În această culegere propunem 20 de exerciții rezolvate despre inecuații de grad superior, ordonate după dificultate crescătoare. Fiecare exercițiu ilustrează cum se factorizează polinomul, cum se identifică rădăcinile, cum se studiază semnul factorilor și cum se determină corect mulțimea soluțiilor.
Principiul fundamental este întotdeauna același: o inecuație polinomială se rezolvă studiind semnul polinomului. Atunci când polinomul este descompus în factori, semnul global se obține combinând semnul fiecărui factor în parte.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3-x>0 \]
Soluție
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Factorizăm polinomul scoțând factor comun \(x\):
\[ x^3-x=x(x^2-1) \]
Diferența de pătrate \(x^2-1\) se factorizează astfel:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Inecuația devine:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Aceste valori împart dreapta reală în intervalele:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,+\infty) \]
Studiem semnul produsului \(x(x-1)(x+1)\):
| Interval | Semnul produsului |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) |
| \((-1,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația impune ca produsul să fie pozitiv, adică:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Selectăm prin urmare intervalele cu semn pozitiv. Deoarece inecuația este strictă, rădăcinile nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3-4x\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x\):
\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]
Factorizăm diferența de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Obținem:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2 \]
Studiem semnul produsului pe cele patru intervalele determinate de rădăcini.
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Trebuie să selectăm intervalele pe care produsul este negativ sau nul.
Deoarece inecuația conține simbolul \(\leq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3-9x\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x\):
\[ x^3-9x=x(x^2-9) \]
Factorizăm:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Inecuația devine:
\[ x(x-3)(x+3)\geq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ -3,\qquad 0,\qquad 3 \]
Toate sunt rădăcini simple, deci semnul se schimbă la trecerea prin fiecare dintre ele.
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația impune semn pozitiv sau nul.
Includem rădăcinile și selectăm intervalele pozitive:
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3+2x^2-3x<0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x\):
\[ x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3) \]
Factorizăm trinomul:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Prin urmare:
\[ x(x+3)(x-1)<0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-3,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Studiem semnul:
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere ca produsul să fie negativ.
Deoarece simbolul este \(<\), rădăcinile nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-5x^2+4\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Rezolvare detaliată
Inecuația conține doar puteri pare ale lui \(x\). Notăm:
\[ t=x^2 \]
Obținem:
\[ t^2-5t+4\leq 0 \]
Factorizăm trinomul:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-4)\leq 0 \]
Produsul este mai mic sau egal cu zero când:
\[ 1\leq t\leq 4 \]
Deoarece \(t=x^2\), trebuie să rezolvăm:
\[ 1\leq x^2\leq 4 \]
Această inecuație dublă este echivalentă cu:
\[ |x|\geq 1 \qquad \text{și} \qquad |x|\leq 2 \]
Prin urmare:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-1>0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Factorizăm polinomul ca diferență de pătrate:
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) \]
Factorizăm în continuare:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Deci:
\[ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Observăm că:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Prin urmare, semnul produsului depinde exclusiv de:
\[ (x-1)(x+1) \]
Inecuația devine echivalentă cu:
\[ (x-1)(x+1)>0 \]
Produsul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor \(-1\) și \(1\):
\[ x<-1 \qquad \text{sau} \qquad x>1 \]
Deoarece inecuația este strictă, rădăcinile nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Rezolvare detaliată
Polinomul este deja scris ca produs de factori:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=2 \qquad \text{și} \qquad x=-1 \]
Rădăcina \(x=2\) are multiplicitatea \(2\), deci nu produce schimbare de semn.
Factorul \((x-2)^2\) este întotdeauna nenegativ și se anulează doar în \(x=2\).
Pentru \(x\neq 2\), el este pozitiv, deci semnul produsului depinde exclusiv de factorul:
\[ x+1 \]
Avem:
\[ x+1<0 \iff x<-1 \]
Deoarece inecuația este strictă, rădăcinile nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Inecuația este:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-2 \qquad \text{și} \qquad x=3 \]
Factorul \((x+2)^2\) este un pătrat, deci:
\[ (x+2)^2\geq 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
El se anulează doar în \(x=-2\), iar pentru orice \(x\neq -2\) este strict pozitiv.
Astfel, pentru \(x\neq -2\), semnul produsului depinde de factorul:
\[ x-3 \]
Avem:
\[ x-3\geq 0 \iff x\geq 3 \]
De asemenea, produsul se anulează și în \(x=-2\). Deoarece inecuația conține simbolul \(\geq\), includem și această valoare.
