 9\),
\[ x_1 = \frac{3-k-\sqrt{k^2-10k+9}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3-k+\sqrt{k^2-10k+9}}{2}. \]
Rezolvare
Considerăm trinomul \(P(x) = x^2 + (k-3)x + k\). Coeficientul lui \(x^2\) este \(a = 1 > 0\), deci parabola are întotdeauna concavitatea în sus.
Deoarece inecuația cere \(P(x) < 0\), trinomul trebuie să aibă două rădăcini reale distincte (cu concavitatea în sus, trinomul este negativ numai între cele două rădăcini).
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (k-3)^2 - 4k = k^2 - 6k + 9 - 4k = k^2 - 10k + 9 = (k-1)(k-9). \]
Studiem semnul:
\[ \Delta > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 1 \ \text{sau}\ k > 9, \]
\[ \Delta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 1 \ \text{sau}\ k = 9, \]
\[ \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < k < 9. \]
Cazul \(k < 1\) sau \(k > 9\)
Trinomul are două rădăcini reale distincte, iar parabola are concavitatea în sus, deci trinomul este negativ între cele două rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k = 1\) sau \(k = 9\)
Trinomul are o rădăcină dublă. Cu concavitatea în sus, trinomul este întotdeauna \(\geq 0\), dar inecuația cere \(P(x) < 0\). Prin urmare:
\[ S = \emptyset. \]
Cazul \(1 < k < 9\)
Discriminantul este negativ. Parabola, cu concavitatea în sus, nu intersectează axa absciselor, iar trinomul este întotdeauna pozitiv. Deci:
\[ S = \emptyset. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve:
\[ (k-4)x^2 + 2x - 3 \leq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \leq \dfrac{11}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{sau}\ x \geq x_2, & \dfrac{11}{3} < k < 4, \\[8pt] x \leq \dfrac{3}{2}, & k = 4, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & k > 4, \end{cases} \]
unde \(x_1\) și \(x_2\) desemnează cele două rădăcini ordonate ale trinomului, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-4\). Înainte de a studia discriminantul, trebuie să verificăm dacă inecuația este cu adevărat de gradul al doilea.
Cazul \(k = 4\)
Dacă \(k = 4\), termenul pătratic se anulează și inecuația devine \(2x - 3 \leq 0\), de unde:
\[ x \leq \frac{3}{2}. \]
Cazul \(k \neq 4\)
Pentru \(k \neq 4\), considerăm \(P(x) = (k-4)x^2 + 2x - 3\). Discriminantul este:
\[ \Delta = 4 - 4(k-4)(-3) = 4 + 12(k-4) = 12k - 44 = 4(3k-11). \]
Studiem semnul:
\[ \Delta > 0 \iff k > \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta < 0 \iff k < \tfrac{11}{3}. \]
Concavitatea depinde de semnul lui \(k-4\).
Cazul \(k < \dfrac{11}{3}\)
În acest caz \(\Delta < 0\) și \(k - 4 < 0\). Parabola are concavitatea în jos și nu intersectează axa absciselor: trinomul este întotdeauna negativ. Deoarece inecuația cere \(P(x) \leq 0\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cazul \(k = \dfrac{11}{3}\)
În acest caz \(\Delta = 0\) și \(k - 4 = \frac{11}{3} - 4 = -\frac{1}{3} < 0\). Parabola are concavitatea în jos și atinge axa într-o rădăcină dublă: trinomul este întotdeauna \(\leq 0\). Prin urmare:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cazul \(\dfrac{11}{3} < k < 4\)
În acest caz \(\Delta > 0\) și \(k - 4 < 0\). Trinomul are două rădăcini reale distincte, iar parabola are concavitatea în jos: este pozitiv între rădăcini și negativ în exterior. Pentru \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{sau} \quad x \geq x_2. \]
Cazul \(k > 4\)
În acest caz \(\Delta > 0\) și \(k - 4 > 0\). Trinomul are două rădăcini reale distincte, iar parabola are concavitatea în sus: este negativ între rădăcini. Deoarece inecuația este cu semn slab, rădăcinile se includ:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + k > 0 \]
Rezultat
Notăm:
\[ k_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad k_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq k_1, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & k_1 < k < 1, \\[6pt] x > -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x < x_1 \ \text{sau}\ x > x_2, & 1 < k < k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k > k_2. \end{cases} \]
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-1\). Prima valoare de verificat este \(k = 1\).
