Propunem o colecție de 20 de exerciții rezolvate despre intervale și vecinătăți, concepute pentru a înțelege în mod riguros și progresiv structura principalelor submulțimi ale dreptei reale.
Exercițiile vizează intervale deschise, închise și semideschise, semidrepte, apartenența la intervale, scrierea sub formă de mulțime și primele interpretări geometrice pe dreapta reală.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se scrie sub formă de mulțime intervalul:
\[ (2,7) \]
Rezultat
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Rezolvare
Intervalul:
\[ (2,7) \]
este un interval deschis.
Parantezele rotunde arată că capetele \(2\) și \(7\) nu aparțin intervalului.
Așadar:
\[ 2\notin(2,7), \qquad 7\notin(2,7). \]
În schimb, intervalului îi aparțin toate numerele reale strict cuprinse între \(2\) și \(7\).
A spune că un număr real \(x\) aparține lui \((2,7)\) înseamnă, așadar, a impune simultan cele două condiții:
\[ x>2 \]
și
\[ x<7. \]
Scriind cele două condiții într-o formă compactă, obținem:
\[ 2<x<7 \]
Prin urmare:
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se scrie sub formă de mulțime intervalul:
\[ [-3,5] \]
Rezultat
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Rezolvare
Intervalul:
\[ [-3,5] \]
este un interval închis.
Parantezele drepte arată că ambele capete aparțin intervalului.
Așadar:
\[ -3\in[-3,5], \qquad 5\in[-3,5]. \]
Pe lângă capete, intervalului îi aparțin toate numerele reale cuprinse între \(-3\) și \(5\).
Un număr real \(x\) aparține deci lui \([-3,5]\) dacă este mai mare sau egal cu \(-3\) și mai mic sau egal cu \(5\).
În simboluri:
\[ -3\leq x\leq 5 \]
În consecință:
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se scrie sub formă de interval mulțimea:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\}. \]
Rezultat
\[ [1,6) \qquad \text{sau} \qquad [1,6[ \]
Rezolvare
Considerăm mulțimea:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\} \]
Condiția:
\[ 1\leq x \]
înseamnă că \(x\) poate fi egal cu \(1\) sau mai mare decât \(1\).
Prin urmare, capătul stâng \(1\) aparține mulțimii.
Din acest motiv, la stânga se folosește paranteza dreaptă:
\[ [1,\ldots \]
Condiția:
\[ x<6 \]
în schimb, înseamnă că \(x\) trebuie să fie strict mai mic decât \(6\).
Așadar, numărul \(6\) nu aparține mulțimii.
Din acest motiv, la dreapta se folosește paranteza rotundă:
\[ \ldots,6) \]
Prin urmare, mulțimea dată este:
\[ [1,6) \]
Cu notația alternativă, foarte folosită în analiza matematică, același interval se scrie:
\[ [1,6[ \]
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă numărul \(4\) aparține intervalului:
\[ (4,9] \]
Rezultat
\[ 4\notin(4,9] \]
Rezolvare
Intervalul:
\[ (4,9] \]
este semideschis.
Paranteza rotundă din stânga arată că capătul stâng \(4\) nu aparține intervalului.
Paranteza dreaptă din dreapta arată, în schimb, că capătul drept \(9\) aparține intervalului.
Sub formă de mulțime:
\[ (4,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid 4<x\leq 9\}. \]
Pentru a verifica dacă \(4\) aparține intervalului, înlocuim \(x=4\) în condiția:
\[ 4<x\leq 9. \]
Obținem:
\[ 4<4\leq 9. \]
Inegalitatea:
\[ 4<4 \]
este falsă, deoarece niciun număr real nu este strict mai mic decât el însuși.
Prin urmare, \(4\) nu satisface condiția de apartenență.
Așadar:
\[ 4\notin(4,9] \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se scrie sub formă de mulțime semidreapta:
\[ [-2,+\infty) \]
Rezultat
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Rezolvare
Intervalul:
\[ [-2,+\infty) \]
este o semidreaptă nemărginită la dreapta.
Aceasta înseamnă că ea conține toate numerele reale mai mari sau egale cu \(-2\).
Paranteza dreaptă din dreptul lui \(-2\) arată că acest capăt finit aparține intervalului.
Așadar:
\[ -2\in[-2,+\infty) \]
Simbolul \(+\infty\), în schimb, nu reprezintă un număr real.
Din acest motiv, \(+\infty\) nu poate fi inclus în interval prin paranteză dreaptă.
