În această colecție propunem 20 de exerciții rezolvate despre inecuații cu valoare absolută, ordonate în mod progresiv. Fiecare exercițiu este rezolvat pas cu pas, cu atenție deosebită asupra semnificației echivalențelor utilizate și asupra scrierii corecte a mulțimii soluțiilor.
Reamintim că, pentru \(k>0\), sunt valabile următoarele echivalențe fundamentale:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{sau} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{sau} \quad A(x)\ge k \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x-2|<5 \]
Rezultat
\[ S=(-3,7) \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|<k \]
unde:
\[ A(x)=x-2, \qquad k=5 \]
Deoarece \(5>0\), putem transforma inecuația cu valoare absolută în inecuația dublă:
\[ -5<x-2<5 \]
Adunăm \(2\) la toți membrii:
\[ -5+2<x-2+2<5+2 \]
adică:
\[ -3<x<7 \]
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este:
\[ S=(-3,7) \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x+4|\le 3 \]
Rezultat
\[ S=[-7,-1] \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|\le k \]
unde:
\[ A(x)=x+4, \qquad k=3 \]
Deoarece \(3>0\), putem scrie:
\[ -3\le x+4\le 3 \]
Scădem \(4\) din toți membrii:
\[ -3-4\le x+4-4\le 3-4 \]
Obținem:
\[ -7\le x\le -1 \]
Deoarece inecuația inițială conține simbolul \(\le\), capetele intervalului sunt incluse.
Prin urmare:
\[ S=[-7,-1] \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |2x-1|>7 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|>k \]
unde:
\[ A(x)=2x-1, \qquad k=7 \]
Deoarece \(7>0\), valoarea absolută este mai mare decât \(7\) atunci când argumentul este mai mic decât \(-7\) sau mai mare decât \(7\). Deci:
\[ 2x-1<-7 \quad \text{sau} \quad 2x-1>7 \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ 2x-1<-7 \]
Adunăm \(1\):
\[ 2x<-6 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x<-3 \]
Rezolvăm acum a doua inecuație:
\[ 2x-1>7 \]
Adunăm \(1\):
\[ 2x>8 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x>4 \]
Reunind cele două soluții, obținem:
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |3x+2|\ge 4 \]
Rezultat
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|\ge k \]
unde:
\[ A(x)=3x+2, \qquad k=4 \]
Deoarece \(4>0\), putem scrie:
\[ 3x+2\le -4 \quad \text{sau} \quad 3x+2\ge 4 \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ 3x+2\le -4 \]
Scădem \(2\):
\[ 3x\le -6 \]
Împărțim prin \(3\):
\[ x\le -2 \]
Rezolvăm a doua inecuație:
\[ 3x+2\ge 4 \]
Scădem \(2\):
\[ 3x\ge 2 \]
Împărțim prin \(3\):
\[ x\ge \frac{2}{3} \]
Deoarece în inecuația inițială apare simbolul \(\ge\), capetele găsite sunt incluse.