Cazul \(k = 1\)
Dacă \(k = 1\), inecuația devine \(2x + 1 > 0\), de unde:
\[ x > -\frac{1}{2}. \]
Cazul \(k \neq 1\)
Pentru \(k \neq 1\) calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1)k = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1. \]
Punem \(\Delta = 0\): \(3k^2 - 6k - 1 = 0\), cu soluțiile:
\[ k = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Deoarece discriminantul (privit ca funcție de \(k\)) este o parabolă cu concavitatea în jos:
\[ \Delta > 0 \iff k_1 < k < k_2, \quad \Delta = 0 \iff k = k_1 \ \text{sau}\ k = k_2, \quad \Delta < 0 \iff k < k_1 \ \text{sau}\ k > k_2. \]
Cazul \(k < k_1\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna negativ. Deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(k = k_1\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna \(\leq 0\). Inecuația este strictă, deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(k_1 < k < 1\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini. Deci:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(1 < k < k_2\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom pozitiv în exteriorul rădăcinilor. Deci:
\[ x < x_1 \quad \text{sau} \quad x > x_2. \]
Cazul \(k = k_2\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna \(\geq 0\), dar se anulează în rădăcina dublă \(x_0 = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}\). Deoarece inecuația este strictă:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Cazul \(k > k_2\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \mathbb{R}\).
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ (k^2 - 4)x^2 - 1 < 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}}, & |k| > 2, \\[10pt] S = \mathbb{R}, & |k| \leq 2. \end{cases} \]
Rezolvare
Coeficientul lui \(x^2\) este \(k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Studiem semnul său:
\[ k^2 - 4 > 0 \iff |k| > 2, \quad k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2, \quad k^2 - 4 < 0 \iff |k| < 2. \]
Cazul \(|k| > 2\)
Deoarece \(k^2 - 4 > 0\), împărțim prin el fără a schimba sensul:
\[ x^2 < \frac{1}{k^2 - 4}. \]
Prin urmare:
\[ -\frac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \frac{1}{\sqrt{k^2-4}}. \]
Cazul \(|k| < 2\)
Deoarece \(k^2 - 4 < 0\) și \(x^2 \geq 0\), avem \((k^2-4)x^2 \leq 0\), deci:
\[ (k^2-4)x^2 - 1 < 0 \]
pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Deci \(S = \mathbb{R}\).
Cazul \(k = \pm 2\)
Dacă \(k = \pm 2\), inecuația devine \(-1 < 0\), întotdeauna adevărată. Prin urmare \(S = \mathbb{R}\).
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ (k-2)x^2 + (k+1)x + 1 \geq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x_1 \leq x \leq x_2, & k < 2, \\[6pt] x \geq -\dfrac{1}{3}, & k = 2, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{sau}\ x \geq x_2, & k > 2, \end{cases} \]
unde \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ordonate ale trinomului, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-2\).
Cazul \(k = 2\)
Dacă \(k = 2\), inecuația devine \(3x + 1 \geq 0\), de unde:
\[ x \geq -\frac{1}{3}. \]
Cazul \(k \neq 2\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-2) = k^2 + 2k + 1 - 4k + 8 = k^2 - 2k + 9 = (k-1)^2 + 8. \]
Deoarece \((k-1)^2 + 8 > 0\) pentru orice \(k \in \mathbb{R}\), trinomul are întotdeauna două rădăcini reale distincte când \(k \neq 2\). Rămâne de discutat doar concavitatea, adică semnul lui \(k-2\).
Cazul \(k < 2\)
Parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini. Pentru \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cazul \(k > 2\)
Parabolă cu concavitatea în sus, trinom pozitiv în exteriorul rădăcinilor. Pentru \(P(x) \geq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{sau} \quad x \geq x_2. \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ (k+1)x^2 - 2(k-1)x + k \leq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{1}{4}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -1 < k < \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x = x_0, & k = \dfrac{1}{3}, \\[8pt] S = \emptyset, & k > \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{sau}\ x \geq x_2, & k < -1. \end{cases} \]
În cazurile cu două rădăcini reale distincte, \(x_1\) și \(x_2\) desemnează rădăcinile ordonate, cu \(x_1 < x_2\). În cazul \(k = \dfrac{1}{3}\), \(x_0\) este rădăcina dublă.