Condiția de apartenență este, așadar:
\[ x\geq -2 \]
Prin urmare:
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine centrul, amplitudinea și raza intervalului:
\[ [3,11] \]
Rezultat
\[ \text{centru}=7,\qquad \text{amplitudine}=8,\qquad \text{raza}=4 \]
Rezolvare
Considerăm intervalul:
\[ [3,11]. \]
Capetele sale sunt:
\[ a=3,\qquad b=11. \]
Amplitudinea, numită și lungimea intervalului, este distanța dintre capătul superior și capătul inferior.
Așadar:
\[ b-a=11-3=8. \]
Prin urmare:
\[ \text{amplitudine}=8. \]
Centrul intervalului este mijlocul capetelor.
Se calculează cu ajutorul formulei:
\[ \frac{a+b}{2}. \]
Înlocuind \(a=3\) și \(b=11\), obținem:
\[ \frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7. \]
Așadar:
\[ \text{centru}=7. \]
Raza este distanța dintre centru și unul dintre cele două capete.
În mod echivalent, este jumătate din amplitudine:
\[ \frac{b-a}{2}. \]
Așadar:
\[ \frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4. \]
Prin urmare:
\[ \text{raza}=4. \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale care satisfac:
\[ |x-2|<5 \]
Rezultat
\[ (-3,7) \qquad \text{sau} \qquad ]-3,7[ \]
Rezolvare
Expresia:
\[ |x-2| \]
reprezintă distanța dintre numărul real \(x\) și punctul \(2\) al dreptei reale.
Inecuația:
\[ |x-2|<5 \]
înseamnă, așadar, că \(x\) trebuie să se afle la o distanță mai mică decât \(5\) față de punctul \(2\).
În termeni de vecinătate deschisă, căutăm toate punctele vecinătății de centru \(2\) și rază \(5\).
Folosim proprietatea:
\[ |A|<r \iff -r<A<r, \qquad r>0. \]
În cazul nostru:
\[ A=x-2,\qquad r=5. \]
Așadar:
\[ -5<x-2<5. \]
Adunăm \(2\) la toți membrii dublei inegalități:
\[ -5+2<x-2+2<5+2. \]
Obținem:
\[ -3<x<7. \]
Așadar, mulțimea soluțiilor este intervalul deschis:
\[ (-3,7) \]
Cu notația alternativă:
\[ ]-3,7[ \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale care satisfac:
\[ |x+1|\leq 4 \]
Rezultat
\[ [-5,3] \]
Rezolvare
Cantitatea:
\[ |x+1| \]
poate fi rescrisă sub forma:
\[ |x-(-1)|. \]
Ea reprezintă, așadar, distanța dintre \(x\) și punctul \(-1\).
Inecuația:
\[ |x+1|\leq 4 \]
înseamnă că distanța dintre \(x\) și \(-1\) trebuie să fie mai mică sau egală cu \(4\).
Întrucât apare simbolul \(\leq\), capetele intervalului vor fi incluse.
Folosim proprietatea:
\[ |A|\leq r \iff -r\leq A\leq r, \qquad r>0. \]
În cazul nostru:
\[ A=x+1,\qquad r=4. \]
Obținem:
\[ -4\leq x+1\leq 4. \]
Scădem \(1\) din toți membrii:
\[ -4-1\leq x+1-1\leq 4-1. \]
Așadar:
\[ -5\leq x\leq 3. \]
Sub formă de interval:
\[ [-5,3]. \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Să se determine:
\[ [1,8]\cap(3,10) \]
Rezultat
\[ (3,8] \qquad \text{sau} \qquad ]3,8] \]
Rezolvare
Intersecția a două mulțimi conține exact elementele care aparțin simultan ambelor mulțimi.
Considerăm primul interval:
\[ [1,8] \]
Acesta conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 1\leq x\leq 8. \]
Considerăm acum al doilea interval:
\[ (3,10). \]
Acesta conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 3<x<10. \]
Pentru a aparține intersecției, un număr real trebuie să satisfacă ambele condiții.
Trebuie, așadar, să impunem simultan:
\[ 1\leq x\leq 8 \]
și:
\[ 3<x<10. \]
Restricția cea mai puternică la stânga este:
\[ x>3. \]
Într-adevăr, dacă \(x>3\), atunci automat \(x\geq1\).
Restricția cea mai puternică la dreapta este:
\[ x\leq8. \]
Într-adevăr, dacă \(x\leq8\), atunci automat \(x<10\).
