Exerciții rezolvate de inecuații de gradul al doilea: învață să determini rădăcinile ecuației asociate, să studiezi semnul parabolei și să scrii corect mulțimea soluțiilor. O culegere progresivă cu rezolvare pas cu pas, cazuri particulare și sisteme de inecuații de gradul al doilea.
Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Rezultat
\[ x < -2 \quad \text{sau} \quad x > 2 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x_1=-2,\quad x_2=2 \]
Studiul semnului
Coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv: parabola este orientată în sus, deci polinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor.
\[ x^2-4 > 0 \iff x < -2 \;\text{ sau }\; x > 2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < -2 \quad \text{sau} \quad x > 2} \]
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 9 \leq 0 \]
Rezultat
\[ -3 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \implies x_1=-3,\quad x_2=3 \]
Studiul semnului
Parabola este orientată în sus: polinomul este negativ sau nul între rădăcini.
\[ x^2-9 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-3,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 3} \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 > 0 \]
Rezultat
\[ x < 2 \quad \text{sau} \quad x > 3 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
Produsul rădăcinilor este \(6\), iar suma lor este \(5\): obținem \(x_1=2\) și \(x_2=3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Studiul semnului
Parabola este orientată în sus: polinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor.
\[ x^2-5x+6 > 0 \iff x < 2 \;\text{ sau }\; x > 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < 2 \quad \text{sau} \quad x > 3} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Rezultat
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=3 \]
Studiul semnului
Parabola este orientată în sus: polinomul este negativ sau nul între rădăcini. Față de exercițiul precedent, se schimbă doar sensul inegalității.
\[ x^2-5x+6 \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [2,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 > 0 \]
Rezultat
\[ x < 3 \quad \text{sau} \quad x > 4 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
Produsul rădăcinilor este \(12\), iar suma lor este \(7\): obținem \(x_1=3\) și \(x_2=4\).
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Studiul semnului
\[ x^2-7x+12 > 0 \iff x < 3 \;\text{ sau }\; x > 4 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,3)\cup(4,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < 3 \quad \text{sau} \quad x > 4} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \leq 0 \]
Rezultat
\[ -3 \leq x \leq 2 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
Produsul rădăcinilor este \(-6\), suma lor este \(1\): obținem \(x_1=-3\) și \(x_2=2\).
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0 \]
Studiul semnului
Parabola este orientată în sus: polinomul este negativ sau nul între rădăcini.
\[ x^2+x-6 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-3,\,2] \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 2} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Rezultat
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(adevărată pentru orice număr real)} \]
Rezolvare
Recunoașterea pătratului perfect
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analiză
Pătratul oricărui număr real este întotdeauna nenegativ: \((x-1)^2 \geq 0\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). Inecuația este satisfăcută de toți reali.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \mathbb{R} \]
Rezultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 < 0 \]
Rezultat
Nicio soluție
Rezolvare
Recunoașterea pătratului perfect
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analiză
Pătratul oricărui număr real este întotdeauna \(\geq 0\): nu poate fi niciodată strict negativ. Inecuația este imposibilă.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \emptyset \]
Rezultat
\[ \boxed{\text{Nicio soluție}} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 5 > 0 \]
Rezultat
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(adevărată pentru orice număr real)} \]
Rezolvare
Calculul discriminantului
\[ \Delta = 4 - 20 = -16 \]
Analiză
Deoarece \(\Delta < 0\), polinomul nu are rădăcini reale. Coeficientul lui \(x^2\) fiind pozitiv, parabola se află în întregime deasupra axei \(Ox\): polinomul este pozitiv pentru orice valoare reală.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \mathbb{R} \]
Rezultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 4x + 5 \leq 0 \]
Rezultat
Nicio soluție
Rezolvare
Calculul discriminantului
\[ \Delta = 16 - 20 = -4 \]
Analiză
Deoarece \(\Delta < 0\) și coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv, parabola se află mereu deasupra axei \(Ox\): polinomul nu este niciodată \(\leq 0\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \emptyset \]
Rezultat
\[ \boxed{\text{Nicio soluție}} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 > 2x + 3 \]
Rezultat
\[ x < -1 \quad \text{sau} \quad x > 3 \]
Rezolvare
Rescrierea în formă standard
\[ x^2-2x-3 > 0 \]
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \implies x_1=-1,\quad x_2=3 \]
Studiul semnului
Parabola este orientată în sus: polinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor.
\[ x < -1 \;\text{ sau }\; x > 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,-1)\cup(3,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < -1 \quad \text{sau} \quad x > 3} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ 3x^2 - x - 2 \leq 0 \]
Rezultat
\[ -\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ \Delta = 1+24=25 \implies x = \frac{1\pm5}{6} \implies x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1 \]
Factorizare
\[ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \]
Verificare: \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\) ✓
Studiul semnului
Coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv: polinomul este negativ sau nul între rădăcini.