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k+1\). Prima valoare de discutat este \(k = -1\).
Cazul \(k = -1\)
Înlocuind \(k = -1\), inecuația devine \(4x - 1 \leq 0\), de unde:
\[ x \leq \frac{1}{4}. \]
Cazul \(k \neq -1\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = 4(k-1)^2 - 4k(k+1) = 4\bigl[(k-1)^2 - k(k+1)\bigr] = 4(1-3k). \]
Studiem semnul:
\[ \Delta > 0 \iff k < \tfrac{1}{3}, \quad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{1}{3}, \quad \Delta < 0 \iff k > \tfrac{1}{3}. \]
Concavitatea depinde de semnul lui \(k+1\).
Cazul \(k < -1\)
\(\Delta > 0\) și \(k+1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom negativ în exteriorul rădăcinilor. Pentru \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{sau} \quad x \geq x_2. \]
Cazul \(-1 < k < \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta > 0\) și \(k+1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom negativ între rădăcini. Pentru \(P(x) \leq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cazul \(k = \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) și \(k+1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna \(\geq 0\), se anulează numai în rădăcina dublă. Deci:
\[ x = x_0. \]
Cazul \(k > \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) și \(k+1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \emptyset\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve:
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + k < 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}, & k > -1, \\[8pt] S = \emptyset, & k \leq -1. \end{cases} \]
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(a = 1 > 0\): parabola are întotdeauna concavitatea în sus. Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4(k^2+k) = 4\bigl[(k+1)^2 - (k^2+k)\bigr] = 4(k+1). \]
Studiem semnul:
\[ \Delta > 0 \iff k > -1, \quad \Delta = 0 \iff k = -1, \quad \Delta < 0 \iff k < -1. \]
Cazul \(k > -1\)
Două rădăcini reale distincte. Deoarece \(\sqrt{4(k+1)} = 2\sqrt{k+1}\):
\[ x_{1,2} = \frac{2(k+1) \pm 2\sqrt{k+1}}{2} = k+1 \mp \sqrt{k+1}. \]
Parabola are concavitatea în sus, deci trinomul este negativ între cele două rădăcini:
\[ k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}. \]
Cazul \(k = -1\)
\(\Delta = 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna \(\geq 0\). Inecuația cere \(P(x) < 0\), deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(k < -1\)
\(\Delta < 0\): trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \emptyset\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k-3)x^2 + (2k-1)x + k > 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{8} < k < 3, \\[8pt] x > -\dfrac{3}{5}, & k = 3, \\[8pt] x < x_1 \ \text{sau}\ x > x_2, & k > 3. \end{cases} \]
În cazurile cu două rădăcini reale distincte, \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ordonate, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-3\). Primul caz de tratat este \(k = 3\).
Cazul \(k = 3\)
Dacă \(k = 3\), inecuația devine \(5x + 3 > 0\), de unde:
\[ x > -\frac{3}{5}. \]
Cazul \(k \neq 3\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (2k-1)^2 - 4(k-3)k = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k = 8k + 1. \]
Studiem semnul:
\[ \Delta > 0 \iff k > -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{8}. \]
Cazul \(k < -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 3 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna negativ. \(S = \emptyset\).
Cazul \(k = -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 3 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna \(\leq 0\). Inecuația este strictă, deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(-\dfrac{1}{8} < k < 3\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 3 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k > 3\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 3 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom pozitiv în exteriorul rădăcinilor:
\[ x < x_1 \quad \text{sau} \quad x > x_2. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k^2-1)x^2 + 2kx + 1 \geq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x \leq x_1 \ \text{sau}\ x \geq x_2, & |k| > 1, \\[8pt] x \geq -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x \leq \dfrac{1}{2}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & |k| < 1. \end{cases} \]
În cazurile pătratice, \(x_1\) și \(x_2\) sunt cele două rădăcini ordonate, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\). Cazurile degenerate apar pentru \(k = \pm 1\).
Cazul \(k = 1\)
Inecuația devine \(2x + 1 \geq 0\), de unde \(x \geq -\dfrac{1}{2}\).