Soluția este:
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-6x^2+8>0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Inecuația conține doar puteri pare ale lui \(x\). Notăm:
\[ t=x^2 \]
Obținem:
\[ t^2-6t+8>0 \]
Factorizăm trinomul:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-2)(t-4)>0 \]
Produsul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor \(2\) și \(4\), deci:
\[ t<2 \qquad \text{sau} \qquad t>4 \]
Deoarece \(t=x^2\), trebuie să rezolvăm:
\[ x^2<2 \qquad \text{sau} \qquad x^2>4 \]
Prima inecuație dă:
\[ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \]
A doua inecuație dă:
\[ x<-2 \qquad \text{sau} \qquad x>2 \]
Reunind rezultatele, obținem:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-10x^2+9\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Notăm:
\[ t=x^2 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-10t+9\geq 0 \]
Factorizăm trinomul:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-9)\geq 0 \]
Produsul este nenegativ când:
\[ t\leq 1 \qquad \text{sau} \qquad t\geq 9 \]
Deoarece \(t=x^2\), obținem:
\[ x^2\leq 1 \qquad \text{sau} \qquad x^2\geq 9 \]
Rezolvăm:
\[ x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1 \]
și:
\[ x^2\geq 9 \iff x\leq -3 \quad \text{sau} \quad x\geq 3 \]
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3-3x^2-4x+12\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Factorizăm prin grupare:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Scoatem factorul comun \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorizăm diferența de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Inecuația devine:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)\geq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-2,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Studiem semnul produsului.
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere semn pozitiv sau nul. Deoarece simbolul este \(\geq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^3+3x^2-4\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,1] \]
Rezolvare detaliată
Căutăm o rădăcină întreagă a polinomului:
\[ P(x)=x^3+3x^2-4 \]
Verificăm \(x=1\):
\[ P(1)=1+3-4=0 \]
Deci \(x=1\) este rădăcină și \(x-1\) este factor al polinomului.
Împărțind \(x^3+3x^2+0x-4\) la \(x-1\), obținem:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4) \]
Trinomul se factorizează ca pătrat perfect:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Deci:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 \]
Inecuația devine:
\[ (x-1)(x+2)^2\leq 0 \]
Factorul \((x+2)^2\) este întotdeauna nenegativ și se anulează doar în \(x=-2\).
Pentru \(x\neq -2\), semnul produsului depinde de factorul \(x-1\).
Avem:
\[ x-1\leq 0 \iff x\leq 1 \]
Trebuie să procedăm cu atenție: pentru \(x<1\), factorul \(x-1\) este negativ, iar \((x+2)^2\) este pozitiv — cu excepția punctului \(x=-2\), unde produsul este nul.
De asemenea, pentru \(x=1\) produsul este nul.
Prin urmare, inecuația este satisfăcută pentru toate valorile \(x\leq 1\).
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x\):
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2) \]
Factorizăm cubul prin grupare:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-1\cdot(x-2) \]
Scoatem factorul comun \(x-2\):
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1) \]
Factorizăm:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Deci:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x-2)(x-1)(x+1) \]
Inecuația devine:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ -1,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Studiem semnul produsului.
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(+\) |
| \((-1,0)\) | \(-\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Atenție: semnele din tabel trebuie verificate cu o valoare de probă. De exemplu, pentru \(x=3\) toți factorii sunt pozitivi, deci semnul pe ultimul interval este pozitiv. Deoarece toate rădăcinile sunt simple, semnul se schimbă la trecerea prin fiecare dintre ele.
Inecuația cere:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Selectăm intervalele cu semn pozitiv sau nul.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2<0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x^2\):
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^3-x^2-4x+4) \]
Factorizăm polinomul dintre paranteze prin grupare:
\[ x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1) \]
Scoatem factorul comun \(x-1\):
\[ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4) \]
Factorizăm diferența de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Deci:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-2)(x+2) \]
Inecuația devine:
\[ x^2(x-1)(x-2)(x+2)<0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ -2,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Valoarea \(x=0\) are multiplicitatea \(2\), deci semnul nu se schimbă la trecerea prin \(0\).
Celelalte rădăcini au multiplicitate impară, deci semnul se schimbă la trecerea prin fiecare dintre ele.
Studiem semnul produsului. Deoarece \(x=0\) are multiplicitate pară, semnul nu se schimbă în acest punct. La trecerea prin rădăcinile simple \(-2\), \(1\) și \(2\), semnul se schimbă.
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere semn negativ. Deoarece simbolul este \(<\), rădăcinile nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,1] \]
Rezolvare detaliată
Inecuația este deja scrisă ca produs de factori:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=1,\qquad x=-2 \]
Rădăcina \(x=1\) are multiplicitatea \(3\), deci este de multiplicitate impară și semnul se schimbă la trecerea prin ea.
