Inecuații Logaritmice: Teorie, Metodă de Rezolvare și Exerciții Rezolvate

O inecuație logaritmică este o inecuație în care necunoscuta apare ca argument al cel puțin unui logaritm. Rezolvarea acestui tip de inecuații presupune, pe lângă stăpânirea calculului algebric, gestionarea riguroasă a două elemente distincte: condițiile de existență, care definesc domeniul de definiție al inecuației, și sensul inegalității, care depinde în mod esențial de monotonia funcției logaritmice în raport cu baza sa. O eroare de sens — la fel de frecventă pe cât de gravă — conduce la mulțimi de soluții incorecte chiar și în prezența unor calcule algebrice impecabile.

Cuprins

• Noțiuni despre Funcția Logaritmică și Monotonie
• Domeniul de Definiție al unei Inecuații Logaritmice
• Inecuații Logaritmice Elementare
• Inecuații cu Sume sau Diferențe de Logaritmi
• Inecuații cu Compararea a Doi Logaritmi
• Inecuații cu Logaritmi de Baze Diferite
• Inecuații Rezolvabile prin Substituție
• Schema Generală de Rezolvare
• Exerciții Rezolvate
• Interpretare Grafică

Rezolvarea inecuațiilor logaritmice depinde în mod direct și inevitabil de monotonia funcției logaritmice. Este, prin urmare, indispensabil să reluăm cu precizie acest aspect înainte de a proceda.

Fixând o bază \( a \in \mathbb{R} \) cu \( a > 0 \) și \( a \neq 1 \), funcția logaritmică \[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x \] este strict monotonă. Mai precis:

• este strict crescătoare dacă \( a > 1 \): pentru orice \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u < \log_a v; \]
• este strict descrescătoare dacă \( 0 < a < 1 \): pentru orice \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u > \log_a v. \]

Această dihotomie constituie fundamentul logic al întregii teorii a inecuațiilor logaritmice. Când baza este mai mare decât unu, aplicarea funcției logaritmice la ambii membri ai unei inegalități păstrează sensul; când baza este cuprinsă între zero și unu, îl inversează. Omiterea acestui pas — inversarea sensului atunci când este necesar la trecerea de la argument la logaritm, sau neefectuarea ei când nu se impune — reprezintă eroarea conceptuală cea mai frecventă și conduce sistematic la mulțimi de soluții greșite.

Amintim, de asemenea, că domeniul natural al logaritmului este \( (0, +\infty) \): logaritmul unui număr non-pozitiv nu este definit în \( \mathbb{R} \). Această restricție este sursa tuturor condițiilor de existență în inecuațiile logaritmice, iar gestionarea ei este tratată în secțiunea următoare.

Domeniul de definiție al unei inecuații logaritmice este mulțimea valorilor reale ale necunoscutei pentru care fiecare expresie prezentă în inecuație este bine definită. Pentru fiecare termen \( \log_a f_i(x) \), unde \( i \) parcurge mulțimea indicilor \( I \) ce indexează toți logaritmii din inecuație, trebuie impusă condiția: \[ f_i(x) > 0. \]

Domeniul de definiție al inecuației este intersecția tuturor acestor condiții: \[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}. \]

Regulă fundamentală. Mulțimea soluțiilor inecuației este un subset al lui \( \mathcal{D} \). Orice valoare a necunoscutei care satisface formal inecuația algebrică obținută în urma transformărilor, dar care nu aparține lui \( \mathcal{D} \), trebuie eliminată.

Spre deosebire de ce se întâmplă în cazul ecuațiilor — unde se verifică apartenența unor valori individuale la \( \mathcal{D} \) — în cazul inecuațiilor trebuie să intersectăm mulțimea soluțiilor algebrice (de regulă un interval sau o reuniune de intervale) cu \( \mathcal{D} \). Această intersecție reprezintă mulțimea soluțiilor acceptabile.

Din punct de vedere metodologic, este imperios necesar să determinăm \( \mathcal{D} \) înaintea oricărei manipulări algebrice, astfel încât să avem întotdeauna în vedere mulțimea în care trebuie căutate soluțiile.

O inecuație logaritmică se numește elementară dacă se poate reduce la forma canonică: \[ \log_a f(x) \;\square\; k, \qquad k \in \mathbb{R}, \] unde \( \square \) desemnează unul dintre simbolurile \( >, \geq, <, \leq \). Metoda de rezolvare constă în inversarea funcției logaritmice, ținând seama de monotonia sa față de baza \( a \).