Cazul \(k = -1\)
Inecuația devine \(-2x + 1 \geq 0\), de unde \(x \leq \dfrac{1}{2}\).
Cazul \(k \neq \pm 1\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (2k)^2 - 4(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4. \]
Discriminantul este întotdeauna pozitiv: trinomul are întotdeauna două rădăcini reale distincte. Rămâne de studiat concavitatea:
\[ k^2 - 1 > 0 \iff |k| > 1, \qquad k^2 - 1 < 0 \iff |k| < 1. \]
Cazul \(|k| > 1\)
Parabolă cu concavitatea în sus, \(P(x) \geq 0\) în exteriorul rădăcinilor:
\[ x \leq x_1 \quad \text{sau} \quad x \geq x_2. \]
Cazul \(|k| < 1\)
Parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini. Pentru \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k-2)x^2 - 4x + k < 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k < 1-\sqrt{5}, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = 1-\sqrt{5}, \\[6pt] x < x_1 \ \text{sau}\ x > x_2, & 1-\sqrt{5} < k < 2, \\[8pt] x > \dfrac{1}{2}, & k = 2, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & 2 < k < 1+\sqrt{5}, \\[6pt] S = \emptyset, & k \geq 1+\sqrt{5}. \end{cases} \]
În cazurile cu două rădăcini reale distincte, \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ordonate, cu \(x_1 < x_2\). În cazul \(k = 1-\sqrt{5}\), \(x_0\) este rădăcina dublă.
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-2\).
Cazul \(k = 2\)
Dacă \(k = 2\), inecuația devine \(-4x + 2 < 0\), de unde:
\[ x > \frac{1}{2}. \]
Cazul \(k \neq 2\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = 16 - 4(k-2)k = 16 - 4k^2 + 8k = -4(k^2 - 2k - 4). \]
Zerourile lui \(k^2 - 2k - 4 = 0\) sunt \(k = 1 \pm \sqrt{5}\). Deoarece \(\Delta = -4(k^2 - 2k - 4)\):
\[ \Delta > 0 \iff 1-\sqrt{5} < k < 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta = 0 \iff k = 1-\sqrt{5} \ \text{sau}\ k = 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta < 0 \iff k < 1-\sqrt{5} \ \text{sau}\ k > 1+\sqrt{5}. \]
Cazul \(k < 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 2 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna negativ. Inecuația \(P(x) < 0\) este satisfăcută pentru orice \(x\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Cazul \(k = 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 2 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna \(\leq 0\), se anulează în rădăcina dublă \(x_0\). Deoarece inecuația este strictă:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Cazul \(1-\sqrt{5} < k < 2\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 2 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom negativ în exteriorul rădăcinilor:
\[ x < x_1 \quad \text{sau} \quad x > x_2. \]
Cazul \(2 < k < 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 2 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom negativ între rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k = 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 2 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna \(\geq 0\). Inecuația \(P(x) < 0\) nu are soluții:
\[ S = \emptyset. \]
Cazul \(k > 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 2 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \emptyset\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k+1)x^2 + (k-1)x - 2 > 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < -1,\ k \neq -3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = -3, \\[6pt] x < -1, & k = -1, \\[6pt] x < x_1 \ \text{sau}\ x > x_2, & k > -1. \end{cases} \]
În cazurile cu două rădăcini reale distincte, \(x_1\) și \(x_2\) desemnează rădăcinile ordonate ale trinomului, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k+1\).
Cazul \(k = -1\)
Dacă \(k = -1\), inecuația devine \(-2x - 2 > 0\), de unde \(x < -1\).
Cazul \(k \neq -1\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (k-1)^2 + 8(k+1) = k^2 - 2k + 1 + 8k + 8 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2. \]
Discriminantul este întotdeauna \(\geq 0\):
\[ \Delta = 0 \iff k = -3, \qquad \Delta > 0 \iff k \neq -3. \]
Concavitatea depinde de semnul lui \(k+1\).
