Marginea superioară și marginea inferioară generalizează noțiunile de maxim și de minim și constituie unul dintre instrumentele fundamentale pentru studiul mulțimilor numerice.
În exercițiile care urmează vom învăța să determinăm majoranții, minoranții, marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul, prin exemple rezolvate și comentate pas cu pas.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine mulțimea majoranților, mulțimea minoranților, marginea superioară și marginea inferioară a mulțimii:
\[ A=(2,7). \]
Rezultat
\[ \sup A=7,\qquad \inf A=2. \]
Mulțimea majoranților:
\[ [7,+\infty). \]
Mulțimea minoranților:
\[ (-\infty,2]. \]
Rezolvare
Elementele mulțimii \(A=(2,7)\) sunt toate numerele reale — și numai acestea — strict cuprinse între \(2\) și \(7\).
Prin definiție, un majorant al lui \(A\) este un număr real mai mare sau egal cu toate elementele mulțimii.
Deoarece fiecare element al lui \(A\) este strict mai mic decât \(7\), numărul \(7\) este un majorant.
De asemenea, orice număr mai mare decât \(7\) este, la rândul său, un majorant. Prin urmare, mulțimea tuturor majoranților este:
\[ [7,+\infty). \]
Marginea superioară este cel mai mic dintre majoranți. Întrucât \(7\) este primul element al mulțimii majoranților, rezultă că:
\[ \sup A=7. \]
Să considerăm acum minoranții.
Un minorant este un număr real mai mic sau egal cu toate elementele mulțimii.
Deoarece fiecare element al lui \(A\) este strict mai mare decât \(2\), numărul \(2\) este un minorant.
De asemenea, orice număr mai mic decât \(2\) este, la rândul său, un minorant. În consecință, mulțimea tuturor minoranților este:
\[ (-\infty,2]. \]
Marginea inferioară este cel mai mare dintre minoranți. Prin urmare:
\[ \inf A=2. \]
Observăm, în final, că \(2\notin A\) și \(7\notin A\). Din acest motiv mulțimea nu posedă nici minim, nici maxim, deși admite margine inferioară și margine superioară.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine mulțimea majoranților, mulțimea minoranților, marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=[-3,4]. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Mulțimea majoranților:
\[ [4,+\infty). \]
Mulțimea minoranților:
\[ (-\infty,-3]. \]
Rezolvare
Elementele mulțimii \(A=[-3,4]\) sunt toate numerele reale cuprinse între \(-3\) și \(4\), capetele fiind incluse.
Prin urmare:
\[ -3\leq x\leq 4 \qquad \forall x\in A. \]
Deoarece fiecare element al mulțimii este mai mic sau egal cu \(4\), numărul \(4\) este un majorant al lui \(A\).
Toate numerele mai mari decât \(4\) sunt, de asemenea, majoranți. Rezultă că mulțimea majoranților este:
\[ [4,+\infty). \]
Cel mai mic dintre majoranți este \(4\). Prin urmare:
\[ \sup A=4. \]
În mod analog, deoarece fiecare element al lui \(A\) este mai mare sau egal cu \(-3\), numărul \(-3\) este un minorant.
Toate numerele mai mici decât \(-3\) sunt, de asemenea, minoranți. Așadar, mulțimea minoranților este:
\[ (-\infty,-3]. \]
Cel mai mare dintre minoranți este \(-3\), de unde:
\[ \inf A=-3. \]
Să observăm acum că atât \(4\), cât și \(-3\) aparțin mulțimii.
În consecință:
\[ \max A=4, \qquad \min A=-3. \]
Acest exemplu arată că, atunci când marginea superioară aparține mulțimii, ea coincide cu maximul, iar atunci când marginea inferioară aparține mulțimii, ea coincide cu minimul.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se determine mulțimea majoranților, mulțimea minoranților, marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=[0,5). \]
Rezultat
\[ \sup A=5, \qquad \inf A=\min A=0. \]
Maximul nu există.
Mulțimea majoranților:
\[ [5,+\infty). \]
Mulțimea minoranților:
\[ (-\infty,0]. \]
Rezolvare
Elementele lui \(A=[0,5)\) satisfac:
\[ 0\leq x<5. \]
În consecință, \(5\) este un majorant al mulțimii.
În plus, orice număr mai mare decât \(5\) este, la rândul său, un majorant. Așadar, mulțimea majoranților este:
\[ [5,+\infty). \]
Niciun număr mai mic decât \(5\) nu poate fi majorant, deoarece există elemente ale mulțimii arbitrar de apropiate de \(5\).
Prin urmare:
\[ \sup A=5. \]
În ceea ce privește minoranții, fiecare element al mulțimii este mai mare sau egal cu \(0\).
Așadar:
\[ (-\infty,0] \]
este mulțimea tuturor minoranților.
Cel mai mare dintre ei este \(0\), de aceea:
\[ \inf A=0. \]
Deoarece \(0\in A\), rezultă imediat:
\[ \min A=0. \]
În schimb, \(5\notin A\). Din acest motiv mulțimea nu posedă maxim.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=1. \]
\[ \inf A=0. \]
Minimul nu există.
