Marginea Superioară și Inferioară: Definiție, Proprietăți și Exemple

Marginea superioară și marginea inferioară generalizează noțiunile de maxim și de minim ale unei mulțimi și permit descrierea riguroasă a comportamentului mulțimilor mărginite.

Spre deosebire de maxim și de minim, marginea superioară și marginea inferioară pot exista chiar și atunci când valorile extreme corespunzătoare nu aparțin mulțimii.

În secțiunile următoare vom introduce definițiile noțiunilor de majorant, minorant, margine superioară și margine inferioară, le vom studia principalele proprietăți și vom analiza mai multe exemple semnificative.

Cuprins

• Majoranți și minoranți
• Marginea superioară
• Marginea inferioară
• Unicitatea marginii superioare și a marginii inferioare
• Caracterizarea marginii superioare
• Caracterizarea marginii inferioare
• Relația cu maximul și minimul
• Exemple
• Completitudinea numerelor reale

Pentru a introduce noțiunile de margine superioară și margine inferioară, trebuie să pornim de la două noțiuni fundamentale: cele de majorant și de minorant.

Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă.

Definiție. Un număr real \(M\) se numește majorant al lui \(A\) dacă:

\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]

Cu alte cuvinte, un majorant este un număr mai mare sau egal cu toate elementele mulțimii.

Analog, un număr real \(m\) se numește minorant al lui \(A\) dacă:

\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]

Un minorant este, așadar, un număr mai mic sau egal cu toate elementele mulțimii.

Exemplul 1. Să considerăm intervalul \( A=(1,5). \)

Deoarece orice element este mai mic decât \(5\), numărul \(5\) este un majorant al lui \(A\). De asemenea, numerele \(6\), \(10\), \(100\) și, mai general, toate numerele reale mai mari sau egale cu \(5\) sunt majoranți ai mulțimii.

Analog, numărul \(1\) este un minorant al lui \(A\). La fel sunt și \(0\), \(-3\), \(-100\) și, mai general, toate numerele reale mai mici sau egale cu \(1\).

Observăm astfel că una și aceeași mulțime poate poseda o infinitate de majoranți și o infinitate de minoranți.

Mulțimi mărginite superior și inferior

Definiție. O mulțime care posedă cel puțin un majorant se numește mărginită superior, în timp ce o mulțime care posedă cel puțin un minorant se numește mărginită inferior.

Dacă o mulțime este mărginită atât superior, cât și inferior, se numește pur și simplu mărginită.

Este important să observăm că termenul mărginită nu are nicio legătură cu noțiunea de limită a unui șir sau a unei funcții. A spune că o mulțime este mărginită înseamnă, pur și simplu, că toate elementele sale sunt cuprinse între un minorant și un majorant convenabili.

Exemplul 2. Intervalul

\[ (1,5) \]

este mărginit superior și inferior. De exemplu, \(5\) este un majorant, iar \(1\) este un minorant.

Exemplul 3. Mulțimea \( [0,+\infty) \) este mărginită inferior, dar nu este mărginită superior. Într-adevăr, \(0\) este un minorant, în timp ce nu există niciun număr real care să fie mai mare sau egal cu toate elementele mulțimii.

Exemplul 4. Mulțimea \( \mathbb{R} \) nu este nici mărginită superior, nici mărginită inferior.

Noțiunile de majorant și de minorant constituie punctul de plecare pentru introducerea marginii superioare și a marginii inferioare, care vor fi definite în secțiunile următoare.

Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă și mărginită superior. Mulțimea majoranților săi este, așadar, nevidă, iar printre ei există unul privilegiat: cel mai mic.

Definiție. Se numește margine superioară a lui \(A\), și se notează cu \(\sup A\), cel mai mic dintre majoranții lui \(A\).

În mod echivalent, un număr real \(s\) este marginea superioară a lui \(A\) dacă satisface cele două condiții următoare:

• \(s\) este un majorant al lui \(A\), adică \(x\leq s\) pentru orice \(x\in A\);
• dacă \(M\) este un majorant al lui \(A\), atunci \(s\leq M\).

Prima condiție afirmă că \(s\) „se află deasupra” tuturor elementelor lui \(A\); cea de-a doua, că niciun număr mai mic decât \(s\) nu se bucură de aceeași proprietate.