\[ -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left[-\frac{2}{3},\,1\right] \]
Rezultat
\[ \boxed{-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \]
Rezultat
\[ 1 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Schimbarea semnului
Înmulțim inecuația cu \(-1\): coeficientul lui \(x^2\) devine pozitiv, iar sensul inegalității se inversează.
\[ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \]
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1,\quad x_2=3 \]
Studiul semnului
Polinomul este negativ sau nul între rădăcini: \(1 \leq x \leq 3\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [1,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{1 \leq x \leq 3} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ 2x^2 + 5x - 3 < 0 \]
Rezultat
\[ -3 < x < \dfrac{1}{2} \]
Rezolvare
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ \Delta = 25+24=49 \implies x = \frac{-5\pm7}{4} \implies x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{2} \]
Factorizare
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]
Studiul semnului
Coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv: polinomul este strict negativ între rădăcini.
\[ -3 < x < \frac{1}{2} \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left(-3,\,\frac{1}{2}\right) \]
Rezultat
\[ \boxed{-3 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 6x + 9 > 0 \]
Rezultat
\[ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\} \]
Rezolvare
Recunoașterea pătratului perfect
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Analiză
\(\Delta=0\): rădăcină dublă în \(x=3\). Parabola este mereu \(\geq 0\) și se anulează numai în \(x=3\). Pentru inecuația strictă, excludem punctul de tangență.
\[ (x-3)^2 > 0 \iff x \neq 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,\,3)\cup(3,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ x(x-4) \geq 5 \]
Rezultat
\[ x \leq -1 \quad \text{sau} \quad x \geq 5 \]
Rezolvare
Rescrierea în formă standard
\[ x^2-4x-5 \geq 0 \]
Ecuația asociată și rădăcinile
\[ \Delta = 16+20=36 \implies x = \frac{4\pm6}{2} \implies x_1=-1,\quad x_2=5 \]
Factorizare
\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5) \]
Studiul semnului
Polinomul este pozitiv sau nul în exteriorul rădăcinilor: \(x \leq -1\) sau \(x \geq 5\).
Verificare
\(x=5\): \(5\cdot1=5\geq5\) \(x=-1\): \((-1)(-5)=5\geq5\)
Rezultat
\[ \boxed{x \leq -1 \quad \text{sau} \quad x \geq 5} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2-5x+4 < 0 \\ x^2-4 > 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 2 < x < 4 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4 \]
A doua inecuație
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \;\text{ sau }\; x > 2 \]
Intersecția
Intersectăm \((1,\,4)\) cu \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\):
\[ (1 < x < 4)\;\cap\;(x > 2) \;=\; 2 < x < 4 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (2,\,4) \]
Rezultat
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ (x^2-4x+3)(x^2-x-2) \leq 0 \]
Rezultat
\[ -1 \leq x \leq 1 \quad \text{sau} \quad 2 \leq x \leq 3 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \qquad x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Rădăcinile produsului sunt \(x=-1,\,1,\,2,\,3\).
Tabelul semnelor expresiei \((x-1)(x-3)(x-2)(x+1)\)
\(x < -1\): patru factori negativi \(\to\) produsul este \(> 0\)
\(-1 < x < 1\): trei factori negativi \(\to\) produsul este \(< 0\)
\(1 < x < 2\): doi factori negativi \(\to\) produsul este \(> 0\)
\(2 < x < 3\): un factor negativ \(\to\) produsul este \(< 0\)
\(x > 3\): niciun factor negativ \(\to\) produsul este \(> 0\)
Soluția inecuației \(\leq 0\)
Produsul este negativ sau nul pe intervalele cu semn \(-\) și în punctele de anulare.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-1,\,1]\cup[2,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 \leq x \leq 1 \quad \text{sau} \quad 2 \leq x \leq 3} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x^2-5x+2 > 0 \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -1 < x < \dfrac{1}{2} \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ \Delta=9 \implies x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=2 \qquad (2x-1)(x-2) > 0 \implies x < \frac{1}{2} \;\text{ sau }\; x > 2 \]
A doua inecuație
\[ (x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2 \]
Intersecția
\[ \left(x < \tfrac{1}{2} \;\text{ sau }\; x > 2\right)\cap\left(-1 < x < 2\right) = -1 < x < \frac{1}{2} \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left(-1,\,\tfrac{1}{2}\right) \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ x(x-2) > x-2 \]
Rezultat
\[ x < 1 \quad \text{sau} \quad x > 2 \]
Rezolvare
Rescrierea în formă standard
\[ x(x-2)-(x-2) > 0 \]
Scoaterea factorului comun \((x-2)\)
\[ (x-2)(x-1) > 0 \]
Rădăcinile și studiul semnului
Rădăcinile sunt \(x=1\) și \(x=2\). Parabola este orientată în sus: polinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor.
\[ x < 1 \;\text{ sau }\; x > 2 \]
Verificare
\(x=0\): \(0 > -2\) \(x=3\): \(3 > 1\) \(x=1{,}5\): \(-0{,}75 > -0{,}5\) — fals, nu este soluție
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x < 1 \quad \text{sau} \quad x > 2} \]