Inecuațiile fracționare sunt inecuații în care necunoscuta apare la numitorul unei fracții algebrice. Rezolvarea lor se bazează aproape în întregime pe studiul semnului: nu este suficient să determinăm când o expresie se anulează, ci trebuie să stabilim și în ce intervale numărătorul și numitorul au semne identice sau opuse.
Cuprins
- Ideea fundamentală a studiului semnului
- Condiții de existență
- Puncte critice și împărțirea dreptei reale
- Cum se construiește tabelul semnelor
- Multiplicitatea zerourilor
- Exemplu complet rezolvat
- Greșeli frecvente
Ideea fundamentală a studiului semnului
Considerăm o inecuație de forma:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \]
Semnul fracției depinde simultan de semnul numărătorului și de cel al numitorului.
O fracție este pozitivă atunci când numărătorul și numitorul au același semn; este negativă atunci când au semne opuse.
În formule:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}>0 \]
atunci când:
\[ \begin{cases} P(x)>0 \\ Q(x)>0 \end{cases} \quad \text{sau} \quad \begin{cases} P(x)<0 \\ Q(x)<0 \end{cases} \]
Analog:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}<0 \]
atunci când semnele sunt opuse.
Întreaga teorie a inecuațiilor fracționare pornește tocmai de la această observație.
Condiții de existență
Înainte de a studia semnul fracției, trebuie să stabilim pentru ce valori expresia este definită.
Deoarece o fracție nu poate avea numitorul nul, trebuie să fie întotdeauna îndeplinită condiția:
\[ Q(x)\neq0 \]
Valorile care anulează numitorul se numesc:
- valori inadmisibile;
- puncte de excludere;
- condiții de existență.
Aceste valori nu pot face parte din soluția finală, chiar și atunci când eventualele simplificări par să le elimine.
De exemplu:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
poate fi rescrisă ca:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]
însă:
\[ x=2 \]
rămâne exclusă, deoarece anula numitorul expresiei inițiale.
Puncte critice și împărțirea dreptei reale
Valorile care pot produce o schimbare de semn se numesc puncte critice.
Acestea cuprind:
- zerourile numărătorului;
- zerourile numitorului.
Considerăm, de exemplu:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \]
Punctele critice sunt:
\[ -2,\quad1,\quad3 \]
Aceste valori împart dreapta reală în intervale:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,1),\quad(1,3),\quad(3,+\infty) \]
În interiorul fiecărui interval, semnul factorilor rămâne constant. Un polinom își poate schimba semnul numai trecând printr-unul dintre zerourile sale.
Cum se construiește tabelul semnelor
Tabelul semnelor se construiește direct pe baza factorizării fracției.
Mai întâi se descompun numărătorul și numitorul în factorii ireductibili. Apoi se identifică toate punctele critice și se ordonează pe dreapta reală în ordine crescătoare.
În continuare se studiază semnul fiecărui factor pe intervalele determinate de punctele critice.
Considerăm:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
| Interval | \((-\infty,-2)\) | \((-2,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Fracție | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Odată cunoscut semnul fiecărui factor, comportamentul fracției devine evident: produsul factorilor cu semne identice dă valori pozitive, iar semne opuse produc valori negative.
Deoarece inecuația cere:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
se aleg intervalele în care rândul final al tabelului este pozitiv:
\[ (-2,1)\cup(3,+\infty) \]
Multiplicitatea zerourilor
Atunci când un factor apare ridicat la o putere, comportamentul semnului depinde de multiplicitatea zeroului.
Dacă multiplicitatea este impară, factorul traversează efectiv zeroul și își schimbă semnul.
De exemplu:
\[ (x-1)^3 \]
este negativ pentru:
\[ x<1 \]
și pozitiv pentru:
\[ x>1 \]
O multiplicitate pară, în schimb, nu produce nicio schimbare de semn.
Într-adevăr:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
pentru orice valoare reală a lui \(x\).
Din punct de vedere geometric, un zero de multiplicitate impară traversează axa, în timp ce un zero de multiplicitate pară este tangent la axă.