Cazul \( a > 1 \) (funcție crescătoare). Deoarece \( \log_a \) este strict crescătoare, inegalitatea se păstrează la inversare:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Deoarece \( a^k > 0 \), condiția \( f(x) > a^k \) implică automat \( f(x) > 0 \), astfel că soluțiile lui \( f(x) > a^k \) se află deja în domeniu.
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Deoarece \( f(x) < a^k \) nu implică \( f(x) > 0 \), este necesar să intersectăm cu domeniul, obținând condiția echivalentă \( 0 < f(x) < a^k \).

Cazul \( 0 < a < 1 \) (funcție descrescătoare). Deoarece \( \log_a \) este strict descrescătoare, inegalitatea se inversează la inversare:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Deoarece \( f(x) < a^k \) nu implică \( f(x) > 0 \), este necesară intersecția cu domeniul, obținând \( 0 < f(x) < a^k \).
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Deoarece \( a^k > 0 \), condiția \( f(x) > a^k \) implică automat \( f(x) > 0 \), iar soluțiile se află deja în domeniu.

Se observă structura duală: condiția de domeniu este satisfăcută automat atunci când sensul inegalității (după inversare) este \( f(x) > a^k \), în timp ce necesită o verificare explicită atunci când sensul este \( f(x) < a^k \). În acest din urmă caz, condiția completă este \( 0 < f(x) < a^k \), care exprimă conjuncția domeniului cu inegalitatea algebrică. Același tipar este valabil pentru \( \geq \) și \( \leq \), cu singura diferență că inegalitățile stricte devin largi.

Exemplul 1. Să se rezolve \( \log_3(2x - 1) > 2 \).

Domeniu. \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Baza este \( a = 3 > 1 \): funcția este crescătoare, inegalitatea se păstrează. \[ 2x - 1 > 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x > 10 \quad \Longrightarrow \quad x > 5. \] Deoarece \( 5 > \tfrac{1}{2} \), soluțiile \( x > 5 \) sunt deja conținute în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( (5, +\infty) \).

Exemplul 2. Să se rezolve \( \log_3(2x - 1) < 2 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Baza \( a = 3 > 1 \), funcție crescătoare, inegalitate păstrată: \[ 2x - 1 < 9 \quad \Longrightarrow \quad x < 5. \] Deoarece \( 2x - 1 < 9 \) nu garantează \( 2x - 1 > 0 \), se intersectează cu \( \mathcal{D} \): \[ \frac{1}{2} < x < 5. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 5\bigr) \).

Exemplul 3. Să se rezolve \( \log_{1/3}(x + 1) > 1 \).

Domeniu. \( x + 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, +\infty) \).

Rezolvare. Baza este \( a = \tfrac{1}{3} \), cu \( 0 < a < 1 \): funcția este descrescătoare, inegalitatea se inversează. \[ x + 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}. \] Condiția \( x + 1 < \tfrac{1}{3} \) nu implică \( x + 1 > 0 \), prin urmare se intersectează cu domeniul: \[ 0 < x + 1 < \frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad -1 < x < -\frac{2}{3}. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(-1, -\tfrac{2}{3}\bigr) \).

Exemplul 4. Să se rezolve \( \log_{1/2}(x - 3) < -2 \).

Domeniu. \( x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Rezolvare. Baza \( a = \tfrac{1}{2} \), cu \( 0 < a < 1 \): funcție descrescătoare, inegalitate inversată: \[ x - 3 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad x > 7. \] Deoarece \( x > 7 \) implică \( x - 3 > 0 \), soluțiile se află deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( (7, +\infty) \).

Atunci când inecuația conține o sumă sau o diferență de logaritmi cu aceeași bază, se aplică proprietățile produsului și câtului pentru a o reduce la un singur logaritm, aducând-o la forma elementară. Condițiile de domeniu trebuie impuse argumentelor originale, nu argumentului logaritmului obținut prin contopire.

Atenție. Proprietatea \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) este valabilă exclusiv când \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \) separat. Produsul \( f(x)g(x) \) poate fi pozitiv chiar dacă ambii factori sunt negativi; în acest caz, logaritmul produsului ar fi definit în expresia transformată, însă logaritmii factorilor individuali nu ar fi definiți în expresia originală. Acesta este motivul pentru care domeniul se determină pe baza argumentelor originale.

