Inecuațiile cu valoare absolută sunt inecuații în care necunoscuta apare în interiorul uneia sau mai multor valori absolute. Pentru a le rezolva corect nu este suficient să aplicăm mecanic anumite reguli: este necesar să înțelegem semnificația valorii absolute și să transformăm fiecare inecuație într-o formă echivalentă fără valoare absolută.
Amintim mai întâi definiția valorii absolute:
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{dacă } x\ge 0,\\ -x, & \text{dacă } x<0. \end{cases} \]
Această definiție arată că valoarea absolută a unui număr real este întotdeauna nenegativă:
\[ |x|\ge 0 \qquad \text{pentru orice } x\in\mathbb{R}. \]
De asemenea:
\[ |x|=0 \iff x=0. \]
Cuprins
- Semnificația geometrică a valorii absolute
- Inecuații de tipul \(|A(x)|<k\)
- Inecuații de tipul \(|A(x)|\le k\)
- Inecuații de tipul \(|A(x)|>k\)
- Inecuații de tipul \(|A(x)|\ge k\)
- Ce se întâmplă când membrul drept este negativ
- Metoda definiției
- Inecuații cu mai multe valori absolute
- Exemple rezolvate
Semnificația geometrică a valorii absolute
Valoarea absolută are o semnificație geometrică fundamentală: reprezintă o distanță pe dreapta reală.
În particular, \(|x|\) reprezintă distanța punctului \(x\) față de origine:
\[ |x|=d(x,0). \]
Mai general, expresia:
\[ |x-a| \]
reprezintă distanța dintre \(x\) și \(a\):
\[ |x-a|=d(x,a). \]
De exemplu, inecuația:
\[ |x-3|<2 \]
înseamnă că distanța dintre \(x\) și \(3\) trebuie să fie mai mică decât \(2\). Prin urmare, \(x\) trebuie să se afle între \(3-2\) și \(3+2\), adică:
\[ 1<x<5 \]
Această interpretare este foarte utilă, deoarece permite înțelegerea imediată a diferenței dintre inecuațiile de tipul „mai mic decât" și cele de tipul „mai mare decât".
Inecuații de tipul \(|A(x)|<k\)
Considerăm o inecuație de forma:
\[ |A(x)|<k \]
Presupunem inițial că:
\[ k>0 \]
A spune că \(|A(x)|<k\) înseamnă că \(A(x)\) trebuie să se afle la o distanță mai mică decât \(k\) față de \(0\). Prin urmare, \(A(x)\) trebuie să fie cuprins între \(-k\) și \(k\):
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
Astfel, o inecuație cu valoare absolută mai mică decât un număr pozitiv se transformă într-o inecuație dublă.
Exemplu. Rezolvăm:
\[ |2x-3|<5 \]
Deoarece membrul drept este pozitiv, putem scrie:
\[ -5<2x-3<5 \]
Adunăm \(3\) la toți membrii:
\[ -2<2x<8 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ -1<x<4 \]
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este:
\[ S=(-1,4) \]
Inecuații de tipul \(|A(x)|\le k\)
Dacă simbolul este \(\le\), raționamentul este același. Pentru \(k>0\), avem:
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k. \]
În acest caz, capetele intervalului sunt incluse, deoarece inecuația admite și situația în care valoarea absolută este exact egală cu \(k\).
Exemplu. Rezolvăm:
\[ |x-4|\le 2. \]
Scriem inecuația echivalentă:
\[ -2\le x-4\le 2. \]
Adunăm \(4\):
\[ 2\le x\le 6. \]
Deci:
\[ S=[2,6]. \]
Inecuații de tipul \(|A(x)|>k\)
Considerăm acum o inecuație de forma:
\[ |A(x)|>k, \]
cu:
\[ k>0. \]
A spune că \(|A(x)|>k\) înseamnă că \(A(x)\) trebuie să se afle la o distanță mai mare decât \(k\) față de \(0\). Prin urmare, \(A(x)\) trebuie să fie mai mic decât \(-k\) sau mai mare decât \(k\):
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{sau} \quad A(x)>k. \]
Spre deosebire de cazul anterior, nu obținem o inecuație dublă, ci reuniunea a două condiții alternative.
