Inecuații de gradul întâi: Exerciții rezolvate și reguli de bază. Ghid practic pentru rezolvarea inecuațiilor liniare pas cu pas. Descoperă cum să gestionezi schimbarea sensului inegalității, să aplici principiile de echivalență și să scrii corect soluțiile sub formă de interval.
Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ 2x + 3 > 7 \]
Rezultat
\[ x > 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se izolează \(x\) în primul membru aplicând aceleași operații ca la o ecuație. Deoarece împărțim la un număr pozitiv, sensul inegalității nu se schimbă.
Izolarea necunoscutei
Se scade \(3\) din ambii membri:
\[ 2x > 7-3 \implies 2x > 4 \]
Se împarte cu \(2\) (pozitiv, sensul rămâne neschimbat):
\[ x > 2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > 2} \]
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ 3x - 5 \leq 4 \]
Rezultat
\[ x \leq 3 \]
Rezolvare
Izolarea necunoscutei
Se adaugă \(5\) la ambii membri:
\[ 3x \leq 9 \]
Se împarte cu \(3\) (pozitiv, sensul rămâne neschimbat):
\[ x \leq 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,3] \]
Rezultat
\[ \boxed{x \leq 3} \]
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ -2x + 1 < 5 \]
Rezultat
\[ x > -2 \]
Rezolvare
Atenție la semn
Când împărțim sau înmulțim cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.
Izolarea necunoscutei
Se scade \(1\) din ambii membri:
\[ -2x < 4 \]
Se împarte cu \(-2\) (negativ): sensul se inversează din \(<\) în \(>\):
\[ x > -2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > -2} \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ 4x - 8 \geq 0 \]
Rezultat
\[ x \geq 2 \]
Rezolvare
Izolarea necunoscutei
Se adaugă \(8\) la ambii membri:
\[ 4x \geq 8 \]
Se împarte cu \(4\) (pozitiv, sensul rămâne neschimbat):
\[ x \geq 2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [2,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x \geq 2} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ 3x + 2 > x + 8 \]
Rezultat
\[ x > 3 \]
Rezolvare
Gruparea termenilor cu \(x\)
Se trec termenii cu \(x\) în primul membru și termenii liberi în al doilea:
\[ 3x-x > 8-2 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (3,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > 3} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ 5x - 3 \leq 2x + 9 \]
Rezultat
\[ x \leq 4 \]
Rezolvare
Gruparea termenilor
\[ 5x-2x \leq 9+3 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,4] \]
Rezultat
\[ \boxed{x \leq 4} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ 2(x + 1) < 3(x - 1) \]
Rezultat
\[ x > 5 \]
Rezolvare
Desfacerea parantezelor
\[ 2x+2 < 3x-3 \]
Gruparea termenilor
\[ 2x+2 < 3x-3 \implies 2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5 \]
Mai precis: \(2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5\) (sensul se inversează la împărțirea cu \(-1\)).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (5,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > 5} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{3} \]
Rezultat
\[ x > -6 \]
Rezolvare
Eliminarea fracțiilor
C.m.m.m.c. al lui \(2\) și \(3\) este \(6\). Se înmulțește totul cu \(6\) (pozitiv, sensul rămâne neschimbat):
\[ 3x + 6 > 2x \]
Gruparea termenilor
\[ 3x-2x > -6 \implies x > -6 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-6,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > -6} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x + 3}{4} \]
Rezultat
\[ x \leq 5 \]
Rezolvare
Eliminarea fracțiilor
C.m.m.m.c. al lui \(2\) și \(4\) este \(4\). Se înmulțește totul cu \(4\):
\[ 2(x-1) \leq x+3 \implies 2x-2 \leq x+3 \]
Gruparea termenilor
\[ 2x-x \leq 3+2 \implies x \leq 5 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-\infty,\,5] \]
Rezultat
\[ \boxed{x \leq 5} \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ 3(2x - 1) \geq 2(x + 5) \]
Rezultat
\[ x \geq \dfrac{13}{4} \]
Rezolvare
Desfacerea parantezelor
\[ 6x-3 \geq 2x+10 \]
Gruparea termenilor
\[ 6x-2x \geq 10+3 \implies 4x \geq 13 \implies x \geq \frac{13}{4} \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left[\frac{13}{4},\,+\infty\right) \]
Rezultat
\[ \boxed{x \geq \dfrac{13}{4}} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < 5 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -1 < x < 4 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Se rezolvă fiecare inecuație separat, apoi se determină intersecția mulțimilor soluțiilor.
Prima inecuație
\[ x+1>0 \implies x>-1 \]
A doua inecuație
\[ 2x-3<5 \implies 2x<8 \implies x<4 \]
Intersecția
\[ x>-1 \;\text{ și }\; x<4 \implies -1<x<4 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-1,\,4) \]
Rezultat
\[ \boxed{-1 < x < 4} \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 1 \\ x + 5 > 2x \end{cases} \]
Rezultat
\[ 1 \leq x < 5 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ 3x-2\geq1 \implies 3x\geq3 \implies x\geq1 \]
A doua inecuație
\[ x+5>2x \implies 5>x \implies x<5 \]
Intersecția
\[ x\geq1 \;\text{ și }\; x<5 \implies 1\leq x<5 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [1,\,5) \]
Rezultat
\[ \boxed{1 \leq x < 5} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ -1 < 2x + 3 < 7 \]
Rezultat
\[ -2 < x < 2 \]
Rezolvare
Idee de rezolvare
Este vorba de o inecuație dublă. Se aplică aceleași operații tuturor celor trei membri în același timp.
