Intervalele și vecinătățile sunt submulțimi particulare ale dreptei reale. Ele permit descrierea riguroasă a mulțimilor de numere reale cuprinse între două capete, respectiv a regiunilor dreptei situate în imediata apropiere a unui punct dat.
Intervalele reprezintă porțiuni continue ale dreptei reale, în timp ce vecinătățile descriu regiunile dreptei situate suficient de aproape de un punct fixat.
În cele ce urmează vom studia în mod riguros intervalele și vecinătățile, distingând între intervale deschise, închise, mărginite, nemărginite și principalele tipuri de vecinătăți.
Cuprins
- Intervale pe Dreapta Reală
- Definiție Formală a Intervalului
- Intervale Mărginite: Deschise, Închise și Semideschise
- Capete, Centru, Lungime și Rază
- Intervale Nemărginite și Semidrepte
- Reprezentarea Grafică a Intervalelor
- Mulțimi Deschise și Închise
- Vecinătăți ale unui Punct
- Vecinătăți Circulare Deschise și Închise
- Vecinătăți Drepte și Stângi
- Vecinătăți Circulare Punctate
- Vecinătăți ale lui \(+\infty\) și \(-\infty\)
- Observații Finale
Intervale pe Dreapta Reală
Un interval este o mulțime de numere reale care ocupă o porțiune continuă a dreptei reale.
De exemplu: \[ [2,5] \]
conține toate numerele reale cuprinse între \(2\) și \(5\), capetele incluse.
Mulțimea: \[ (2,5) \qquad \text{sau} \qquad ]2,5[ \]
conține în schimb toate numerele reale strict cuprinse între \(2\) și \(5\), fără a include capetele \(2\) și \(5\).
În numeroase manuale de analiză matematică se preferă a doua notație, cu paranteze pătrate răsturnate, pentru a indica intervalul deschis.
Ideea fundamentală este că un interval nu prezintă întreruperi: dacă conține două numere, atunci conține și toate numerele cuprinse între ele.
Definiție Formală a Intervalului
În matematică, un interval este o submulțime convexă particulară a dreptei reale.
Formal, o submulțime: \[ I\subseteq\mathbb{R} \]
se numește interval dacă:
\[ \forall x,y\in I,\ \forall z\in\mathbb{R},\quad \min(x,y)<z<\max(x,y) \Longrightarrow z\in I \]
Aceasta înseamnă că, oricare ar fi două elemente ale mulțimii, toate numerele cuprinse între ele aparțin tot mulțimii.
Această proprietate garantează absența „lacunelor" interioare.
Exemplu. \[ [1,4] \] este un interval.
Într-adevăr, oricare ar fi două numere aparținând lui \([1,4]\), toate valorile cuprinse între ele aparțin tot intervalului.
Contraexemplu. \[ [1,2]\cup[3,4] \]
nu este un interval.
Într-adevăr: \[ 1.5\in [1,2]\cup[3,4], \qquad 3.5\in [1,2]\cup[3,4] \]
dar: \[ 2.5\notin [1,2]\cup[3,4] \]
deși: \[ 1.5<2.5<3.5 \]
Intervale Mărginite: Deschise, Închise și Semideschise
Fie: \[ a,b\in\mathbb{R}, \qquad a<b \]
Intervalele mărginite cu capetele \(a\) și \(b\) se clasifică în funcție de includerea sau excluderea capetelor.
Intervalul deschis
Intervalul deschis cu capetele \(a\) și \(b\) exclude ambele capete:
\[ (a,b)=]a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} \]
Intervalul închis
Intervalul închis cu capetele \(a\) și \(b\) include ambele capete:
\[ [a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\} \]
Intervale semideschise
Intervalele semideschise conțin doar unul dintre cele două capete.
Se disting:
\[ [a,b)=[a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\} \]
și:
\[ (a,b]=]a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\} \]
În primul caz aparține intervalului capătul stâng \(a\), dar nu și \(b\). În cel de-al doilea caz aparține \(b\), dar nu și \(a\).