Exemplu. Rezolvăm:
\[ |3x+1|>7. \]
Scriem:
\[ 3x+1<-7 \quad \text{sau} \quad 3x+1>7. \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ 3x<-8 \iff x<-\frac{8}{3}. \]
Rezolvăm a doua:
\[ 3x>6 \iff x>2. \]
Prin urmare:
\[ S=\left(-\infty,-\frac{8}{3}\right)\cup(2,+\infty). \]
Inecuații de tipul \(|A(x)|\ge k\)
Dacă simbolul este \(\ge\), pentru \(k>0\) avem:
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{sau} \quad A(x)\ge k. \]
Capetele sunt incluse deoarece valoarea absolută poate fi egală cu \(k\).
Exemplu. Rezolvăm:
\[ |2x+5|\ge 1. \]
Scriem:
\[ 2x+5\le -1 \quad \text{sau} \quad 2x+5\ge 1. \]
Prima inecuație:
\[ 2x\le -6 \iff x\le -3. \]
A doua inecuație:
\[ 2x\ge -4 \iff x\ge -2. \]
Deci:
\[ S=(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty). \]
Ce se întâmplă când membrul drept este negativ
Valoarea absolută este întotdeauna mai mare sau egală cu zero. Prin urmare, atunci când membrul drept este negativ, trebuie să raționăm cu atenție.
Dacă \(k<0\), atunci inecuația:
\[ |A(x)|<k \]
nu are soluții, deoarece un număr nenegativ nu poate fi mai mic decât un număr negativ.
Prin urmare:
\[ |A(x)|<k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
În mod analog:
\[ |A(x)|\le k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
În schimb, dacă \(k<0\), inecuația:
\[ |A(x)|>k \]
este verificată pentru toate valorile pentru care \(A(x)\) este definit, deoarece valoarea absolută este întotdeauna cel puțin \(0\), deci este cu siguranță mai mare decât orice număr negativ.
Prin urmare:
\[ |A(x)|>k, \quad k<0 \implies S=D \]
unde \(D\) este domeniul de definiție al expresiei \(A(x)\).
În mod analog:
\[ |A(x)|\ge k, \quad k<0 \implies S=D \]
Exemple
Inecuația:
\[ |x-1|<-3 \]
nu are soluții:
\[ S=\varnothing \]
În schimb:
\[ |2x+1|>-5 \]
este verificată pentru orice număr real:
\[ S=\mathbb{R} \]
Metoda definiției
Când inecuația conține o singură valoare absolută liniară, este adesea convenabil să folosim regulile prezentate mai sus. Totuși, în prezența unor expresii mai complexe sau a mai multor valori absolute, este mai sigur să recurgem direct la definiție.
Definiția generală este:
\[ |A(x)|= \begin{cases} A(x), & \text{dacă } A(x)\ge 0,\\ -A(x), & \text{dacă } A(x)<0. \end{cases} \]
Aceasta înseamnă că, pentru a elimina valoarea absolută, trebuie să știm unde argumentul modulului este pozitiv și unde este negativ.
De exemplu, considerăm:
\[ |x-2|. \]
Argumentul se anulează pentru:
\[ x-2=0 \iff x=2. \]
Prin urmare:
\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2), & \text{dacă } x<2,\\ x-2, & \text{dacă } x\ge 2. \end{cases} \]
adică:
\[ |x-2|= \begin{cases} -x+2, & \text{dacă } x<2,\\ x-2, & \text{dacă } x\ge 2. \end{cases} \]
Inecuații cu mai multe valori absolute
Când apar mai multe valori absolute, trebuie să identificăm toate punctele în care argumentele modulelor se anulează. Aceste puncte împart dreapta reală în intervale. În fiecare interval, fiecare argument are semn constant, astfel încât fiecare modul poate fi eliminat în mod corect.
Procedeul general este următorul:
- se egalează cu zero argumentele valorilor absolute;
- se ordonează punctele găsite pe dreapta reală;
- se studiază inecuația separat în fiecare interval;
- se elimină fiecare modul folosind semnul argumentului corespunzător;
- se rezolvă inecuația obținută;
- se intersectează rezultatul cu intervalul considerat;
- se reunesc toate soluțiile parțiale.
Această metodă este mai laborioasă, dar este și cea mai generală și reduce la minimum riscul de erori.
