O colecție progresivă de 20 de inecuații exponențiale rezolvate, concepută pentru a învăța să folosești corect monotonia acestor funcții, să recunoști când sensul inecuației se păstrează și când, dimpotrivă, se inversează.
În fiecare exercițiu vom aplica cu atenție proprietățile puterilor, reducerea la aceeași bază și, atunci când este necesar, metoda substituției.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ 2^x>8 \]
Rezultat
\[ S=(3,+\infty) \]
Rezolvare
Scriem \(8\) ca putere a lui \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Inecuația devine:
\[ 2^x>2^3 \]
Deoarece \(2>1\), funcția exponențială \(2^x\) este strict crescătoare. Prin urmare, putem compara exponenții păstrând același sens al inecuației:
\[ x>3 \]
Deci:
\[ S=(3,+\infty) \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ 3^{x-1}\le 27 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,4] \]
Rezolvare
Scriem \(27\) ca putere a lui \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Obținem:
\[ 3^{x-1}\le 3^3 \]
Deoarece \(3>1\), funcția exponențială este crescătoare. Sensul inecuației se păstrează:
\[ x-1\le 3 \]
Deci:
\[ x\le 4 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Rezolvați:
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac1{16} \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,4) \]
Rezolvare
Scriem membrul drept ca putere a lui \(\frac12\):
\[ \frac1{16}=\left(\frac12\right)^4 \]
Inecuația devine:
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^4 \]
Deoarece:
\[ 0<\frac12<1 \]
funcția exponențială este strict descrescătoare. Prin urmare, la compararea exponenților, sensul inecuației se inversează:
\[ x<4 \]
Deci:
\[ S=(-\infty,4) \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ 5^{2x+1}\ge 5^{x-3} \]
Rezultat
\[ S=[-4,+\infty) \]
Rezolvare
Ambele puteri au aceeași bază \(5\). Deoarece \(5>1\), funcția exponențială este crescătoare.
Putem deci compara exponenții păstrând același sens al inecuației:
\[ 2x+1\ge x-3 \]
Scăzând \(x\) din ambii membri:
\[ x+1\ge -3 \]
Deci:
\[ x\ge -4 \]
Prin urmare:
\[ S=[-4,+\infty) \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,3] \]
Rezolvare
Baza este \(\frac13\), deci:
\[ 0<\frac13<1 \]
Funcția exponențială este descrescătoare. În consecință, la trecerea de la exponențiale la exponenți, sensul inecuației se inversează.
Din:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
obținem:
\[ x+2\ge 2x-1 \]
Deci:
\[ 3\ge x \]
adică:
\[ x\le 3 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,3] \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ 4^x>2^{3x} \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,0) \]
Rezolvare
Scriem \(4\) ca putere a lui \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Atunci:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
Inecuația devine:
\[ 2^{2x}>2^{3x} \]
Deoarece \(2>1\), funcția exponențială \(2^x\) este strict crescătoare. Putem deci compara exponenții păstrând același sens al inecuației:
\[ 2x>3x \]
Scăzând \(3x\) din ambii membri:
\[ -x>0 \]
Înmulțind cu \(-1\), sensul inecuației se inversează:
\[ x<0 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,0) \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ 9^x\le 3^{x+4} \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,4] \]
Rezolvare
Scriem \(9\) ca putere a lui \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Deci:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} \]
Inecuația devine:
\[ 3^{2x}\le 3^{x+4} \]
Deoarece \(3>1\), comparăm exponenții păstrând sensul inecuației:
\[ 2x\le x+4 \]
Deci:
\[ x\le 4 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,4] \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ 2^{x+2}-2^x>12 \]
Rezultat
\[ S=(2,+\infty) \]
Rezolvare
Rescriem primul termen:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x \]
Inecuația devine:
\[ 4\cdot 2^x-2^x>12 \]
Scoatem factor comun pe \(2^x\):
\[ 2^x(4-1)>12 \]
adică:
\[ 3\cdot 2^x>12 \]
Împărțim prin \(3\), care este pozitiv:
\[ 2^x>4 \]
Deoarece \(4=2^2\), obținem:
\[ 2^x>2^2 \]
Întrucât \(2>1\), funcția exponențială este crescătoare:
\[ x>2 \]
Prin urmare:
\[ S=(2,+\infty) \]
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Rezolvați:
\[ 3^{x+1}+3^x\le 36 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,2] \]
Rezolvare
Rescriem:
\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x \]
Deci:
\[ 3^{x+1}+3^x=3\cdot 3^x+3^x=4\cdot 3^x \]
Inecuația devine:
\[ 4\cdot 3^x\le 36 \]
Împărțim prin \(4\), care este pozitiv:
\[ 3^x\le 9 \]
Deoarece \(9=3^2\), obținem:
\[ 3^x\le 3^2 \]
Întrucât \(3>1\), comparăm exponenții:
\[ x\le 2 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,2] \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4\le 0 \]
Rezultat
\[ S=[0,2] \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=2^x \]