Deci:
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |5-x|<2 \]
Rezultat
\[ S=(3,7) \]
Rezolvare
Inecuația este:
\[ |5-x|<2 \]
Deoarece \(2>0\), o putem transforma în:
\[ -2<5-x<2 \]
Acum trebuie să izolăm \(x\). Scădem \(5\) din toți membrii:
\[ -2-5<5-x-5<2-5 \]
adică:
\[ -7<-x<-3 \]
Înmulțim toți membrii cu \(-1\). Deoarece înmulțim cu un număr negativ, sensurile inecuațiilor se inversează:
\[ 7>x>3 \]
Scriind intervalul în sens crescător pe dreapta reală:
\[ 3<x<7 \]
Deci:
\[ S=(3,7) \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |4-2x|\le 6 \]
Rezultat
\[ S=[-1,5] \]
Rezolvare
Deoarece \(6>0\), transformăm inecuația:
\[ -6\le 4-2x\le 6 \]
Scădem \(4\) din toți membrii:
\[ -10\le -2x\le 2 \]
Împărțim prin \(-2\). Deoarece împărțim printr-un număr negativ, sensurile inecuațiilor se inversează:
\[ 5\ge x\ge -1 \]
Rescriem inecuația dublă în ordine crescătoare:
\[ -1\le x\le 5 \]
Prin urmare:
\[ S=[-1,5] \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |2x+3|<|x-1| \]
Rezultat
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Rezolvare
În această inecuație apar doi termeni cu valoare absolută. Deoarece ambii membri sunt nenegativi, putem ridica la pătrat fără a modifica mulțimea soluțiilor:
\[ |2x+3|<|x-1| \iff (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Dezvoltăm pătratele:
\[ 4x^2+12x+9<x^2-2x+1 \]
Aducem totul la primul membru:
\[ 4x^2+12x+9-x^2+2x-1<0 \]
adică:
\[ 3x^2+14x+8<0 \]
Descompunem trinomul:
\[ 3x^2+14x+8=(3x+2)(x+4) \]
Inecuația devine:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Zerourile factorilor sunt:
\[ 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}, \qquad x+4=0 \iff x=-4 \]
Să verificăm că descompunerea anterioară este corectă față de trinomul \(3x^2+14x+8\):
\[ (3x+2)(x+4)=3x^2+14x+8 \]
deci este corectă. Studiem acum semnul produsului:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Produsul este negativ între cele două zerouri:
\[ -4<x<-\frac{2}{3} \]
Verificăm totuși pasul inițial printr-o metodă alternativă: inecuația \(|2x+3|<|x-1|\) echivalează cu a spune că \(2x+3\) este mai aproape de \(0\) decât \(x-1\). Ridicând la pătrat obținem într-adevăr:
\[ (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Prin urmare, soluția corectă este:
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x-3|>0 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Rezolvare
Valoarea absolută a unei expresii este întotdeauna mai mare sau egală cu zero:
\[ |x-3|\ge 0 \]
Inecuația cere însă ca valoarea absolută să fie strict mai mare decât zero:
\[ |x-3|>0 \]
O valoare absolută este egală cu zero doar atunci când argumentul său este egal cu zero:
\[ |x-3|=0 \iff x-3=0 \iff x=3 \]
Deci inecuația este satisfăcută pentru toate numerele reale cu excepția lui \(x=3\).
Prin urmare:
\[ S=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]
sau, sub formă de reuniune de intervale:
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |2x-5|\le 0 \]
Rezultat
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Rezolvare
Valoarea absolută este întotdeauna nenegativă:
\[ |2x-5|\ge 0 \]
Inecuația:
\[ |2x-5|\le 0 \]
poate fi satisfăcută doar atunci când valoarea absolută este egală cu zero:
\[ |2x-5|=0 \]
O valoare absolută se anulează dacă și numai dacă se anulează argumentul său:
\[ 2x-5=0 \]
Rezolvăm:
\[ 2x=5 \]
deci:
\[ x=\frac{5}{2} \]
Prin urmare:
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x+2|<-1 \]
Rezultat
\[ S=\varnothing \]
Rezolvare
Valoarea absolută a oricărei expresii reale este întotdeauna mai mare sau egală cu zero:
\[ |x+2|\ge 0 \]
Inecuația propusă cere în schimb:
\[ |x+2|<-1 \]
adică cere ca un număr nenegativ să fie mai mic decât un număr negativ. Aceasta este imposibil.
Deci inecuația nu admite soluții:
\[ S=\varnothing \]
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |3x-6|>-2 \]
Rezultat
\[ S=\mathbb{R} \]
Rezolvare
Valoarea absolută este întotdeauna mai mare sau egală cu zero:
\[ |3x-6|\ge 0 \]
Inecuația cere:
\[ |3x-6|>-2 \]
Deoarece orice valoare absolută este nenegativă, ea este cu certitudine mai mare decât \(-2\).