Exemplul 1. Să se rezolve \( \log_2 x + \log_2(x - 2) > 3 \).

Domeniu. \( x > 0 \) și \( x - 2 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Rezolvare. Aplicând proprietatea produsului: \[ \log_2[x(x-2)] > 3. \] Baza \( a = 2 > 1 \): inegalitatea se păstrează. \[ x(x - 2) > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2x - 8 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) > 0. \] Trinomul este pozitiv pentru \( x < -2 \) sau \( x > 4 \). Intersectând cu \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \): \[ x > 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (4, +\infty) \).

Exemplul 2. Să se rezolve \( \log_3(x + 5) - \log_3(x - 1) > 1 \).

Domeniu. \( x + 5 > 0 \) și \( x - 1 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Rezolvare. Aplicând proprietatea câtului: \[ \log_3\!\left(\frac{x+5}{x-1}\right) > 1. \] Baza \( a = 3 > 1 \): inegalitatea se păstrează. \[ \frac{x + 5}{x - 1} > 3. \] Deoarece ne aflăm în domeniul \( x > 1 \), avem \( x - 1 > 0 \), astfel că putem înmulți ambii membri cu \( x - 1 \) fără a inversa sensul: \[ x + 5 > 3(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad x + 5 > 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 8 > 2x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (1, 4) \).

Notă metodologică. În exemplul 2, înmulțirea cu \( x - 1 \) este legitimă — fără inversarea sensului — exclusiv deoarece se operează în interiorul domeniului, unde \( x - 1 > 0 \) este garantat. În afara domeniului, operația ar putea impune luarea în considerare a semnului numitorului, complicând considerabil procedura. Acesta este un argument suplimentar în favoarea determinării preliminare a lui \( \mathcal{D} \).

Dacă inecuația este de forma: \[ \log_a f(x) \;\square\; \log_a g(x), \] stricta monotonie a funcției \( t \mapsto \log_a t \) pe \( (0, +\infty) \) permite eliminarea logaritmului, ținând seama de sens în funcție de bază:

• Dacă \( a > 1 \) (funcție crescătoare): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) > g(x) \), cu condiția că ambele argumente să fie pozitive.
• Dacă \( 0 < a < 1 \) (funcție descrescătoare): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) < g(x) \), cu aceleași condiții de domeniu.

În ambele cazuri, metoda de rezolvare este următoarea: se determină \( \mathcal{D} \) impunând \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \), se elimină logaritmul aplicând corespondența indicată mai sus (cu sau fără inversarea sensului), se rezolvă inegalitățile algebrice rezultate și, în final, se intersectează mulțimea obținută cu \( \mathcal{D} \).

Observație logică. În interiorul domeniului \( \mathcal{D} \), ambele condiții \( f(x) > 0 \) și \( g(x) > 0 \) sunt garantate prin ipoteză. Prin urmare, în operația de inversare a logaritmului nu este necesară impunerea unor condiții suplimentare de pozitivitate: acestea sunt deja încorporate în \( \mathcal{D} \). Intersecția finală cu \( \mathcal{D} \) este, deci, suficientă pentru a garanta corectitudinea soluțiilor.

Exemplul 1. Să se rezolve \( \log_2(x + 3) > \log_2(2x - 1) \).

Domeniu. \( x + 3 > 0 \) și \( 2x - 1 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Baza \( a = 2 > 1 \): inegalitatea se păstrează. \[ x + 3 > 2x - 1 \quad \Longrightarrow \quad 4 > x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{1}{2} < x < 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 4\bigr) \).

Exemplul 2. Să se rezolve \( \log_{1/2}(3 - x) > \log_{1/2}(x + 1) \).

Domeniu. \( 3 - x > 0 \) și \( x + 1 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Rezolvare. Baza \( a = \tfrac{1}{2} \), cu \( 0 < a < 1 \): funcția este descrescătoare, inegalitatea se inversează. \[ 3 - x < x + 1 \quad \Longrightarrow \quad 2 < 2x \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (1, 3) \).

Exemplul 3. Să se rezolve \( \log_5(x^2 - 3x) \geq \log_5(x + 7) \).