Existența marginii superioare pentru orice mulțime nevidă și mărginită superior nu este deloc evidentă: ea este garantată de o proprietate fundamentală a numerelor reale, axioma marginii superioare, pe care o vom discuta în ultima secțiune.

Exemplul 5. Să reluăm intervalul:

\[ A=(1,5). \]

Majoranții săi sunt exact numerele reale mai mari sau egale cu \(5\), adică mulțimea \([5,+\infty)\). Cel mai mic dintre ei este \(5\), așadar:

\[ \sup A=5. \]

Se observă că \(5\notin A\): marginea superioară nu aparține în mod necesar mulțimii.

În mod perfect simetric se introduce marginea inferioară. Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă și mărginită inferior: mulțimea minoranților săi este nevidă și conține un element privilegiat, cel mai mare.

Definiție. Se numește margine inferioară a lui \(A\), și se notează cu \(\inf A\), cel mai mare dintre minoranții lui \(A\).

În mod echivalent, un număr real \(i\) este marginea inferioară a lui \(A\) dacă satisface cele două condiții următoare:

• \(i\) este un minorant al lui \(A\), adică \(i\leq x\) pentru orice \(x\in A\);
• dacă \(m\) este un minorant al lui \(A\), atunci \(m\leq i\).

Și în acest caz, existența marginii inferioare pentru orice mulțime nevidă și mărginită inferior decurge din axioma marginii superioare.

Exemplul 6. Să considerăm din nou:

\[ A=(1,5). \]

Minoranții săi sunt exact numerele reale mai mici sau egale cu \(1\), adică mulțimea \((-\infty,1]\). Cel mai mare dintre ei este \(1\), așadar:

\[ \inf A=1. \]

Ca și în cazul marginii superioare, observăm că \(1\notin A\).

Observație (mulțimi nemărginite). Definițiile precedente se referă la mulțimi mărginite superior sau inferior. Pentru a trata în mod uniform și cazul nemărginit, se adoptă adesea următoarea convenție: dacă \(A\) nu este mărginită superior, se pune

\[ \sup A=+\infty, \]

în timp ce, dacă \(A\) nu este mărginită inferior, se pune

\[ \inf A=-\infty. \]

Simbolurile \(+\infty\) și \(-\infty\) nu sunt numere reale: egalitatea \(\sup A=+\infty\) este doar un mod concis de a afirma că \(A\) nu posedă niciun majorant. Cu această convenție, orice submulțime nevidă a lui \(\mathbb{R}\) este înzestrată cu o margine superioară și o margine inferioară, finite sau infinite. De exemplu, \(\sup\mathbb{R}=+\infty\) și \(\inf\mathbb{R}=-\infty\), în timp ce pentru mulțimea \([0,+\infty)\) avem \(\inf=0\) și \(\sup=+\infty\).

Atunci când există, marginea superioară și marginea inferioară ale unei mulțimi sunt unice.

Propoziție. Dacă o mulțime \(A\subseteq\mathbb{R}\) posedă o margine superioară, atunci aceasta este unică.

Demonstrație. Să presupunem că \(s_1\) și \(s_2\) sunt două margini superioare ale lui \(A\).

Deoarece \(s_1\) este o margine superioară, orice majorant al lui \(A\) este mai mare sau egal cu \(s_1\). În particular, \(s_2\) fiind un majorant al lui \(A\), avem:

\[ s_1\leq s_2. \]

Analog, deoarece \(s_2\) este o margine superioară, iar \(s_1\) este un majorant al lui \(A\), rezultă:

\[ s_2\leq s_1. \]

Din cele două inegalități deducem:

\[ s_1=s_2. \]

Prin urmare, marginea superioară este unică.

Printr-un raționament cu totul analog se demonstrează că și marginea inferioară, atunci când există, este unică.

Monotonia în raport cu incluziunea

O altă proprietate utilă privește comportamentul acestor margini atunci când o mulțime este lărgită: adăugarea de elemente nu poate decât să mărească (sau să lase neschimbată) marginea superioară și să micșoreze (sau să lase neschimbată) marginea inferioară.