Inecuația este deci satisfăcută pentru orice număr real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x-1|+2<5 \]
Rezultat
\[ S=(-2,4) \]
Rezolvare
Înainte de a aplica regulile privind valoarea absolută, izolăm modulul.
Pornim de la:
\[ |x-1|+2<5 \]
Scădem \(2\) din ambii membri:
\[ |x-1|<3 \]
Deoarece \(3>0\), putem scrie:
\[ -3<x-1<3 \]
Adunăm \(1\) la toți membrii:
\[ -2<x<4 \]
Prin urmare:
\[ S=(-2,4) \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Rezolvare
Izolăm mai întâi valoarea absolută.
Pornim de la:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Adunăm \(1\) la ambii membri:
\[ 2|x+3|\ge 8 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ |x+3|\ge 4 \]
Deoarece \(4>0\), inecuația este echivalentă cu:
\[ x+3\le -4 \quad \text{sau} \quad x+3\ge 4 \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ x\le -7 \]
Rezolvăm a doua inecuație:
\[ x\ge 1 \]
Deci:
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Rezultat
\[ S=(3,5) \]
Rezolvare
În acest exercițiu valoarea absolută este înmulțită cu un număr negativ. Procedăm cu atenție.
Pornim de la:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Scădem \(3\) din ambii membri:
\[ -2|x-4|>-2 \]
Împărțim prin \(-2\). Deoarece împărțim printr-un număr negativ, sensul inecuației se inversează:
\[ |x-4|<1 \]
Deoarece \(1>0\), putem scrie:
\[ -1<x-4<1 \]
Adunăm \(4\) la toți membrii:
\[ 3<x<5 \]
Prin urmare:
\[ S=(3,5) \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x^2-4|\le 5 \]
Rezultat
\[ S=[-3,3] \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|\le k \]
unde:
\[ A(x)=x^2-4, \qquad k=5 \]
Deoarece \(5>0\), o putem transforma în inecuația dublă:
\[ -5\le x^2-4\le 5 \]
Adunăm \(4\) la toți membrii:
\[ -1\le x^2\le 9 \]
Observăm acum că \(x^2\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\). Prin urmare condiția:
\[ -1\le x^2 \]
este întotdeauna satisfăcută.
Rămâne deci de impus:
\[ x^2\le 9 \]
Această inecuație este echivalentă cu:
\[ -3\le x\le 3 \]
Prin urmare:
\[ S=[-3,3] \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x^2-1|>3 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Rezolvare
Inecuația are forma:
\[ |A(x)|>k \]
unde:
\[ A(x)=x^2-1, \qquad k=3 \]
Deoarece \(3>0\), trebuie să rezolvăm reuniunea a două inecuații:
\[ x^2-1<-3 \quad \text{sau} \quad x^2-1>3 \]
Considerăm prima:
\[ x^2-1<-3 \]
Adunăm \(1\):
\[ x^2<-2 \]
Această inecuație nu are soluții reale, deoarece pătratul unui număr real este întotdeauna mai mare sau egal cu zero.
Considerăm acum pe a doua:
\[ x^2-1>3 \]
Adunăm \(1\):
\[ x^2>4 \]
Inecuația \(x^2>4\) este satisfăcută atunci când \(x\) se află în afara intervalului cuprins între \(-2\) și \(2\):
\[ x<-2 \quad \text{sau} \quad x>2 \]
Deci:
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x-1|+|x+2|\le 5 \]
Rezultat
\[ S=[-3,2] \]
Rezolvare
În această inecuație apar doi termeni cu valoare absolută. Vom folosi metoda definiției, împărțind dreapta reală în intervalele determinate de zerourile argumentelor modulelor.