Obținem astfel:
\[ 3<x\leq8. \]
Prin urmare:
\[ [1,8]\cap(3,10)=(3,8] \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Să se determine:
\[ [0,4]\cup(4,9) \]
Rezultat
\[ [0,9) \qquad \text{sau} \qquad [0,9[ \]
Rezolvare
Reuniunea a două mulțimi conține toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre cele două mulțimi.
Primul interval este:
\[ [0,4]. \]
Acesta conține toate numerele reale cuprinse între \(0\) și \(4\), capete incluse.
În particular:
\[ 4\in[0,4]. \]
Al doilea interval este:
\[ (4,9). \]
Acesta conține toate numerele reale strict cuprinse între \(4\) și \(9\).
În particular, numărul \(4\) nu aparține celui de-al doilea interval, dar aparține primului.
Așadar, nu se formează niciun gol în punctul \(4\).
Reuniunea conține:
- toate numerele de la \(0\) la \(4\), inclusiv \(4\);
- toate numerele mai mari decât \(4\) și mai mici decât \(9\).
În ansamblu, ea conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 0\leq x<9. \]
Prin urmare:
\[ [0,4]\cup(4,9)=[0,9) \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
este un interval.
Rezultat
Mulțimea nu este un interval.
Rezolvare
Reamintim că o submulțime \(I\subseteq\mathbb{R}\) este un interval dacă, oricare ar fi două dintre elementele sale, conține și toate numerele reale cuprinse între ele.
Considerăm mulțimea:
\[ [0,2)\cup(2,5]. \]
Primul interval:
\[ [0,2) \]
conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 0\leq x<2. \]
Al doilea interval:
\[ (2,5] \]
conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 2<x\leq5. \]
Să observăm acum punctul \(2\).
Acesta nu aparține primului interval, deoarece primul interval exclude capătul drept:
\[ 2\notin[0,2). \]
În plus, nu aparține celui de-al doilea interval, deoarece al doilea interval exclude capătul stâng:
\[ 2\notin(2,5]. \]
Așadar:
\[ 2\notin[0,2)\cup(2,5]. \]
Totuși:
\[ 1\in[0,2)\cup(2,5] \]
și:
\[ 3\in[0,2)\cup(2,5]. \]
Deoarece:
\[ 1<2<3, \]
am găsit două elemente ale mulțimii, \(1\) și \(3\), astfel încât un număr cuprins între ele, și anume \(2\), nu aparține mulțimii.
Mulțimea prezintă, așadar, un „gol” interior.
Este important de observat că mulțimea considerată este reuniunea a două intervale, dar nu constituie ea însăși un interval al dreptei reale.
Prin urmare:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
nu este un interval.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă intervalul:
\[ [2,+\infty) \]
este deschis, închis sau nici deschis, nici închis în \(\mathbb{R}\).
Rezultat
Intervalul \([2,+\infty)\) este închis în \(\mathbb{R}\), dar nu este deschis.
Rezolvare
Considerăm intervalul:
\[ [2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq2\}. \]
Acesta conține propriul capăt finit \(2\), întrucât paranteza dreaptă indică includerea.
Studiem mai întâi dacă mulțimea este deschisă.
O mulțime este deschisă dacă fiecare punct al său posedă o vecinătate deschisă conținută în întregime în mulțime.
Punctul \(2\) aparține mulțimii:
\[ 2\in[2,+\infty). \]
Totuși, orice vecinătate deschisă a lui \(2\) conține și puncte mai mici decât \(2\).
De exemplu, pentru orice \(r>0\), vecinătatea:
\[ (2-r,2+r) \]
conține puncte ale intervalului \((2-r,2)\), care sunt mai mici decât \(2\).
Aceste puncte nu aparțin lui \([2,+\infty)\).
Așadar, nicio vecinătate deschisă a lui \(2\) nu este conținută în întregime în \([2,+\infty)\).
Prin urmare, \([2,+\infty)\) nu este deschis.
Studiem acum dacă mulțimea este închisă.
Complementara lui \([2,+\infty)\) în \(\mathbb{R}\) este:
\[ \mathbb{R}\setminus[2,+\infty)=(-\infty,2). \]
Intervalul:
\[ (-\infty,2) \]
este deschis în \(\mathbb{R}\).
Deoarece complementara lui \([2,+\infty)\) este deschisă, rezultă că \([2,+\infty)\) este închis.
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
Să se scrie vecinătatea deschisă de centru \(-1\) și rază \(3\), atât sub formă de interval, cât și sub formă de mulțime.