Propoziție. Fie \(A,B\subseteq\mathbb{R}\) nevide, cu \(A\subseteq B\). Dacă \(B\) este mărginită superior, atunci și \(A\) este, și

\[ \sup A\leq\sup B. \]

Analog, dacă \(B\) este mărginită inferior, atunci și \(A\) este, și

\[ \inf A\geq\inf B. \]

Demonstrație. Să presupunem că \(B\) este mărginită superior și să punem \(s=\sup B\). Pentru orice \(x\in A\) avem \(x\in B\), deoarece \(A\subseteq B\), și deci \(x\leq s\). Așadar, \(s\) este un majorant al lui \(A\): în particular, \(A\) este mărginită superior și admite o margine superioară. Deoarece \(\sup A\) este cel mai mic dintre majoranții lui \(A\), iar \(s\) este unul dintre ei, rezultă:

\[ \sup A\leq s=\sup B. \]

Cazul marginii inferioare este cu totul analog. Punând \(i=\inf B\), avem \(i\leq x\) pentru orice \(x\in B\), și deci pentru orice \(x\in A\); prin urmare, \(i\) este un minorant al lui \(A\) și există \(\inf A\). Deoarece \(\inf A\) este cel mai mare dintre minoranții lui \(A\), iar \(i\) este unul dintre ei, obținem \(\inf A\geq i=\inf B\).

Observație. Adoptând convenția introdusă în secțiunea precedentă, inegalitățile \(\sup A\leq\sup B\) și \(\inf A\geq\inf B\) rămân valabile pentru orice pereche de mulțimi nevide cu \(A\subseteq B\), chiar și nemărginite.

Definiția marginii superioare afirmă că \(\sup A\) este cel mai mic dintre toți majoranții lui \(A\). Verificarea directă a acestei proprietăți ar necesita, în principiu, compararea lui \(s\) cu totalitatea majoranților mulțimii.

Există însă o caracterizare mult mai maniabilă, care permite recunoașterea unei margini superioare examinând numai elementele lui \(A\).

Propoziție. Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă și mărginită superior, și fie \(s\in\mathbb{R}\). Atunci:

\[ s=\sup A \]

dacă și numai dacă sunt îndeplinite ambele condiții următoare:

• \(x\leq s\) pentru orice \(x\in A\);
• pentru orice \(\varepsilon>0\) există un element \(x\in A\) astfel încât \[ s-\varepsilon<x. \]

Prima condiție afirmă că \(s\) este un majorant al lui \(A\).

Cea de-a doua condiție garantează, în schimb, că niciun număr strict mai mic decât \(s\) nu poate fi un majorant al mulțimii.

Într-adevăr, fixând arbitrar \(\varepsilon>0\), există întotdeauna un element al lui \(A\) strict mai mare decât \(s-\varepsilon\). Prin urmare, \(s-\varepsilon\) nu poate fi un majorant al lui \(A\).

Echivalența se înțelege observând semnificația celor două condiții. Dacă ar fi îndeplinită prima, dar nu și a doua, ar exista un \(\varepsilon>0\) astfel încât niciun element al lui \(A\) să nu depășească \(s-\varepsilon\): atunci \(s-\varepsilon\) ar fi, la rândul său, un majorant, strict mai mic decât \(s\), și deci \(s\) nu ar putea fi cel mai mic dintre majoranți. Reciproc, dacă ambele condiții sunt îndeplinite, \(s\) este un majorant și niciun număr mai mic decât \(s\) nu este: \(s\) este, așadar, cel mai mic dintre majoranți, adică \(\sup A\).

Exemplul 7. Să considerăm intervalul:

\[ A=(1,5). \]

Să verificăm, prin intermediul caracterizării, că:

\[ \sup A=5. \]

Prima condiție. Orice element al lui \(A\) satisface \(x<5\), și deci, cu atât mai mult, \(x\leq 5\). Așadar, \(5\) este un majorant al lui \(A\).

A doua condiție. Fie \(\varepsilon>0\). Trebuie să exhibăm un element al lui \(A\) mai mare decât \(5-\varepsilon\).

Dacă \(\varepsilon\geq 4\), atunci:

\[ 5-\varepsilon\leq 1, \]

și deci orice element al lui \(A\) este deja mai mare decât \(5-\varepsilon\): condiția este îndeplinită în mod trivial.