Domeniu. \( x^2 - 3x > 0 \) și \( x + 7 > 0 \). Factorizând: \( x(x - 3) > 0 \) dacă \( x < 0 \) sau \( x > 3 \). A doua condiție dă \( x > -7 \). Deci \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Rezolvare. Baza \( a = 5 > 1 \): inegalitatea se păstrează (cu \( \geq \)). \[ x^2 - 3x \geq x + 7 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 4x - 7 \geq 0. \] Rădăcinile trinomului sunt \( x = 2 \pm \sqrt{11} \). Trinomul este non-negativ pentru \( x \leq 2 - \sqrt{11} \) sau \( x \geq 2 + \sqrt{11} \). Deoarece \( 2 - \sqrt{11} \approx -1{,}32 \) și \( 2 + \sqrt{11} \approx 5{,}32 \), intersectând cu \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \): \[ \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr). \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr) \).

Atunci când o inecuație conține logaritmi cu baze diferite, nu este posibil să se aplice direct compararea sau proprietățile operatorii. Metoda standard constă în aducerea tuturor logaritmilor la aceeași bază prin intermediul formulei de schimbare a bazei: \[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \] unde baza auxiliară \( b \) se alege astfel încât să simplifice calculele. Cele mai frecvente alegeri sunt \( b = 10 \) sau \( b = e \); în multe cazuri este convenabil să se ia ca bază comună una dintre cele deja prezente în inecuație.

Atenție. Atunci când se înmulțesc sau se împart ambii membri ai inegalității cu o expresie, trebuie ținut seama de semnul acesteia. În particular, \( \log_b a \) are un semn determinat: este pozitiv dacă \( b \) și \( a \) sunt ambele mai mari decât unu sau ambele mai mici decât unu (concordante față de 1), și negativ în celelalte cazuri. Înmulțirea cu o expresie negativă inversează sensul inegalității.

Exemplul 1. Să se rezolve \( \log_2 x > \log_4(x + 2) \).

Domeniu. \( x > 0 \) și \( x + 2 > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. Se aduce \( \log_4(x+2) \) la baza 2: \[ \log_4(x + 2) = \frac{\log_2(x + 2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 2)}{2}. \] Inecuația devine: \[ \log_2 x > \frac{\log_2(x+2)}{2}. \] Înmulțind ambii membri cu 2 (pozitiv, sensul se păstrează): \[ 2\log_2 x > \log_2(x + 2) \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x^2 > \log_2(x + 2). \] Scrierea \( 2\log_2 x = \log_2 x^2 \) este legitimă deoarece în domeniu \( x > 0 \). Deoarece baza 2 este mai mare decât unu, sensul se păstrează: \[ x^2 > x + 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x - 2)(x + 1) > 0. \] Trinomul este pozitiv pentru \( x < -1 \) sau \( x > 2 \). Intersectând cu \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ x > 2. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (2, +\infty) \).

Exemplul 2. Să se rezolve \( \log_2 x + \log_4 x \leq 3 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. Se aduce \( \log_4 x \) la baza 2: \[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}. \] Punând \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad t \leq 2. \] Revenind la variabila inițială: \( \log_2 x \leq 2 \Rightarrow x \leq 4 \). Intersectând cu \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ 0 < x \leq 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (0, 4] \).

O clasă importantă de inecuații logaritmice este aceea în care logaritmul apare ca argument al unei expresii polinomiale. Forma tipică este: \[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) \;\square\; 0, \] unde \( P \) este un polinom. Metoda constă în a pune \( t = \log_a f(x) \), a rezolva inecuația algebrică \( P(t) \;\square\; 0 \) în \( t \), determinând mulțimea valorilor admisibile pentru \( t \), și pentru fiecare interval rezultat a rezolva în final inecuația elementară corespunzătoare \( \log_a f(x) \;\square\; t_k \).

Atenție. Substituția \( t = \log_a f(x) \) transferă inecuația în variabila auxiliară \( t \). Odată rezolvată inecuația în \( t \), fiecare interval obținut trebuie tradus într-o condiție corespunzătoare asupra lui \( x \). Astfel, un interval \( t \in [t_1, t_2] \) devine conjuncția celor două inecuații elementare \( \log_a f(x) \geq t_1 \) și \( \log_a f(x) \leq t_2 \). Când soluția în \( t \) este o reuniune de intervale, fiecare interval trebuie tratat separat, iar mulțimile de soluții obținute se reunesc la final.

Exemplul 1. Să se rezolve \( (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 \geq 0 \).