Deoarece \(2^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Mai mult:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Produsul este negativ sau nul între cele două rădăcini:
\[ 1\le t\le 4 \]
Revenind la \(x\):
\[ 1\le 2^x\le 4 \]
Scriem:
\[ 1=2^0,\qquad 4=2^2 \]
Deoarece \(2>1\), obținem:
\[ 0\le x\le 2 \]
Prin urmare:
\[ S=[0,2] \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=3^x \]
Deoarece \(3^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Mai mult:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-4t+3>0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-3)>0 \]
Produsul este pozitiv în afara celor două rădăcini:
\[ t<1 \quad \text{sau} \quad t>3 \]
Ținând cont că \(t>0\), prima condiție devine:
\[ 0
Revenind la \(x\):
\[ 3^x<1 \quad \text{sau} \quad 3^x>3 \]
Scriem:
\[ 1=3^0,\qquad 3=3^1 \]
Deoarece \(3>1\), obținem:
\[ x<0 \quad \text{sau} \quad x>1 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ 4^x-6\cdot 2^x+8\ge 0 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Rezolvare
Observăm că:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
Notăm:
\[ t=2^x \]
cu:
\[ t>0 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-6t+8\ge 0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-2)(t-4)\ge 0 \]
Produsul este pozitiv sau nul în afara celor două rădăcini:
\[ t\le 2 \quad \text{sau} \quad t\ge 4 \]
Revenind la \(x\):
\[ 2^x\le 2 \quad \text{sau} \quad 2^x\ge 4 \]
Deoarece:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
și \(2>1\), obținem:
\[ x\le 1 \quad \text{sau} \quad x\ge 2 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Rezolvați:
\[ \frac{2^x-4}{2^x+1}\ge 0 \]
Rezultat
\[ S=[2,+\infty) \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=2^x \]
Deoarece \(2^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Inecuația devine:
\[ \frac{t-4}{t+1}\ge 0 \]
Deoarece \(t>0\), numitorul este întotdeauna pozitiv:
\[ t+1>0 \]
Prin urmare, semnul fracției depinde exclusiv de numărător:
\[ t-4\ge 0 \]
adică:
\[ t\ge 4 \]
Revenind la \(x\):
\[ 2^x\ge 4 \]
Deoarece \(4=2^2\) și \(2>1\), obținem:
\[ x\ge 2 \]
Prin urmare:
\[ S=[2,+\infty) \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ \frac{3^x-9}{3^x-1}<0 \]
Rezultat
\[ S=(0,2) \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=3^x \]
Deoarece \(3^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Inecuația devine:
\[ \frac{t-9}{t-1}<0 \]
Punctele critice sunt:
\[ t=1,\qquad t=9 \]
Valoarea \(t=1\) anulează numitorul și trebuie exclusă. Valoarea \(t=9\) anulează numărătorul.
Pentru \(t>0\), studiem semnul pe intervalele:
\[ (0,1),\qquad (1,9),\qquad (9,+\infty) \]
Tabelul semnelor este:
\[ \begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & (1,9) & (9,+\infty)\\ \hline t-9 & - & - & +\\ t-1 & - & + & +\\ \hline \dfrac{t-9}{t-1} & + & - & + \end{array} \]
Fracția trebuie să fie negativă, deci:
\[ 1
Revenind la variabila \(x\):
\[ 1<3^x<9 \]
Scriem:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
Deci:
\[ 3^0<3^x<3^2 \]
Deoarece \(3>1\), obținem:
\[ 0
Prin urmare:
\[ S=(0,2) \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ 2^{x+1}+2^{1-x}\le 5 \]
Rezultat
\[ S=[-1,1] \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=2^x \]
Deoarece \(2^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Rescriem cei doi termeni:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]
Mai mult:
\[ 2^{1-x}=2\cdot 2^{-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t} \]
Inecuația devine:
\[ 2t+\frac{2}{t}\le 5 \]
Deoarece \(t>0\), putem înmulți prin \(t\) fără a schimba sensul inecuației:
\[ 2t^2+2\le 5t \]
Aducem totul în membrul stâng:
\[ 2t^2-5t+2\le 0 \]
Factorizăm:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Deci:
\[ (2t-1)(t-2)\le 0 \]
Produsul este negativ sau nul între cele două rădăcini:
\[ \frac12\le t\le 2 \]
Revenind la \(x\):
\[ \frac12\le 2^x\le 2 \]
Scriem:
\[ \frac12=2^{-1},\qquad 2=2^1 \]
Deoarece \(2>1\), obținem:
\[ -1\le x\le 1 \]
Prin urmare:
\[ S=[-1,1] \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ 9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0 \]
Rezultat
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Rezolvare
Observăm că:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2 \]
Notăm:
\[ t=3^x \]
cu:
\[ t>0 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-10t+9\ge 0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-9)\ge 0 \]
Produsul este pozitiv sau nul în afara celor două rădăcini:
\[ t\le 1 \quad \text{sau} \quad t\ge 9 \]
Revenind la \(x\):
\[ 3^x\le 1 \quad \text{sau} \quad 3^x\ge 9 \]
Deoarece:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
și \(3>1\), obținem:
\[ x\le 0 \quad \text{sau} \quad x\ge 2 \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ \left(\frac14\right)^x-5\left(\frac12\right)^x+4\le 0 \]
Rezultat
\[ S=[-2,0] \]
Rezolvare
Exprimăm totul în funcție de \(\left(\frac12\right)^x\).