Dacă, în schimb, \(0<\varepsilon<4\), să considerăm numărul:

\[ x=5-\frac{\varepsilon}{2}. \]

Deoarece \(0<\dfrac{\varepsilon}{2}<2\), avem:

\[ 3<x<5, \]

și deci \(x\in(1,5)=A\). În plus, \(\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\) implică:

\[ 5-\varepsilon<x. \]

În ambele cazuri am găsit un element al lui \(A\) mai mare decât \(5-\varepsilon\). A doua condiție este, așadar, îndeplinită pentru orice \(\varepsilon>0\).

Ambele condiții fiind îndeplinite, conchidem că:

\[ \sup A=5, \]

deși \(5\notin A\). Acest exemplu scoate în evidență natura marginii superioare: o valoare de care elementele mulțimii se pot apropia oricât de mult, fără ca ea să trebuiască neapărat să aparțină mulțimii.

Analog marginii superioare, și marginea inferioară admite o caracterizare echivalentă, deosebit de utilă în aplicații.

Propoziție. Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime nevidă și mărginită inferior, și fie \(i\in\mathbb{R}\). Atunci:

\[ i=\inf A \]

dacă și numai dacă sunt îndeplinite ambele condiții următoare:

• \(i\leq x\) pentru orice \(x\in A\);
• pentru orice \(\varepsilon>0\) există un element \(x\in A\) astfel încât \[ x<i+\varepsilon. \]

Prima condiție afirmă că \(i\) este un minorant al lui \(A\).

Cea de-a doua condiție garantează, în schimb, că niciun număr strict mai mare decât \(i\) nu poate fi un minorant al mulțimii.

Într-adevăr, fixând arbitrar \(\varepsilon>0\), există întotdeauna un element al lui \(A\) strict mai mic decât \(i+\varepsilon\). Prin urmare, \(i+\varepsilon\) nu poate fi un minorant al lui \(A\).

Echivalența se înțelege observând semnificația celor două condiții. Dacă ar fi îndeplinită prima, dar nu și a doua, ar exista un \(\varepsilon>0\) astfel încât:

\[ x\geq i+\varepsilon \qquad \forall x\in A. \]

În acest caz, \(i+\varepsilon\) ar fi un minorant al lui \(A\) strict mai mare decât \(i\), în contradicție cu faptul că \(i\) este cel mai mare dintre minoranți.

Reciproc, dacă ambele condiții sunt îndeplinite, \(i\) este un minorant și niciun număr mai mare decât \(i\) nu este un minorant. Prin urmare, \(i\) coincide cu cel mai mare dintre minoranți, adică cu marginea inferioară a lui \(A\).

Exemplul 8. Să considerăm intervalul:

\[ A=(1,5). \]

Să verificăm, prin intermediul caracterizării precedente, că:

\[ \inf A=1. \]

Prima condiție. Orice element al lui \(A\) satisface \(1<x\), și deci, cu atât mai mult, \(1\leq x\). Rezultă că \(1\) este un minorant al lui \(A\).

A doua condiție. Fie \(\varepsilon>0\).

Dacă \(\varepsilon\geq 4\), atunci:

\[ 1+\varepsilon\geq 5, \]

și deci orice element al lui \(A\) este mai mic decât \(1+\varepsilon\).

Dacă, în schimb, \(0<\varepsilon<4\), să considerăm:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2}. \]

Deoarece:

\[ 0<\frac{\varepsilon}{2}<2, \]

obținem:

\[ 1<x<3<5. \]

Prin urmare:

\[ x\in(1,5)=A. \]

În plus:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2} < 1+\varepsilon. \]

În ambele cazuri există un element al lui \(A\) mai mic decât \(1+\varepsilon\). A doua condiție este, așadar, verificată.

Ambele condiții fiind îndeplinite, conchidem că:

\[ \inf(1,5)=1. \]

Observație. Deoarece:

\[ 1\notin(1,5), \]

marginea inferioară nu este în mod necesar un element al mulțimii.

Marginea superioară și marginea inferioară sunt strâns legate de maxim și de minim, ale căror generalizare o constituie. Diferența esențială este una singură: maximul și minimul trebuie să aparțină mulțimii, în timp ce marginea superioară și marginea inferioară, nu.