Exemplu complet rezolvat
Rezolvăm inecuația:
\[ \frac{x^2-4x}{x+2}\geq0 \]
Scopul este să determinăm pentru ce valori ale lui \(x\) fracția este pozitivă sau nulă.
Pentru aceasta trebuie să:
- factorizăm numărătorul;
- stabilim condițiile de existență;
- identificăm punctele critice;
- construim tabelul semnelor.
Factorizare
Numărătorul conține factorul comun \(x\):
\[ x^2-4x=x(x-4) \]
Inecuația devine astfel:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
În această formă, semnul fracției poate fi studiat separat pentru fiecare factor:
\[ x,\qquad x-4,\qquad x+2 \]
Condiții de existență
Numitorul nu se poate anula:
\[ x+2\neq0 \]
deci:
\[ x\neq-2 \]
Această valoare va trebui exclusă din soluția finală, indiferent de semnul fracției.
Puncte critice
Punctele critice sunt valorile care anulează numărătorul sau numitorul.
În cazul de față:
\[ x=0,\qquad x=4,\qquad x=-2 \]
Ordonându-le pe dreapta reală obținem:
\[ -2,\quad0,\quad4 \]
Aceste puncte împart dreapta în următoarele intervale:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,0),\quad(0,4),\quad(4,+\infty) \]
În interiorul fiecărui interval, semnul fiecărui factor rămâne constant.
Studiul semnului
Analizăm acum comportamentul factorilor individuali.
Factorul:
\[ x \]
este negativ pentru \(x<0\) și pozitiv pentru \(x>0\).
Factorul:
\[ x-4 \]
este negativ pentru \(x<4\) și pozitiv pentru \(x>4\).
În fine:
\[ x+2 \]
este negativ pentru \(x<-2\) și pozitiv pentru \(x>-2\).
Sintetizăm totul în tabelul semnelor:
| Interval | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,4)\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Fracție | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Rândul final se obține înmulțind semnele factorilor individuali.
De exemplu, în intervalul:
\[ (-2,0) \]
avem:
\[ (-)\cdot(-)\cdot(+)=+ \]
prin urmare fracția este pozitivă.
În intervalele:
\[ (-\infty,-2) \quad\text{și}\quad (0,4) \]
produsul semnelor este în schimb negativ.
Determinarea soluției
Inecuația cere:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
deci trebuie să selectăm intervalele în care fracția este pozitivă sau nulă.
Din tabel obținem:
\[ (-2,0) \quad\text{și}\quad (4,+\infty) \]
Deoarece semnul inecuației este:
\[ \geq \]
trebuie incluse și zerourile numărătorului:
\[ x=0,\qquad x=4 \]
Valoarea:
\[ x=-2 \]
rămâne exclusă, deoarece anulează numitorul.
Soluția finală este:
\[ (-2,0]\cup[4,+\infty) \]
Greșeli frecvente
Omiterea condițiilor de existență
Aceasta este cea mai frecventă greșeală. Zerourile numitorului trebuie întotdeauna excluse din soluție.
Schimbarea incorectă a sensului inecuației
Nu este permis să înmulțim o inecuație cu o expresie ce conține necunoscuta fără a cunoaște semnul acelei expresii.
Eliminarea valorilor excluse în urma simplificării
Chiar și după simplificarea factorilor comuni, valorile care anulau numitorul inițial rămân interzise.
Omiterea zerourilor numărătorului
În inecuațiile cu:
\[ \geq \quad\text{sau}\quad \leq \]
zerourile numărătorului trebuie incluse atunci când sunt admisibile.
Inecuațiile fracționare ilustrează cu deosebită claritate modul în care comportamentul unei funcții raționale depinde de distribuția zerourilor și a punctelor în care aceasta nu este definită.
Studiul semnului transformă astfel o problemă aparent dificilă într-o analiză ordonată a intervalelor dreptei reale.
O factorizare corectă, împreună cu un tabel al semnelor construit cu rigoare, permite abordarea sistematică, elegantă și sigură chiar și a inecuațiilor fracționare complexe.