Argumentele valorilor absolute sunt:
\[ x-1, \qquad x+2 \]
Determinăm punctele în care acestea se anulează:
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x+2=0 \iff x=-2 \]
Punctele critice sunt deci:
\[ -2, \qquad 1 \]
Acestea împart dreapta reală în trei intervale:
\[ (-\infty,-2), \qquad [-2,1), \qquad [1,+\infty) \]
Cazul 1: \(x<-2\)
Dacă \(x<-2\), atunci:
\[ x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Deci:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
Inecuația devine:
\[ -x+1-x-2\le 5 \]
adică:
\[ -2x-1\le 5 \]
Adunăm \(1\):
\[ -2x\le 6 \]
Împărțim prin \(-2\), amintind că sensul inecuației se inversează:
\[ x\ge -3 \]
Intersectând cu condiția inițială \(x<-2\), obținem:
\[ -3\le x<-2 \]
Cazul 2: \(-2\le x<1\)
Dacă \(-2\le x<1\), atunci:
\[ x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Deci:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
Inecuația devine:
\[ -x+1+x+2\le 5 \]
adică:
\[ 3\le 5 \]
Această inegalitate este întotdeauna adevărată, deci întregul interval considerat este soluție:
\[ -2\le x<1 \]
Cazul 3: \(x\ge 1\)
Dacă \(x\ge 1\), atunci:
\[ x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Deci:
\[ |x-1|=x-1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
Inecuația devine:
\[ x-1+x+2\le 5 \]
adică:
\[ 2x+1\le 5 \]
Scădem \(1\):
\[ 2x\le 4 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x\le 2 \]
Intersectând cu condiția inițială \(x\ge 1\), obținem:
\[ 1\le x\le 2 \]
Reunind soluțiile obținute în cele trei cazuri:
\[ S= [-3,-2) \cup [-2,1) \cup [1,2] \]
Deoarece intervalele sunt consecutive, putem scrie mai simplu:
\[ S=[-3,2] \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |x+1|-|x-3|>2 \]
Rezultat
\[ S=(2,+\infty) \]
Rezolvare
Argumentele valorilor absolute sunt:
\[ x+1, \qquad x-3 \]
Determinăm zerourile:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-3=0 \iff x=3 \]
Punctele critice sunt:
\[ -1, \qquad 3 \]
Acestea împart dreapta reală în trei intervale:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,3), \qquad [3,+\infty) \]
Cazul 1: \(x<-1\)
Dacă \(x<-1\), atunci:
\[ x+1<0, \qquad x-3<0 \]
Deci:
\[ |x+1|=-x-1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
Inecuația devine:
\[ (-x-1)-(-x+3)>2 \]
adică:
\[ -x-1+x-3>2 \]
deci:
\[ -4>2 \]
Această inegalitate este falsă, deci în primul interval nu există soluții.