Propoziție. Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) nevidă și mărginită superior. Atunci \(A\) posedă un maxim dacă și numai dacă:

\[ \sup A\in A, \]

iar în acest caz:

\[ \max A=\sup A. \]

Demonstrație. Să presupunem mai întâi că \(A\) posedă un maxim și să punem \(m=\max A\).

Prin definiția maximului, \(m\in A\) și \(x\leq m\) pentru orice \(x\in A\), astfel încât \(m\) este un majorant al lui \(A\). În plus, dacă \(M\) este un majorant oarecare al lui \(A\), atunci \(M\geq x\) pentru orice \(x\in A\) și, în particular, \(m\in A\) implică:

\[ M\geq m. \]

Așadar, \(m\) este cel mai mic dintre majoranți, adică \(m=\sup A\); în particular, \(\sup A=m\in A\).

Reciproc, să presupunem că \(\sup A\in A\) și să punem \(s=\sup A\). Atunci \(s\) este un majorant, astfel încât \(x\leq s\) pentru orice \(x\in A\); în plus, \(s\in A\). Prin definiție, \(s\) este, așadar, maximul lui \(A\), și \(\max A=s=\sup A\).

În mod cu totul analog se demonstrează că \(A\), nevidă și mărginită inferior, posedă un minim dacă și numai dacă \(\inf A\in A\), iar în acest caz:

\[ \min A=\inf A. \]

Pe scurt: marginea superioară există întotdeauna (pentru o mulțime nevidă și mărginită superior), în timp ce maximul există numai atunci când marginea superioară aparține mulțimii. Același lucru este valabil, simetric, pentru marginea inferioară și minim.

Exemplul 9. Pentru intervalul închis:

\[ A=[1,5], \]

avem \(\sup A=5\) și \(\inf A=1\); deoarece \(5\in A\) și \(1\in A\), ambele margini aparțin mulțimii și, prin urmare:

\[ \max A=5,\qquad \min A=1. \]

Pentru intervalul deschis:

\[ A=(1,5), \]

avem încă \(\sup A=5\) și \(\inf A=1\), dar acum \(5\notin A\) și \(1\notin A\): mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim, deși este înzestrată cu o margine superioară și o margine inferioară.

Să aplicăm definițiile și rezultatele precedente câtorva mulțimi remarcabile, determinând pentru fiecare marginea superioară, marginea inferioară și, dacă există, maximul și minimul.

Exemplul 10. \[ A=[-2,3). \]

Marginea inferioară este \(-2\), care aparține mulțimii; prin urmare:

\[ \inf A=\min A=-2. \]

Marginea superioară este \(3\), care, în schimb, nu aparține mulțimii:

\[ \sup A=3, \]

în timp ce maximul nu există.

Exemplul 11. \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Elementele sunt \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ldots\) Cea mai mare valoare este \(1\), obținută pentru \(n=1\), și aparține mulțimii:

\[ \sup A=\max A=1. \]

Elementele descresc apropiindu-se de \(0\) fără a-l atinge vreodată. Numărul \(0\) este un minorant și, pentru orice \(\varepsilon>0\), alegând \(n\) astfel încât \(\frac1n<\varepsilon\) se obține un element mai mic decât \(0+\varepsilon\). Prin urmare:

\[ \inf A=0, \]

în timp ce minimul nu există, deoarece \(0\notin A\).

Exemplul 12. \[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Deoarece \(\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\), șirul este crescător. Primul element, pentru \(n=1\), este \(\frac12\), și aparține mulțimii:

\[ \inf A=\min A=\frac12. \]

Elementele cresc apropiindu-se de \(1\) fără a-l atinge vreodată, astfel încât:

\[ \sup A=1, \]

în timp ce maximul nu există, deoarece \(1\notin A\).

Exemplul 13. \[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Este convenabil să distingem termenii de indice par și impar.