Rezultat
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Rezolvare
O vecinătate deschisă de centru \(x_0\) și rază \(r>0\) este mulțimea numerelor reale a căror distanță față de punctul \(x_0\) este mai mică decât \(r\).
Sub formă de mulțime:
\[ I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}. \]
În acest exercițiu:
\[ x_0=-1,\qquad r=3. \]
Înlocuind în definiție:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-(-1)|<3\}. \]
Deoarece:
\[ x-(-1)=x+1, \]
obținem:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\}. \]
Pentru a-l scrie sub formă de interval, calculăm capetele:
\[ x_0-r=-1-3=-4 \]
și:
\[ x_0+r=-1+3=2. \]
Fiind o vecinătate deschisă, capetele nu sunt incluse.
Așadar:
\[ I(-1,3)=(-4,2). \]
Prin urmare:
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Să se scrie vecinătatea închisă de centru \(4\) și rază \(5\), atât sub formă de interval, cât și sub formă de mulțime.
Rezultat
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Rezolvare
O vecinătate închisă de centru \(x_0\) și rază \(r>0\) este mulțimea numerelor reale a căror distanță față de punctul \(x_0\) este mai mică sau egală cu \(r\).
Sub formă de mulțime:
\[ \overline{I}(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\}. \]
În acest caz:
\[ x_0=4,\qquad r=5. \]
Înlocuind în definiție:
\[ \overline{I}(4,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\}. \]
Pentru a trece la forma de interval, calculăm capetele.
Capătul stâng este:
\[ x_0-r=4-5=-1. \]
Capătul drept este:
\[ x_0+r=4+5=9. \]
Deoarece vecinătatea este închisă, se includ și punctele aflate la o distanță exact egală cu \(5\) față de centru.
Într-adevăr:
\[ |-1-4|=|-5|=5 \]
și:
\[ |9-4|=5. \]
Așadar, capetele \(-1\) și \(9\) aparțin vecinătății.
Prin urmare:
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Să se scrie vecinătatea la dreapta deschisă a lui \(2\), de rază \(6\).
Rezultat
\[ (2,8) \qquad \text{sau} \qquad ]2,8[ \]
Rezolvare
O vecinătate la dreapta deschisă a unui punct \(x_0\) conține doar puncte situate la dreapta lui \(x_0\), adică puncte mai mari decât \(x_0\).
Dacă raza este \(r>0\), vecinătatea la dreapta deschisă are forma:
\[ (x_0,x_0+r). \]
În acest exercițiu:
\[ x_0=2,\qquad r=6. \]
Calculăm capătul drept:
\[ x_0+r=2+6=8. \]
Vecinătatea la dreapta deschisă este, așadar:
\[ (2,8). \]
Aceasta conține toate numerele reale \(x\) astfel încât:
\[ 2<x<8. \]
Punctul \(2\) nu aparține vecinătății, deoarece vecinătatea la dreapta deschisă pornește de la \(2\), dar îl exclude.
Nici punctul \(8\) nu aparține vecinătății, deoarece capătul drept este exclus.
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Să se scrie vecinătatea la stânga deschisă a lui \(5\), de rază \(4\).
Rezultat
\[ (1,5) \qquad \text{sau} \qquad ]1,5[ \]
Rezolvare
O vecinătate la stânga deschisă a unui punct \(x_0\) conține doar puncte mai mici decât \(x_0\).
Dacă raza este \(r>0\), aceasta are forma:
\[ (x_0-r,x_0). \]
În acest exercițiu:
\[ x_0=5,\qquad r=4. \]
Calculăm capătul stâng:
\[ x_0-r=5-4=1. \]
Prin urmare, vecinătatea la stânga deschisă cerută este:
\[ (1,5). \]
Această mulțime conține toate numerele reale strict cuprinse între \(1\) și \(5\).
În particular:
- toate punctele vecinătății sunt mai mici decât \(5\);
- punctul \(5\) nu aparține vecinătății;
- și capătul \(1\) este exclus.
Sub formă de mulțime:
\[ (1,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
Să se scrie ca reuniune de intervale vecinătatea redusă:
\[ I^\ast(3,2) \]
Rezultat
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Rezolvare
Prin definiție, vecinătatea redusă de centru \(x_0\) și rază \(r>0\) este:
\[ I^\ast(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\}. \]
Se obține luând vecinătatea deschisă de centru \(x_0\) și înlăturând punctul central.