Scăderea lui \(3\) din toți membrii
\[ -1-3 < 2x+3-3 < 7-3 \implies -4 < 2x < 4 \]
Împărțirea tuturor membrilor cu \(2\)
Împărțitorul este pozitiv, deci sensurile rămân neschimbate:
\[ -2 < x < 2 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-2,\,2) \]
Rezultat
\[ \boxed{-2 < x < 2} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x + 2 < 14 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 2 < x < 4 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ 2x-1>3 \implies 2x>4 \implies x>2 \]
A doua inecuație
\[ 3x+2<14 \implies 3x<12 \implies x<4 \]
Intersecția
\[ x>2 \;\text{ și }\; x<4 \implies 2<x<4 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (2,\,4) \]
Rezultat
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - 1 \geq 0 \\[6pt] \dfrac{x + 3}{3} < 2 \end{cases} \]
Rezultat
\[ 2 \leq x < 3 \]
Rezolvare
Prima inecuație
\[ \frac{x}{2}\geq1 \implies x\geq2 \]
A doua inecuație
Se înmulțește cu \(3\) (pozitiv):
\[ x+3<6 \implies x<3 \]
Intersecția
\[ x\geq2 \;\text{ și }\; x<3 \implies 2\leq x<3 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [2,\,3) \]
Rezultat
\[ \boxed{2 \leq x < 3} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases} \]
Rezultat
Nicio soluție
Rezolvare
Prima inecuație
\[ x>5 \implies S_1=(5,\,+\infty) \]
A doua inecuație
\[ x<3 \implies S_2=(-\infty,\,3) \]
Intersecția
\[ S_1 \cap S_2 = (5,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = \emptyset \]
Nu există niciun număr real care să fie în același timp mai mare decât \(5\) și mai mic decât \(3\).
Rezultat
\[ \boxed{\text{Nicio soluție} \quad S = \emptyset} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ \frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} > \frac{1}{6} \]
Rezultat
\[ x > \dfrac{15}{2} \]
Rezolvare
Eliminarea fracțiilor
C.m.m.m.c. al lui \(4\), \(3\) și \(6\) este \(12\). Se înmulțește totul cu \(12\) (pozitiv):
\[ 3(2x-3) - 4(x+1) > 2 \]
Desfacerea parantezelor
\[ 6x-9-4x-4 > 2 \implies 2x-13 > 2 \implies 2x > 15 \implies x > \frac{15}{2} \]
Verificare pentru \(x=8\)
\[ \frac{13}{4}-\frac{9}{3}=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}>\frac{1}{6} \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left(\frac{15}{2},\,+\infty\right) \]
Rezultat
\[ \boxed{x > \dfrac{15}{2}} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ 3(x - 2) - 2(2x + 1) \geq x - 5 \]
Rezultat
\[ x \leq -\dfrac{3}{2} \]
Rezolvare
Desfacerea parantezelor
\[ 3x-6-4x-2 \geq x-5 \implies -x-8 \geq x-5 \]
Gruparea termenilor
\[ -x-x \geq -5+8 \implies -2x \geq 3 \]
Se împarte cu \(-2\) (negativ): sensul se inversează din \(\geq\) în \(\leq\):
\[ x \leq -\frac{3}{2} \]
Verificare pentru \(x=-2\)
\[ 3(-4)-2(-3)=-12+6=-6 \] și \[ -2-5=-7 \] Deoarece \(-6\geq -7\), valoarea aleasă verifică inecuația.
Mulțimea soluțiilor
\[ S = \left(-\infty,\,-\frac{3}{2}\right] \]
Rezultat
\[ \boxed{x \leq -\dfrac{3}{2}} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x}{3} + 1 \\[8pt] 2x - 3 > x - 7 \end{cases} \]
Rezultat
\[ -4 < x < 9 \]
Rezolvare
Prima inecuație
Se înmulțește cu c.m.m.m.c. \(6\):
\[ 3(x-1)<2x+6 \implies 3x-3<2x+6 \implies x<9 \]
A doua inecuație
\[ 2x-x>-7+3 \implies x>-4 \]
Intersecția
\[ x>-4 \;\text{ și }\; x<9 \implies -4<x<9 \]
Mulțimea soluțiilor
\[ S = (-4,\,9) \]
Rezultat
\[ \boxed{-4 < x < 9} \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - 1 \leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \\[8pt] 2x + 3 \geq \dfrac{x}{2} - 3 \end{cases} \]
Rezultat
\[ x \geq -4 \]
Rezolvare
Prima inecuație
Se înmulțește cu c.m.m.m.c. \(6\):
\[ 2x-6 \leq 3x+1 \implies -x\leq7 \implies x\geq-7 \]
A doua inecuație
Se înmulțește cu \(2\):
\[ 4x+6 \geq x-6 \implies 3x\geq-12 \implies x\geq-4 \]
Intersecția
\[ x\geq-7 \;\text{ și }\; x\geq-4 \]
Condiția mai restrictivă este \(x\geq-4\).
Mulțimea soluțiilor
\[ S = [-4,\,+\infty) \]
Rezultat
\[ \boxed{x \geq -4} \]