Pentru \(n\) par, elementul este \(1+\frac1n\); acești termeni descresc, iar cel mai mare se obține pentru \(n=2\):

\[ 1+\frac12=\frac32. \]

Toate celelalte elemente ale mulțimii sunt mai mici decât \(\frac32\), care aparține lui \(A\). Prin urmare:

\[ \sup A=\max A=\frac32. \]

Pentru \(n\) impar, elementul este \(-1+\frac1n\); acești termeni descresc apropiindu-se de \(-1\) fără a-l atinge vreodată. Numărul \(-1\) este un minorant al lui \(A\) și, pentru orice \(\varepsilon>0\), alegând un \(n\) impar cu \(\frac1n<\varepsilon\) se obține un element mai mic decât \(-1+\varepsilon\). Prin urmare:

\[ \inf A=-1, \]

în timp ce minimul nu există, deoarece niciun element al mulțimii nu este egal cu \(-1\).

Am afirmat de mai multe ori că orice mulțime nevidă și mărginită superior posedă o margine superioară. Această proprietate nu este o consecință a regulilor algebrice sau a relației de ordine: este o proprietate structurală a numerelor reale, luată drept axiomă.

Axioma marginii superioare. Orice submulțime a lui \(\mathbb{R}\) nevidă și mărginită superior admite o margine superioară în \(\mathbb{R}\).

Din această axiomă se deduce imediat proprietatea simetrică pentru marginea inferioară: orice submulțime a lui \(\mathbb{R}\) nevidă și mărginită inferior admite o margine inferioară în \(\mathbb{R}\). Este suficient să observăm că, punând \(-A=\{-x:x\in A\}\), avem:

\[ \inf A=-\sup(-A). \]

Importanța axiomei marginii superioare reiese cu claritate atunci când comparăm \(\mathbb{R}\) cu corpul numerelor raționale \(\mathbb{Q}\), care nu se bucură de această proprietate.

O mulțime rațională lipsită de margine superioară în \(\mathbb{Q}\)

Să considerăm submulțimea lui \(\mathbb{Q}\):

\[ B=\left\{x\in\mathbb{Q}:x>0,\ x^2<2\right\}. \]

Mulțimea \(B\) este nevidă, deoarece \(1\in B\), și este mărginită superior în \(\mathbb{Q}\): dacă \(x\in B\), atunci \(x^2<2<4\), de unde \(x<2\), și deci \(2\) este un majorant.

Să arătăm însă că \(B\) nu posedă o margine superioară în interiorul lui \(\mathbb{Q}\). Să presupunem, prin reducere la absurd, că există \(s\in\mathbb{Q}\) cu \(s=\sup B\); deoarece \(\sqrt2\) nu este rațional, trebuie să avem \(s^2\neq 2\), deci \(s^2<2\) sau \(s^2>2\).

Dacă \(s^2<2\), alegem un rațional \(h\) cu \(0<h<1\) și:

\[ h<\frac{2-s^2}{2s+1}. \]

Atunci, folosind \(h^2<h\):

\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2<s^2+h(2s+1)<s^2+(2-s^2)=2, \]

astfel încât \(s+h\in B\) și \(s+h>s\): aceasta contrazice faptul că \(s\) este un majorant.

Dacă, în schimb, \(s^2>2\), alegem un rațional \(h\) cu:

\[ 0<h<\frac{s^2-2}{2s}. \]

Atunci:

\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2>s^2-2sh>s^2-(s^2-2)=2. \]

Rezultă că \(s-h\) este încă un majorant al lui \(B\) (orice element \(x\in B\) satisface \(x^2<2<(s-h)^2\), de unde \(x<s-h\)), dar \(s-h<s\): aceasta contrazice faptul că \(s\) este cel mai mic dintre majoranți.

În ambele cazuri se ajunge la o contradicție. Prin urmare, \(B\) nu admite o margine superioară în \(\mathbb{Q}\).

În mulțimea numerelor reale, în schimb, marginea superioară există, și este:

\[ \sup B=\sqrt2. \]

Acest exemplu arată că \(\mathbb{Q}\) prezintă „găuri”: există mulțimi raționale mărginite superior care se acumulează în jurul unei valori fără ca acea valoare să aparțină lui \(\mathbb{Q}\). Axioma marginii superioare afirmă tocmai că în \(\mathbb{R}\) aceste găuri nu există: numerele reale formează un continuu lipsit de lacune.

Această proprietate este cea care face posibilă dezvoltarea riguroasă a noțiunilor de limită, continuitate, derivată și integrală, care constituie fundamentul analizei matematice.