Capete, Centru, Lungime și Rază
Considerăm un interval mărginit cu capetele \(a\) și \(b\), unde:
\[ a<b \]
Se definesc:
- capătul inferior: numărul \(a\);
- capătul superior: numărul \(b\);
- lungimea (sau amplitudinea): \[ b-a \]
- centrul: \[ \frac{a+b}{2} \]
- raza: \[ \frac{b-a}{2} \]
De exemplu, pentru intervalul: \[ [2,8] \]
lungimea este: \[ 8-2=6 \]
centrul este: \[ \frac{2+8}{2}=5 \]
iar raza este: \[ \frac{8-2}{2}=3 \]
Intervale Nemărginite și Semidrepte
Un interval se numește nemărginit dacă se extinde indefinit spre dreapta, spre stânga sau în ambele direcții ale dreptei reale.
Semidreaptele nemărginite spre dreapta sunt:
\[ (a,+\infty)=]a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} \]
și:
\[ [a,+\infty)=[a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\} \]
Analog, semidreaptele nemărginite spre stânga sunt:
\[ (-\infty,b)=]-\infty,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\} \]
și:
\[ (-\infty,b]=]-\infty,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\} \]
Este important de observat că: \[ +\infty\notin\mathbb{R}, \qquad -\infty\notin\mathbb{R} \]
Prin urmare, infinitele nu pot fi niciodată incluse prin intermediul parantezelor pătrate.
Întreaga dreaptă reală poate fi reprezentată ca: \[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)=]-\infty,+\infty[ \]
Reprezentarea Grafică a Intervalelor
Intervalele pot fi reprezentate grafic pe dreapta reală.
În general:
- un punct plin indică faptul că extremitatea aparține intervalului;
- un punct gol indică faptul că extremitatea nu aparține intervalului;
- o linie continuă reprezintă toate punctele aparținând intervalului.
De exemplu, intervalul: \[ [-2,3) \qquad \text{sau} \qquad [-2,3[ \]
conține \(-2\), dar nu conține \(3\).
Pe dreapta reală este reprezentat prin:
- un punct plin în \(-2\);
- un punct gol în \(3\);
- o linie continuă între cele două capete.
Mulțimi Deschise și Închise
Intervalele permit introducerea noțiunilor de mulțime deschisă și mulțime închisă pe dreapta reală.
Un interval deschis: \[ (a,b)=]a,b[ \]
este un exemplu de mulțime deschisă, deoarece fiecare punct al său poate fi înconjurat de un interval mic, complet conținut în mulțime.
Un interval închis: \[ [a,b] \]
este în schimb un exemplu de mulțime închisă a dreptei reale.
Intervalele: \[ [a,b), \qquad (a,b] \]
care se mai scriu și: \[ [a,b[, \qquad ]a,b] \]
nu sunt nici deschise, nici închise.
Vecinătăți ale unui Punct
Noțiunea de vecinătate formalizează ideea de proximitate față de un punct al dreptei reale.
Fie: \[ x_0\in\mathbb{R} \]
O mulțime: \[ U\subseteq\mathbb{R} \]
se numește vecinătate a lui \(x_0\) dacă conține un interval deschis care îl conține pe \(x_0\).
Echivalent, \(U\) este o vecinătate a lui \(x_0\) dacă există două numere reale \(a,b\) astfel încât:
\[ x_0\in(a,b)\subseteq U \qquad \text{sau} \qquad x_0\in]a,b[\subseteq U \]
Intuitiv, o vecinătate conține întotdeauna o regiune suficient de apropiată de punctul \(x_0\).
Vecinătăți Circulare Deschise și Închise
Cele mai utilizate vecinătăți sunt vecinătățile circulare, adică intervale centrate într-un punct.
Fie: \[ x_0\in\mathbb{R}, \qquad r>0 \]
unde \(r\) se numește raza vecinătății.