Domeniu. \( x > 0 \), deci \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_3 x \). Inecuația devine: \[ t^2 - t - 2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad (t - 2)(t + 1) \geq 0. \] Trinomul este non-negativ pentru \( t \leq -1 \) sau \( t \geq 2 \).

Revenire la variabila inițială.

• \( \log_3 x \leq -1 \): baza \( 3 > 1 \), funcție crescătoare, sensul se păstrează: \( x \leq 3^{-1} = \tfrac{1}{3} \). Intersectând cu \( \mathcal{D} \): \( 0 < x \leq \tfrac{1}{3} \).
• \( \log_3 x \geq 2 \): \( x \geq 3^2 = 9 \). Deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(0, \tfrac{1}{3}\bigr] \cup [9, +\infty) \).

Exemplul 2. Să se rezolve \( (\log_2 x)^2 - 4 < 0 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 4 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t+2) < 0 \quad \Longrightarrow \quad -2 < t < 2. \]

Revenire la variabila inițială. Condiția \( -2 < \log_2 x < 2 \) se descompune în: \[ \log_2 x > -2 \;\Rightarrow\; x > 2^{-2} = \tfrac{1}{4}, \qquad \log_2 x < 2 \;\Rightarrow\; x < 4. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ \frac{1}{4} < x < 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(\tfrac{1}{4}, 4\bigr) \).

Exemplul 3. Să se rezolve \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 < 0 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_5 x \): \[ 2t^2 + 3t - 2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \] Rădăcinile sunt \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) și \( t_2 = -2 \). Trinomul este negativ pentru \( -2 < t < \tfrac{1}{2} \).

Revenire la variabila inițială. \[ -2 < \log_5 x < \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 5^{-2} < x < 5^{1/2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{25} < x < \sqrt{5}. \] Deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( \Bigl(\dfrac{1}{25}, \sqrt{5}\Bigr) \).

Schema următoare constituie un protocol complet și riguros, aplicabil oricărui tip de inecuație logaritmică tratate în această lucrare.

1. Determinarea domeniului de definiție. Pentru fiecare logaritm \( \log_a f_i(x) \) prezent în inecuație, se impune \( f_i(x) > 0 \). Se calculează \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Aducerea la aceeași bază (dacă este necesar). Dacă sunt prezenți logaritmi cu baze diferite, se aplică formula de schimbare a bazei pentru a-i uniformiza, ținând seama de semnul lui \( \log_b a \) în operațiile ulterioare asupra inegalităților.
3. Simplificarea prin proprietățile logaritmilor. Se aplică proprietățile de produs, cât și putere — valabile numai pentru argumente pozitive — pentru a reduce inecuația la una dintre formele canonice: \( \log_a f(x) \,\square\, k \), sau \( \log_a f(x) \,\square\, \log_a g(x) \), sau \( P(\log_a f(x)) \,\square\, 0 \).
4. Eliminarea logaritmului. Se aplică corespondența monotonă: dacă \( a > 1 \) sensul se păstrează; dacă \( 0 < a < 1 \) sensul se inversează. Pentru formele polinomiale, se aplică substituția \( t = \log_a f(x) \) și se rezolvă inecuația algebrică în \( t \).
5. Rezolvarea inecuației algebrice rezultate. Se determină mulțimea soluțiilor algebrice (de regulă un interval sau o reuniune de intervale).
6. Intersecția cu domeniul de definiție. Mulțimea soluțiilor inecuației logaritmice este intersecția dintre soluțiile algebrice și \( \mathcal{D} \). Se verifică că este respectată condiția de pozitivitate a argumentelor; se elimină părțile exterioare lui \( \mathcal{D} \).
7. Scrierea mulțimii soluțiilor.

Exercițiul 1. Să se rezolve \( \log_2(x + 3) \geq 4 \).

Domeniu. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Rezolvare. Baza \( 2 > 1 \): sensul se păstrează. \( x + 3 \geq 2^4 = 16 \Rightarrow x \geq 13 \). Deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( [13, +\infty) \).

Exercițiul 2. Să se rezolve \( \log_3 x + \log_3(x - 1) < 1 \).

Domeniu. \( x > 0 \) și \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Rezolvare. \[ \log_3[x(x-1)] < 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) < 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 < 0. \] Rădăcinile sunt \( x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \). Trinomul este negativ pentru \( \dfrac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \). Intersectând cu \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \Bigl(1,\, \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}\Bigr) \).