Cazul 2: \(-1\le x<3\)
Dacă \(-1\le x<3\), atunci:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-3<0 \]
Deci:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
Inecuația devine:
\[ x+1-(-x+3)>2 \]
adică:
\[ x+1+x-3>2 \]
deci:
\[ 2x-2>2 \]
Adunăm \(2\):
\[ 2x>4 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x>2 \]
Intersectând cu intervalul \(-1\le x<3\), obținem:
\[ 2<x<3 \]
Cazul 3: \(x\ge 3\)
Dacă \(x\ge 3\), atunci:
\[ x+1>0, \qquad x-3\ge 0 \]
Deci:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=x-3 \]
Inecuația devine:
\[ x+1-(x-3)>2 \]
adică:
\[ 4>2 \]
Această inegalitate este întotdeauna adevărată, deci întregul interval considerat este soluție:
\[ x\ge 3 \]
Reunind rezultatele:
\[ S=(2,3)\cup[3,+\infty) \]
deci:
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se rezolve inecuația:
\[ |2x-1|+|x+2|<6 \]
Rezultat
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Rezolvare
Argumentele celor două valori absolute sunt:
\[ 2x-1, \qquad x+2 \]
Determinăm zerourile:
\[ 2x-1=0 \iff x=\frac{1}{2}, \qquad x+2=0 \iff x=-2 \]
Punctele critice, ordonate pe dreapta reală, sunt:
\[ -2, \qquad \frac{1}{2} \]
Studiem deci cele trei intervale:
\[ (-\infty,-2), \qquad \left[-2,\frac{1}{2}\right), \qquad \left[\frac{1}{2},+\infty\right) \]
Cazul 1: \(x<-2\)
Dacă \(x<-2\), atunci:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Deci:
\[ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1, \qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
Inecuația devine:
\[ -2x+1-x-2<6 \]
adică:
\[ -3x-1<6 \]
Adunăm \(1\):
\[ -3x<7 \]
Împărțim prin \(-3\), inversând sensul:
\[ x>-\frac{7}{3} \]
Intersectând cu \(x<-2\), obținem:
\[ -\frac{7}{3}<x<-2 \]
Cazul 2: \(-2\le x<\dfrac{1}{2}\)
Dacă \(-2\le x<\dfrac{1}{2}\), atunci:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Deci:
\[ |2x-1|=-2x+1, \qquad |x+2|=x+2 \]
Inecuația devine:
\[ -2x+1+x+2<6 \]
adică:
\[ -x+3<6 \]
Scădem \(3\):
\[ -x<3 \]
Înmulțim cu \(-1\), inversând sensul:
\[ x>-3 \]
Intersectând cu \(-2\le x<\dfrac{1}{2}\), întreg intervalul este soluție:
\[ -2\le x<\frac{1}{2} \]
Cazul 3: \(x\ge \dfrac{1}{2}\)
Dacă \(x\ge \dfrac{1}{2}\), atunci:
\[ 2x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Deci:
\[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \]
Inecuația devine:
\[ 2x-1+x+2<6 \]
adică:
\[ 3x+1<6 \]
Scădem \(1\):
\[ 3x<5 \]
Împărțim prin \(3\):
\[ x<\frac{5}{3} \]
Intersectând cu \(x\ge \dfrac{1}{2}\), obținem:
\[ \frac{1}{2}\le x<\frac{5}{3} \]
Reunind soluțiile parțiale:
\[ S= \left(-\frac{7}{3},-2\right) \cup \left[-2,\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right) \]
Deoarece intervalele sunt consecutive, obținem:
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se rezolve inecuația:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Rezultat
\[ S=[-4,0] \]
Rezolvare
Ambii membri ai inecuației sunt nenegativi. Putem deci ridica la pătrat ambii membri fără a modifica mulțimea soluțiilor.
Pornim de la:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Ridicând la pătrat:
\[ (x-2)^2\ge \left(2|x+1|\right)^2 \]
Deoarece:
\[ \left(2|x+1|\right)^2=4(x+1)^2 \]
obținem:
\[ (x-2)^2\ge 4(x+1)^2 \]
Dezvoltăm pătratele:
\[ x^2-4x+4\ge 4(x^2+2x+1) \]
adică:
\[ x^2-4x+4\ge 4x^2+8x+4 \]
Aducem totul la al doilea membru, sau echivalent la primul. Scăzând \(x^2-4x+4\) din ambii membri obținem:
\[ 0\ge 3x^2+12x \]
adică:
\[ 3x^2+12x\le 0 \]
Scoatem factor comun \(3x\):
\[ 3x(x+4)\le 0 \]
Deoarece \(3>0\), semnul depinde de produsul:
\[ x(x+4)\le 0 \]
Zerourile sunt:
\[ x=0, \qquad x=-4 \]
Produsul \(x(x+4)\) este mai mic sau egal cu zero între cele două zerouri, capetele incluse:
\[ -4\le x\le 0 \]
Prin urmare:
\[ S=[-4,0] \]