Cazul \(k < -3\)
\(\Delta > 0\) și \(k+1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k = -3\)
\(\Delta = 0\) și \(k+1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna \(\leq 0\). Inecuația este strictă, deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(-3 < k < -1\)
\(\Delta > 0\) și \(k+1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k > -1\)
\(\Delta > 0\) și \(k+1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom pozitiv în exteriorul rădăcinilor:
\[ x < x_1 \quad \text{sau} \quad x > x_2. \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k-1)x^2 + (k-1)x + k > 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{3}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{3} < k < 1, \\[8pt] S = \mathbb{R}, & k \geq 1. \end{cases} \]
În cazul \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\), \(x_1\) și \(x_2\) sunt cele două rădăcini ordonate, cu \(x_1 < x_2\).
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k-1\). Primul caz de considerat este \(k = 1\).
Cazul \(k = 1\)
Dacă \(k = 1\), inecuația devine \(1 > 0\), întotdeauna adevărată. Prin urmare \(S = \mathbb{R}\).
Cazul \(k \neq 1\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)k = (k-1)\bigl[(k-1) - 4k\bigr] = (k-1)(-3k-1). \]
Valorile critice sunt \(k = 1\) și \(k = -\dfrac{1}{3}\). Se obține:
\[ \Delta > 0 \iff -\tfrac{1}{3} < k < 1, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{3} \ \text{sau}\ k = 1, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{3} \ \text{sau}\ k > 1. \]
Cazul \(k < -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna negativ. \(S = \emptyset\).
Cazul \(k = -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom întotdeauna \(\leq 0\). Inecuația este strictă, deci \(S = \emptyset\).
Cazul \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\)
\(\Delta > 0\) și \(k - 1 < 0\): parabolă cu concavitatea în jos, trinom pozitiv între rădăcini:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Cazul \(k > 1\)
\(\Delta < 0\) și \(k - 1 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \mathbb{R}\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se rezolve:
\[ (k^2-9)x^2 + 6x + 1 \leq 0 \]
Rezultat
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = -3\sqrt{2}, \\[6pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -3\sqrt{2} < k < -3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = -3, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{sau}\ x \geq x_2, & -3 < k < 3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = 3, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & 3 < k < 3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = 3\sqrt{2}, \\[6pt] S = \emptyset, & k > 3\sqrt{2}. \end{cases} \]
În cazurile cu două rădăcini reale distincte, \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ordonate, cu \(x_1 < x_2\). În cazurile \(k = \pm 3\sqrt{2}\), \(x_0\) este rădăcina dublă.
Rezolvare
Coeficientul termenului pătratic este \(k^2 - 9 = (k-3)(k+3)\). Cazurile degenerate apar pentru \(k = \pm 3\).
Cazul \(k = -3\) sau \(k = 3\)
Dacă \(k = \pm 3\), termenul pătratic se anulează și inecuația devine \(6x + 1 \leq 0\), de unde:
\[ x \leq -\frac{1}{6}. \]
Cazul \(k \neq \pm 3\)
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta = 36 - 4(k^2-9) = 36 - 4k^2 + 36 = 72 - 4k^2 = 4(18 - k^2). \]
Deoarece \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):
\[ \Delta > 0 \iff -3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}, \quad \Delta = 0 \iff k = \pm 3\sqrt{2}, \quad \Delta < 0 \iff |k| > 3\sqrt{2}. \]
Concavitatea depinde de semnul lui \(k^2 - 9\):
\[ k^2 - 9 > 0 \iff |k| > 3, \qquad k^2 - 9 < 0 \iff |k| < 3. \]
Cazul \(k < -3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. \(S = \emptyset\).
Cazul \(k = -3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna \(\geq 0\). Deoarece inecuația este cu semn slab, singura soluție este rădăcina dublă:
\[ x = x_0. \]
Cazul \(-3\sqrt{2} < k < -3\)
\(\Delta > 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom negativ între rădăcini:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cazul \(-3 < k < 3\)
\(k^2 - 9 < 0\) (și cu certitudine \(\Delta > 0\)): parabolă cu concavitatea în jos, trinom negativ în exteriorul rădăcinilor. Pentru \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{sau} \quad x \geq x_2. \]
Cazul \(3 < k < 3\sqrt{2}\)
\(\Delta > 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom negativ între rădăcini:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Cazul \(k = 3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinomul se anulează numai în rădăcina dublă:
\[ x = x_0. \]
Cazul \(k > 3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) și \(k^2 - 9 > 0\): parabolă cu concavitatea în sus, trinom întotdeauna pozitiv. Prin urmare \(S = \emptyset\).