Inecuațiile exponențiale sunt inecuații în care necunoscuta apare la exponent. Acestea reprezintă una dintre aplicațiile fundamentale ale proprietăților funcțiilor exponențiale și necesită o atenție deosebită acordată studiului monotoniei.
Cea mai simplă formă este:
\[ a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
În aceste cazuri, comportamentul inecuației depinde în întregime de baza \(a\):
- dacă \(a>1\), funcția exponențială este strict crescătoare;
- dacă \(0<a<1\), funcția exponențială este strict descrescătoare.
Prin urmare:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u>v \qquad \text{dacă } a>1, \]
în timp ce:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u<v \qquad \text{dacă } 0<a<1. \]
Acesta este principiul central al întregii teorii a inecuațiilor exponențiale.
Cuprins
- Definiția inecuației exponențiale
- Monotonia funcției exponențiale
- Inecuații elementare cu aceeași bază
- Cazul \(a>1\)
- Cazul \(0<a<1\)
- Reducerea la aceeași bază
- Inecuații reductibile la o singură expresie exponențială
- Metoda substituției
- Inecuații exponențiale fracționare
- Sisteme de inecuații exponențiale
- Exerciții rezolvate
Definiția inecuației exponențiale
O inecuație exponențială este o inecuație în care necunoscuta apare la exponentul cel puțin unei puteri.
Exemple:
\[ 2^x>8, \]
\[ 3^{2x-1}\le 9, \]
\[ \left(\frac12\right)^{x+1}>4. \]
Nu toate inecuațiile exponențiale se rezolvă în același mod. În unele cazuri este suficient să comparăm exponenții; în altele este necesar să efectuăm transformări algebrice, factorizări sau substituții.
Monotonia funcției exponențiale
Considerăm funcția:
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Aceasta este:
- crescătoare dacă \(a>1\);
- descrescătoare dacă \(0<a<1\).
Acest fapt este fundamental deoarece permite trecerea de la inecuația exponențială la o inecuație între exponenți.
Într-adevăr:
\[ a^{u(x)} \gtrless a^{v(x)} \]
este echivalentă cu:
\[ u(x)\gtrless v(x) \]
dacă \(a>1\), în timp ce sensul se inversează dacă \(0<a<1\).
Inecuații elementare cu aceeași bază
Considerăm:
\[ 5^{2x-1}>5^3. \]
Deoarece baza este mai mare decât \(1\), putem compara direct exponenții:
\[ 2x-1>3. \]
Rezolvând:
\[ 2x>4 \]
\[ x>2. \]
Deci:
\[ S=(2,+\infty). \]
Cazul \(a>1\)
Dacă baza este mai mare decât \(1\), funcția exponențială păstrează ordinea:
\[ a^u>a^v \iff u>v. \]
Exemplu:
\[ 3^{x+2}\le 3^{2x-1}. \]
Comparăm exponenții:
\[ x+2\le 2x-1. \]
De unde:
\[ 3\le x. \]
Mulțimea soluțiilor este:
\[ S=[3,+\infty). \]
Cazul \(0<a<1\)
Dacă în schimb:
\[ 0<a<1, \]
funcția este descrescătoare și sensul inecuației se inversează.
De exemplu:
\[ \left(\frac12\right)^{x-1}>\left(\frac12\right)^{2x+3}. \]
Deoarece:
\[ 0<\frac12<1, \]
trebuie să inversăm sensul:
\[ x-1<2x+3. \]
De unde:
\[ -4<x. \]
Prin urmare:
\[ S=(-4,+\infty). \]
Reducerea la aceeași bază
Adesea bazele sunt diferite, dar pot fi reduse la o bază comună.
Considerăm:
\[ 8^x>2^{x+1}. \]
Observăm că:
\[ 8=2^3. \]
Atunci:
\[ (2^3)^x>2^{x+1}. \]
Aplicând proprietatea:
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
obținem:
\[ 2^{3x}>2^{x+1}. \]
Deoarece \(2>1\):
\[ 3x>x+1. \]
Deci:
\[ 2x>1 \]
\[ x>\frac12. \]
Inecuații reductibile la o singură expresie exponențială
Uneori este necesar să transformăm expresia înainte de a putea aplica monotonia.