Exemple rezolvate
Exemplul 1. Să se rezolve:
\[ |x+3|<4 \]
Deoarece membrul drept este pozitiv, scriem:
\[ -4<x+3<4 \]
Scădem \(3\):
\[ -7<x<1 \]
Deci:
\[ S=(-7,1) \]
Exemplul 2. Să se rezolve:
\[ |2x-1|\ge 5 \]
Membrul drept fiind pozitiv, obținem:
\[ 2x-1\le -5 \quad \text{sau} \quad 2x-1\ge 5 \]
Rezolvăm prima inecuație:
\[ 2x\le -4 \iff x\le -2 \]
Rezolvăm a doua:
\[ 2x\ge 6 \iff x\ge 3 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty) \]
Exemplul 3. Să se rezolve:
\[ |3x+2|\le 1 \]
Scriem:
\[ -1\le 3x+2\le 1 \]
Scădem \(2\):
\[ -3\le 3x\le -1 \]
Împărțim prin \(3\):
\[ -1\le x\le -\frac{1}{3} \]
Deci:
\[ S=\left[-1,-\frac{1}{3}\right] \]
Exemplul 4. Să se rezolve:
\[ |x-5|>2 \]
Scriem:
\[ x-5<-2 \quad \text{sau} \quad x-5>2 \]
Rezolvăm:
\[ x<3 \quad \text{sau} \quad x>7 \]
Deci:
\[ S=(-\infty,3)\cup(7,+\infty) \]
Exemplul 5. Să se rezolve:
\[ |x+1|+|x-2|\le 4 \]
Argumentele valorilor absolute sunt:
\[ x+1, \qquad x-2 \]
Determinăm punctele în care se anulează:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-2=0 \iff x=2 \]
Punctele critice sunt deci:
\[ -1, \qquad 2 \]
Ele împart dreapta reală în trei intervale:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,2), \qquad [2,+\infty) \]
Cazul 1: \(x<-1\)
Dacă \(x<-1\), atunci:
\[ x+1<0, \qquad x-2<0 \]
Prin urmare:
\[ |x+1|=-(x+1)=-x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
Inecuația devine:
\[ -x-1-x+2\le 4 \]
Simplificăm:
\[ -2x+1\le 4 \]
Scădem \(1\):
\[ -2x\le 3 \]
Împărțind prin \(-2\), sensul inecuației se inversează:
\[ x\ge -\frac{3}{2} \]
Intersectăm cu condiția cazului \(x<-1\):
\[ -\frac{3}{2}\le x<-1 \]
Cazul 2: \(-1\le x<2\)
Dacă \(-1\le x<2\), atunci:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-2<0 \]
Prin urmare:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
Inecuația devine:
\[ x+1-x+2\le 4 \]
adică:
\[ 3\le 4 \]
Această inegalitate este întotdeauna adevărată, deci întregul interval considerat face parte din soluție:
\[ -1\le x<2 \]
Cazul 3: \(x\ge 2\)
Dacă \(x\ge 2\), atunci:
\[ x+1>0, \qquad x-2\ge 0 \]
Prin urmare:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=x-2 \]
Inecuația devine:
\[ x+1+x-2\le 4 \]
Simplificăm:
\[ 2x-1\le 4 \]
Adunăm \(1\):
\[ 2x\le 5 \]
Împărțim prin \(2\):
\[ x\le \frac{5}{2} \]
Intersectăm cu condiția cazului \(x\ge 2\):
\[ 2\le x\le \frac{5}{2} \]
Reunind soluțiile celor trei cazuri, obținem:
\[ S= \left[-\frac{3}{2},-1\right) \cup [-1,2) \cup \left[2,\frac{5}{2}\right] \]
Deoarece aceste intervale sunt consecutive, putem scrie mai simplu:
\[ S=\left[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \]
Schemă recapitulativă
Pentru \(k>0\), sunt valabile următoarele echivalențe:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{sau} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{sau} \quad A(x)\ge k \]
Dacă în schimb \(k<0\), trebuie să ne amintim că:
\[ |A(x)|\ge 0 \]
Prin urmare, inecuațiile:
\[ |A(x)|<k \quad \text{și} \quad |A(x)|\le k \]
nu au soluții, în timp ce:
\[ |A(x)|>k \quad \text{și} \quad |A(x)|\ge k \]
sunt adevărate pentru toate valorile din domeniul de definiție al expresiei.
Inecuațiile cu valoare absolută se bazează pe o idee simplă, dar fundamentală: valoarea absolută măsoară o distanță. Din acest motiv, inecuațiile de tipul \(|A(x)|<k\) sau \(|A(x)|\le k\) exprimă o condiție de apropiere față de origine, în timp ce inecuațiile de tipul \(|A(x)|>k\) sau \(|A(x)|\ge k\) exprimă o condiție de îndepărtare.
În cazurile mai simple se aplică direct echivalențele fundamentale. În cazurile mai complexe, în special când apar mai multe module, metoda cea mai sigură constă în utilizarea definiției valorii absolute, împărțind dreapta reală în intervalele determinate de zerourile argumentelor modulelor.