Deoarece:
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2 \]
avem:
\[ \left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x} \]
Notăm:
\[ t=\left(\frac12\right)^x \]
cu:
\[ t>0 \]
Atunci:
\[ \left(\frac12\right)^{2x}=t^2 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Produsul este negativ sau nul între cele două rădăcini:
\[ 1\le t\le 4 \]
Revenind la \(x\):
\[ 1\le \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Scriem capetele ca puteri ale lui \(\frac12\):
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
Deoarece baza \(\frac12\) este cuprinsă între \(0\) și \(1\), funcția este descrescătoare. Din acest motiv, ordinea exponenților se inversează.
Rezolvăm separat:
\[ \left(\frac12\right)^x\ge 1 \]
și:
\[ \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Deoarece:
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
și funcția exponențială cu baza \(\frac12\) este descrescătoare, obținem:
\[ x\le 0 \]
și:
\[ x\ge -2 \]
Intersectând cele două condiții:
\[ -2\le x\le 0 \]
Prin urmare:
\[ S=[-2,0] \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Rezolvați:
\[ \begin{cases} 2^x>4\\ 3^{x-1}\le 9 \end{cases} \]
Rezultat
\[ S=(2,3] \]
Rezolvare
Rezolvăm separat cele două inecuații.
Prima inecuație:
\[ 2^x>4 \]
Deoarece \(4=2^2\), avem:
\[ 2^x>2^2 \]
Întrucât \(2>1\), obținem:
\[ x>2 \]
A doua inecuație:
\[ 3^{x-1}\le 9 \]
Deoarece \(9=3^2\), obținem:
\[ 3^{x-1}\le 3^2 \]
Întrucât \(3>1\), comparăm exponenții:
\[ x-1\le 2 \]
Deci:
\[ x\le 3 \]
Intersectăm cele două condiții:
\[ x>2 \quad \text{și} \quad x\le 3 \]
Obținem:
\[ 2
Prin urmare:
\[ S=(2,3] \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ \frac{2^{2x}-5\cdot 2^x+4}{2^x-2}\ge 0 \]
Rezultat
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Rezolvare
Notăm:
\[ t=2^x \]
Deoarece \(2^x>0\), avem:
\[ t>0 \]
Mai mult:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
Inecuația devine:
\[ \frac{t^2-5t+4}{t-2}\ge 0 \]
Factorizăm numărătorul:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Deci:
\[ \frac{(t-1)(t-4)}{t-2}\ge 0 \]
Punctele critice sunt:
\[ t=1,\qquad t=2,\qquad t=4 \]
Valoarea \(t=2\) anulează numitorul și trebuie exclusă.
Studiem semnul pentru \(t>0\):
\[ \begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline t-1 & - & + & + & +\\ t-4 & - & - & - & +\\ t-2 & - & - & + & +\\ \hline \dfrac{(t-1)(t-4)}{t-2} & - & + & - & + \end{array} \]
Deoarece dorim ca fracția să fie pozitivă sau nulă, luăm intervalele în care semnul este pozitiv și includem zerourile numărătorului:
\[ 1\le t<2 \quad \text{sau} \quad t\ge 4 \]
Valoarea \(t=2\) rămâne exclusă, deoarece anulează numitorul.
Revenind la \(x\):
\[ 1\le 2^x<2 \quad \text{sau} \quad 2^x\ge 4 \]
Scriem:
\[ 1=2^0,\qquad 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Deoarece \(2>1\), obținem:
\[ 0\le x<1 \quad \text{sau} \quad x\ge 2 \]
Prin urmare:
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Rezolvați:
\[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8<0 \]
Rezultat
\[ S=(1,2) \]
Rezolvare
Exprimăm totul în funcție de \(2^x\).
Deoarece:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
și:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x \]
notăm:
\[ t=2^x \]
cu:
\[ t>0 \]
Inecuația devine:
\[ t^2-6t+8<0 \]
Factorizăm:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Deci:
\[ (t-2)(t-4)<0 \]
Produsul este negativ între cele două rădăcini:
\[ 2
Revenind la \(x\):
\[ 2<2^x<4 \]
Scriem:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Deoarece \(2>1\), obținem:
\[ 1
Prin urmare:
\[ S=(1,2) \]