Rădăcina \(x=-2\) are multiplicitatea \(2\), deci este de multiplicitate pară și semnul nu se schimbă la trecerea prin ea.
Observăm că:
\[ (x+2)^2\geq 0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb{R}\). Pentru \(x\neq -2\), acest factor este strict pozitiv. Prin urmare, în afara rădăcinii \(x=-2\), semnul produsului depinde de factorul:
\[ (x-1)^3 \]
Deoarece o putere cu exponent impar păstrează semnul bazei, avem:
\[ (x-1)^3<0 \iff x<1 \]
De asemenea, produsul se anulează în \(x=-2\) și în \(x=1\). Deoarece inecuația conține simbolul \(\leq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^6-7x^3+6>0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Polinomul conține puterile \(x^6\) și \(x^3\). Notăm:
\[ t=x^3 \]
Atunci:
\[ x^6=(x^3)^2=t^2 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-7t+6>0 \]
Factorizăm trinomul:
\[ t^2-7t+6=(t-1)(t-6) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-6)>0 \]
Produsul este pozitiv când cei doi factori au același semn, adică:
\[ t<1 \qquad \text{sau} \qquad t>6 \]
Revenind la variabila \(x\), obținem:
\[ x^3<1 \qquad \text{sau} \qquad x^3>6 \]
Deoarece funcția \(x\mapsto x^3\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\), putem extrage rădăcina cubică fără a schimba sensul inecuațiilor:
\[ x<1 \qquad \text{sau} \qquad x>\sqrt[3]{6} \]
Deoarece inecuația este strictă, extremele nu se includ.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-16x^2<0 \]
Soluție
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x^2\):
\[ x^4-16x^2=x^2(x^2-16) \]
Factorizăm diferența de pătrate:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
Inecuația devine:
\[ x^2(x-4)(x+4)<0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-4,\qquad x=0,\qquad x=4 \]
Valoarea \(x=0\) este rădăcină de multiplicitate \(2\), provenind din factorul \(x^2\), deci semnul nu se schimbă în acest punct.
Mai mult:
\[ x^2\geq 0 \]
pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), și este strict pozitiv pentru \(x\neq 0\). În afara lui \(x=0\), semnul produsului depinde deci de:
\[ (x-4)(x+4) \]
Produsul \((x-4)(x+4)\) este negativ între cele două rădăcini:
\[ -4<x<4 \]
Trebuie însă să excludem \(x=0\), deoarece în acel punct produsul inițial este nul, iar inecuația cere valoare strict negativă.
Soluția este:
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați inecuația:
\[ (x^2-3x+2)(x^2+2x+5)\geq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Rezolvare detaliată
Studiem separat cei doi factori:
\[ x^2-3x+2 \qquad \text{și} \qquad x^2+2x+5 \]
Primul trinom se factorizează ușor:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Analizăm acum al doilea trinom:
\[ x^2+2x+5 \]
Calculăm discriminantul:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16 \]
Discriminantul este negativ și coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv. Prin urmare:
\[ x^2+2x+5>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Inecuația devine deci echivalentă cu:
\[ (x-1)(x-2)\geq 0 \]
Produsul a doi factori liniari este nenegativ în exteriorul rădăcinilor:
\[ x\leq 1 \qquad \text{sau} \qquad x\geq 2 \]
Deoarece simbolul este \(\geq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvați inecuația:
\[ x^5-5x^4+6x^3\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x^3\):
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x^2-5x+6) \]
Factorizăm trinomul:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Deci:
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x-2)(x-3) \]
Inecuația devine:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Rădăcina \(x=0\) are multiplicitatea \(3\), deci este de multiplicitate impară și semnul se schimbă la trecerea prin ea.
Și \(x=2\) și \(x=3\) sunt rădăcini simple, deci semnul se schimbă la trecerea prin fiecare.
Studiem semnul pe fiecare interval:
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Selectăm intervalele pe care produsul este negativ sau nul.
Deoarece simbolul este \(\leq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați inecuația:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x\leq 0 \]
Soluție
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]
Rezolvare detaliată
Scoatem factor comun \(x\):
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x^3-3x^2-4x+12) \]
Factorizăm polinomul cubic prin grupare:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Scoatem factorul comun \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorizăm diferența de pătrate:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Deci:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x-3)(x-2)(x+2) \]
Inecuația devine:
\[ x(x-3)(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Rădăcinile sunt:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Toate rădăcinile sunt simple, deci semnul se schimbă la trecerea prin fiecare dintre ele.
Studiem semnul produsului:
| Interval | Semn |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(+\) |
| \((-2,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
Inecuația cere semn negativ sau nul.
Deoarece simbolul este \(\leq\), includem și rădăcinile.
Soluția este:
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]