De exemplu:
\[ 2^{x+1}-2^x>4. \]
Scoatem factor comun pe \(2^x\):
\[ 2^x(2-1)>4. \]
adică:
\[ 2^x>4. \]
Întrucât:
\[ 4=2^2, \]
obținem:
\[ 2^x>2^2. \]
Deci:
\[ x>2. \]
Metoda substituției
Unele inecuații exponențiale capătă o formă polinomială după o substituție adecvată.
Considerăm:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+6>0. \]
Facem substituția:
\[ t=2^x. \]
Deoarece o expresie exponențială este întotdeauna pozitivă:
\[ t>0. \]
De asemenea:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2. \]
Inecuația devine:
\[ t^2-5t+6>0. \]
Descompunem:
\[ (t-2)(t-3)>0. \]
Studiul semnului ne dă:
\[ t<2 \quad \text{sau} \quad t>3. \]
Revenind la substituție:
\[ 2^x<2 \quad \text{sau} \quad 2^x>3. \]
Prima condiție ne dă:
\[ x<1. \]
A doua:
\[ x>\log_2 3. \]
Prin urmare:
\[ S=(-\infty,1)\cup(\log_2 3,+\infty). \]
Inecuații exponențiale fracționare
Pot apărea și expresii raționale care conțin exponențiale.
Exemplu:
\[ \frac{2^x-1}{2^x+3}>0. \]
Notăm:
\[ t=2^x, \qquad t>0. \]
Obținem:
\[ \frac{t-1}{t+3}>0. \]
Deoarece:
\[ t+3>0 \]
pentru orice \(t>0\), este suficient să impunem:
\[ t-1>0. \]
Deci:
\[ t>1. \]
Revenind la necunoscută:
\[ 2^x>1. \]
Deoarece:
\[ 1=2^0, \]
obținem:
\[ x>0. \]
Sisteme de inecuații exponențiale
Inecuațiile exponențiale pot apărea și în cadrul sistemelor de inecuații.
De exemplu:
\[ \begin{cases} 2^x>4 \\ 3^x\le 27 \end{cases} \]
Prima inecuație ne dă:
\[ x>2. \]
A doua:
\[ x\le 3. \]
Intersectând cele două mulțimi de soluții:
\[ S=(2,3]. \]
Exerciții rezolvate
Exemplul 1
Să se rezolve:
\[ 4^x\ge 16. \]
Scriem totul în baza \(2\):
\[ 4=2^2, \qquad 16=2^4. \]
Deci:
\[ 2^{2x}\ge 2^4. \]
Deoarece \(2>1\):
\[ 2x\ge 4. \]
De unde:
\[ x\ge 2. \]
Prin urmare:
\[ S=[2,+\infty). \]
Exemplul 2
Să se rezolve:
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}<27. \]
Scriem totul în baza \(3\):
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}, \qquad 27=3^3. \]
Obținem:
\[ 3^{-2x+1}<3^3. \]
Deoarece baza \(3\) este mai mare decât \(1\):
\[ -2x+1<3. \]
Deci:
\[ -2x<2 \]
\[ x>-1. \]
Prin urmare:
\[ S=(-1,+\infty). \]
Exemplul 3
Să se rezolve:
\[ 3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0. \]
Facem substituția:
\[ t=3^x, \qquad t>0. \]
Obținem:
\[ t^2-10t+9\le 0. \]
Descompunem:
\[ (t-1)(t-9)\le 0. \]
Din studiul semnului:
\[ 1\le t\le 9. \]
Revenind la expresia exponențială:
\[ 1\le 3^x\le 9. \]
adică:
\[ 3^0\le 3^x\le 3^2. \]
Deoarece \(3>1\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Prin urmare:
\[ S=[0,2]. \]
Inecuațiile exponențiale se rezolvă, așadar, valorificând proprietățile fundamentale ale funcției exponențiale: monotonia, compararea bazelor, transformările algebrice și substituțiile. Înțelegerea comportamentului bazei reprezintă elementul esențial pentru a evita greșeli în sensul inecuației și pentru a construi o rezolvare riguroasă și corectă.