Exercițiul 3. Să se rezolve \( \log_5(x + 1) \geq \log_5(2x - 3) \).

Domeniu. \( x + 1 > 0 \) și \( 2x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Rezolvare. Baza \( 5 > 1 \): sensul se păstrează. \[ x + 1 \geq 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 \geq x \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{3}{2} < x \leq 4. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(\tfrac{3}{2},\, 4\bigr] \).

Exercițiul 4. Să se rezolve \( \log_2(x - 1) + \log_2(x - 5) < 3 \).

Domeniu. \( x - 1 > 0 \) și \( x - 5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Rezolvare. \[ \log_2[(x-1)(x-5)] < 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) < 8. \] \[ x^2 - 6x + 5 < 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 6x - 3 < 0. \] Rădăcinile sunt \( x = 3 \pm 2\sqrt{3} \). Trinomul este negativ pentru \( 3 - 2\sqrt{3} < x < 3 + 2\sqrt{3} \). Deoarece \( 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 \), intersectând cu \( \mathcal{D} = (5, +\infty) \): \[ 5 < x < 3 + 2\sqrt{3}. \]

Mulțimea soluțiilor: \( \bigl(5,\, 3 + 2\sqrt{3}\bigr) \).

Exercițiul 5. Să se rezolve \( \log_{1/2}(x + 1) < \log_{1/2}(3 - x) \).

Domeniu. \( x + 1 > 0 \) și \( 3 - x > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Rezolvare. Baza \( \tfrac{1}{2} \), cu \( 0 < a < 1 \): funcție descrescătoare, sensul inegalității se inversează. \[ x + 1 > 3 - x \quad \Longrightarrow \quad 2x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersectând cu \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Mulțimea soluțiilor: \( (1, 3) \).

Exercițiul 6. Să se rezolve \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 < 0 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substituție. Fie \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 5t + 6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 2 < t < 3. \]

Revenire la variabila inițială. \[ 2 < \log_2 x < 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 < x < 8. \] Deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( (4, 8) \).

Exercițiul 7. Să se rezolve \( \log_2 x + \log_4 x > 3 \).

Domeniu. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Rezolvare. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Fie \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad t > 2 \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 4. \] Deja în \( \mathcal{D} \).

Mulțimea soluțiilor: \( (4, +\infty) \).

Interpretarea grafică a inecuațiilor logaritmice oferă o viziune calitativă asupra mulțimii soluțiilor, completând tratarea analitică.

Rezolvarea inecuației \( \log_a f(x) > k \) este echivalentă geometric cu determinarea valorilor necunoscutei pentru care graficul lui \( y = \log_a f(x) \) se află deasupra dreptei orizontale \( y = k \). Dacă \( a > 1 \), funcția este crescătoare și graficul depășește pragul \( y = k \) pentru argumente suficient de mari; dacă \( 0 < a < 1 \), funcția este descrescătoare și depășește pragul pentru argumente suficient de mici (și pozitive). Distincția grafică dintre cele două cazuri face vizibil mecanismul inversării sensului.

Rezolvarea lui \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) este echivalentă cu găsirea valorilor necunoscutei pentru care graficul lui \( y = \log_a f(x) \) se află deasupra graficului lui \( y = \log_a g(x) \). Sensul comparației depinde de monotonie: dacă \( a > 1 \), graficul lui \( \log_a f(x) \) este mai sus decât cel al lui \( \log_a g(x) \) exact când \( f(x) > g(x) \); dacă \( 0 < a < 1 \), același grafic este mai sus exact când \( f(x) < g(x) \), deoarece funcția logaritmică ordonează invers argumentele sale.

Pentru inecuațiile rezolvate prin substituție, mulțimea soluțiilor în \( t \) corespunde unei benzi orizontale în planul \( (x, t) \) cu \( t = \log_a f(x) \); revenirea la variabila \( x \) constă în determinarea imaginii inverse a acestei benzi prin funcția \( x \mapsto \log_a f(x) \), ținând seama — din nou — de monotonia față de bază.

Interpretarea grafică evidențiază în final rolul domeniului de definiție: ramurile graficului există numai pentru \( x \in \mathcal{D} \), iar orice porțiune de dreaptă sau curbă exterioară lui \( \mathcal{D} \) este pur și simplu absentă în planul cartezian. Valorile excluse nu corespund niciunui punct al graficului și nu pot, prin urmare, constitui soluții ale inecuației logaritmice inițiale.