Șirurile monotone (atât crescătoare, cât și descrescătoare) au o proprietate fundamentală: admit întotdeauna limită, finită sau infinită. Acest rezultat, cunoscut sub numele de teorema limitei unui șir monoton, afirmă că un șir crescător converge către marginea sa superioară, iar un șir descrescător converge către marginea sa inferioară.
Cuprins
Teoremă (limita unui șir monoton). Fie \( \{ a_n \}\) un șir monoton. Atunci acesta admite limită și are loc:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{cases} \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \} &\text{dacă} \ \{ a_n \} \ \text{este crescător,} \\ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} &\text{dacă} \ \{ a_n \} \ \text{este descrescător.} \end{cases} \]
Demonstrație pentru \( a_n \) Crescător
Demonstrație (\( \{ a_n \} \) crescător). Fie \(S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Prin definiția marginii superioare:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad a_n \leq S \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad S - \varepsilon < a_k \]
Deoarece șirul este crescător, pentru orice \(n \geq k\) avem:
\[ S - \varepsilon < a_k \leq a_n \leq S \]
Prin urmare:
\[ |a_n - S| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Așadar, \[ \lim_{n \to \infty} a_n = S = \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n. \] Dacă însă \(S = +\infty\), atunci \(\{a_n\}\) nu este mărginit superior și, prin urmare,
\[ \forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu > M; \]
iar din faptul că \(\{a_n\}\) este crescător rezultă:
\[ a_n \geq a_\nu > M \quad \forall n \geq \nu \]
adică \[ a_n \to +\infty \quad \text{pentru} \quad n \to +\infty. \]
Demonstrație pentru \( a_n \) Descrescător
Demonstrație (\( \{ a_n \} \) descrescător). Fie \(L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n\). Prin definiția marginii inferioare:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_n \]
\[ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists k \in \mathbb{N} \quad : \quad L \leq a_k < L + \varepsilon \]
Deoarece șirul este descrescător, pentru orice \(n \geq k\) avem:
\[ L \leq a_n \leq a_k < L + \varepsilon \]
Prin urmare:
\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \forall n \geq k \]
Așadar, \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n. \] Dacă însă \(L = -\infty\), atunci \(\{a_n\}\) nu este mărginit inferior și, prin urmare,
\[ \forall M > 0 \quad \exists \nu \in \mathbb{N} \quad : \quad a_\nu < -M; \]
iar din faptul că \(\{a_n\}\) este descrescător rezultă:
\[ a_n \leq a_\nu < -M \quad \forall n \geq \nu \]
adică \[ a_n \to -\infty \quad \text{pentru} \quad n \to +\infty. \]
În ambele cazuri, am demonstrat că limita există și este egală cu marginea superioară în cazul unui șir crescător, respectiv cu marginea inferioară în cazul unui șir descrescător.