Vecinătatea circulară deschisă
Vecinătatea circulară deschisă de centru \(x_0\) și rază \(r\) este:
\[ I(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\} \]
Echivalent:
\[ I(x_0,r) = (x_0-r,x_0+r) = ]x_0-r,x_0+r[ \]
Condiția: \[ |x-x_0|<r \]
exprimă faptul că distanța dintre \(x\) și \(x_0\) este mai mică decât \(r\).
Vecinătatea circulară închisă
Vecinătatea circulară închisă de centru \(x_0\) și rază \(r\) este:
\[ \overline{I}(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\} \]
Echivalent:
\[ \overline{I}(x_0,r) = [x_0-r,x_0+r] \]
În acest caz sunt incluse și capetele intervalului.
Exemplu. Vecinătatea circulară deschisă de centru \(3\) și rază \(2\) este:
\[ I(3,2) = (1,5) = ]1,5[ \]
Vecinătăți Drepte și Stângi
Uneori prezintă interes studiul exclusiv al punctelor situate la dreapta sau la stânga unui punct fixat.
O vecinătate dreaptă deschisă a lui \(x_0\) este o mulțime de forma:
\[ (x_0,x_0+r) = ]x_0,x_0+r[ \]
cu: \[ r>0 \]
Analog, o vecinătate stângă deschisă a lui \(x_0\) este:
\[ (x_0-r,x_0) = ]x_0-r,x_0[ \]
cu: \[ r>0 \]
Prima conține exclusiv puncte mai mari decât \(x_0\), în timp ce a doua conține exclusiv puncte mai mici decât \(x_0\).
Vecinătăți Perforate
O vecinătate perforată este o vecinătate circulară din care se elimină punctul central.
Formal:
\[ I^\ast(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\} \]
Echivalent:
\[ I^\ast(x_0,r) = (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r) = ]x_0-r,x_0[ \cup ]x_0,x_0+r[ \]
Condiția: \[ 0<|x-x_0| \]
exclude punctul: \[ x=x_0 \]
în timp ce: \[ |x-x_0|<r \]
păstrează toate punctele aflate la distanță mai mică de \(r\) față de \(x_0\).
Exemplu. Pentru: \[ x_0=4, \qquad r=1 \]
se obține:
\[ I^\ast(4,1) = (3,4)\cup(4,5) = ]3,4[ \cup ]4,5[ \]
Vecinătăți ale lui \(+\infty\) și \(-\infty\)
Pentru a putea studia comportamentul funcțiilor pentru valori nelimitat de mari, noțiunea de vecinătate se extinde și la infinit.
Se definește vecinătate a lui \(+\infty\) orice semidreaptă deschisă de forma:
\[ (M,+\infty) = ]M,+\infty[ \]
cu: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Intuitiv, această vecinătate reprezintă mulțimea tuturor numerelor reale mai mari decât un număr pozitiv \(M\) ales oricât de mare.
Analog, se definește vecinătate a lui \(-\infty\) orice semidreaptă deschisă de forma:
\[ (-\infty,-M) = ]-\infty,-M[ \]
cu: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Această mulțime descrie regiunea dreptei reale formată din toate numerele mai mici decât o valoare negativă \(-M\) oricât de mare în valoare absolută.
Observații Finale
Intervalele și vecinătățile permit descrierea riguroasă a submulțimilor dreptei reale și a regiunilor din apropierea unui punct.
Intervalele disting între capete incluse și capete excluse, în timp ce vecinătățile introduc noțiunea de proximitate pe dreapta reală.
În particular:
- intervalele deschise nu conțin capetele;
- intervalele închise conțin capetele;
- intervalele semideschise conțin doar unul dintre capete;
- vecinătățile circulare deschise sunt intervale deschise centrate într-un punct;
- vecinătățile circulare închise includ și capetele;
- vecinătățile circulare punctate exclud punctul central;
- vecinătățile lui \(+\infty\) și \(-\infty\) reprezintă semidrepte deschise care se extind dincolo de orice valoare oricât de mare.
Aceste noțiuni vor fi utilizate în mod constant în studiul funcțiilor și al analizei matematice.