În acest exercițiu:
\[ x_0=3,\qquad r=2. \]
Considerăm mai întâi vecinătatea deschisă asociată:
\[ I(3,2)=(3-2,3+2). \]
Calculând capetele:
\[ 3-2=1 \]
și:
\[ 3+2=5, \]
obținem:
\[ I(3,2)=(1,5). \]
Însă vecinătatea cerută este redusă.
Aceasta înseamnă că punctul central:
\[ x_0=3 \]
trebuie eliminat din interval.
Eliminând punctul \(3\), intervalul se desparte în două părți:
\[ (1,3) \]
și:
\[ (3,5). \]
Prin urmare:
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Să se scrie o vecinătate a lui \(+\infty\) determinată de \(M=4\).
Rezultat
\[ (4,+\infty) \]
Rezolvare
O vecinătate a lui \(+\infty\) este o semidreaptă deschisă la dreapta, de forma:
\[ (M,+\infty), \qquad M>0. \]
Aceasta conține toate numerele reale suficient de mari, adică mai mari decât o anumită valoare reală \(M\).
În acest exercițiu:
\[ M=4. \]
Înlocuind în definiție, obținem:
\[ (4,+\infty). \]
Sub formă de mulțime:
\[ (4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}. \]
Această mulțime conține toate numerele reale mai mari decât \(4\).
Numărul \(4\) nu aparține vecinătății, întrucât paranteza rotundă indică excluderea capătului.
În plus, simbolul \(+\infty\) nu reprezintă un număr real și, prin urmare, nu poate fi inclus în interval.
Vecinătățile lui \(+\infty\) nu sunt vecinătăți în sensul obișnuit, bazat pe distanța dintre numere reale, ci constituie o convenție fundamentală în studiul limitelor la infinit.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Să se scrie o vecinătate a lui \(-\infty\) determinată de \(M=6\).
Rezultat
\[ (-\infty,-6) \]
Rezolvare
O vecinătate a lui \(-\infty\) este o semidreaptă deschisă la stânga, de forma:
\[ (-\infty,-M), \qquad M>0. \]
Aceasta conține toate numerele reale suficient de mici, adică negative și foarte mari în valoare absolută.
În acest exercițiu:
\[ M=6. \]
Prin urmare:
\[ -M=-6. \]
Înlocuind în definiția vecinătății lui \(-\infty\), obținem:
\[ (-\infty,-6). \]
Sub formă de mulțime:
\[ (-\infty,-6)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-6\}. \]
Mulțimea conține, așadar, toate numerele reale mai mici decât \(-6\).
Numărul \(-6\) nu aparține vecinătății, deoarece capătul este exclus.
Vecinătățile lui \(-\infty\) nu sunt vecinătăți în sensul obișnuit, bazat pe distanța dintre numere reale, ci constituie o convenție fundamentală în studiul limitelor la infinit.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se determine mulțimea soluțiilor inecuației:
\[ |x-1|<|x+3| \]
Rezultat
\[ (-1,+\infty) \]
Rezolvare
Cantitatea:
\[ |x-1| \]
reprezintă distanța de la punctul \(x\) la numărul \(1\).
Analog:
\[ |x+3|=|x-(-3)| \]
reprezintă distanța de la punctul \(x\) la numărul \(-3\).
Inecuația:
\[ |x-1|<|x+3| \]
înseamnă, așadar, că \(x\) trebuie să fie mai aproape de \(1\) decât de \(-3\).
Rezolvăm inecuația pe cale algebrică.
Deoarece ambii membri sunt nenegativi, putem ridica la pătrat fără a schimba sensul inegalității:
\[ (x-1)^2<(x+3)^2. \]
Dezvoltăm pătratele:
\[ x^2-2x+1<x^2+6x+9. \]
Scădem \(x^2\) din ambii membri:
\[ -2x+1<6x+9. \]
Trecem termenii care conțin \(x\) în membrul stâng:
\[ -8x+1<9. \]
Scădem \(1\):
\[ -8x<8. \]
Împărțim acum la \(-8\).
Deoarece împărțim la un număr negativ, sensul inegalității se schimbă:
\[ x>-1. \]
Prin urmare, mulțimea soluțiilor este:
\[ (-1,+\infty). \]
Geometric, punctul de separare este mijlocul dintre \(-3\) și \(1\), adică:
\[ \frac{-3+1}{2}=-1. \]
Toate punctele situate la dreapta lui \(-1\) sunt, așadar, mai aproape de \(1\) decât de \(-3\).