Rezolvare
Elementele mulțimii sunt:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Este vorba despre un șir strict descrescător de numere pozitive.
Cea mai mare valoare este prima:
\[ 1=\frac11. \]
Prin urmare:
\[ \sup A=\max A=1. \]
Toate elementele mulțimii sunt pozitive, așadar \(0\) este un minorant.
Să arătăm că este cel mai mare dintre minoranți.
Fie \(\varepsilon>0\). Conform principiului lui Arhimede, există \(n\in\mathbb N\) astfel încât:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
De aici rezultă:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Am găsit, așadar, un element al lui \(A\) mai mic decât \(0+\varepsilon\).
Conform caracterizării marginii inferioare:
\[ \inf A=0. \]
Totuși, \(0\notin A\), astfel încât minimul nu există.
Acesta este unul dintre exemplele clasice în care marginea inferioară există, dar nu aparține mulțimii.
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
\[ \sup A=1. \]
Maximul nu există.
Rezolvare
Să observăm, mai întâi, că:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Elementele mulțimii sunt, așadar:
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Șirul este crescător, deoarece termenul \(\displaystyle \frac1{n+1}\) scade pe măsură ce \(n\) crește.
Primul element este:
\[ \frac12. \]
Șirul fiind crescător, niciun element nu poate fi mai mic decât \(\frac12\).
În plus, \(\displaystyle\frac12\in A\), astfel încât:
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Pentru orice \(n\) avem:
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Așadar, \(1\) este un majorant al mulțimii.
Să arătăm că este cel mai mic dintre majoranți.
Fie \(\varepsilon>0\).
Conform principiului lui Arhimede, există \(n\) astfel încât:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Atunci:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1} > 1-\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii superioare, rezultă că:
\[ \sup A=1. \]
Totuși, \(1\notin A\), astfel încât maximul nu există.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
\[ \inf A=-1. \]
Minimul nu există.
Rezolvare
Este util să distingem cazurile în care \(n\) este par de cele în care \(n\) este impar.
Dacă \(n\) este par, atunci:
\[ (-1)^n+\frac1n = 1+\frac1n. \]
Obținem, așadar, valorile:
\[ \frac32,\ \frac54,\ \frac76,\ldots \]
Aceste numere sunt toate mai mari decât \(1\) și descresc către \(1\).
Cel mai mare se obține pentru \(n=2\):
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Prin urmare:
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Dacă, în schimb, \(n\) este impar:
\[ (-1)^n+\frac1n = -1+\frac1n. \]
Obținem:
\[ 0,\ -\frac23,\ -\frac45,\ldots \]
Prima valoare este \(0\), obținută pentru \(n=1\). Pentru indicii impari următori se obțin, în schimb, valori negative care se apropie treptat de \(-1\) fără a-l atinge vreodată.
Numărul \(-1\) este, așadar, un minorant al mulțimii.
În plus, pentru orice \(\varepsilon>0\), alegând \(n\) impar suficient de mare, se obține:
\[ -1+\frac1n<-1+\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii inferioare:
\[ \inf A=-1. \]
Deoarece niciun element al mulțimii nu este egal cu \(-1\), minimul nu există.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2<9\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=3, \qquad \inf A=-3. \]
Mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim.
Rezolvare
Condiția:
\[ x^2<9 \]
este echivalentă cu:
\[ -3<x<3 \]
Prin urmare:
\[ A=(-3,3). \]
Toate elementele mulțimii sunt mai mici decât \(3\), așadar \(3\) este un majorant.
În plus, există elemente ale mulțimii arbitrar de apropiate de \(3\), de exemplu:
\[ 3-\frac1n. \]
Niciun număr mai mic decât \(3\) nu poate fi, prin urmare, majorant.
Așadar:
\[ \sup A=3. \]
Printr-un raționament cu totul analog se obține:
\[ \inf A=-3. \]
Deoarece nici \(3\), nici \(-3\) nu aparțin mulțimii, nu există nici maxim, nici minim.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2\leq9\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=3. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Rezolvare
Inecuația:
\[ x^2\leq9 \]
este echivalentă cu:
\[ -3\leq x\leq3. \]
Prin urmare:
\[ A=[-3,3]. \]
Numărul \(3\) este un majorant al mulțimii.
În plus, aparține chiar mulțimii.
Rezultă că:
\[ \sup A=\max A=3. \]
În mod analog, numărul \(-3\) este un minorant și aparține mulțimii.
Prin urmare:
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Acest exercițiu pune în evidență diferența dintre intervalele deschise și intervalele închise: adăugând capetele la mulțime, maximul și minimul apar automat.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:1<x\leq 6\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=6. \]
\[ \inf A=1. \]
Minimul nu există.
Rezolvare
Mulțimea este formată din toate numerele reale mai mari decât \(1\) și mai mici sau egale cu \(6\).
Putem, așadar, scrie:
\[ A=(1,6]. \]
Fiecare element al lui \(A\) este mai mic sau egal cu \(6\), așadar \(6\) este un majorant al mulțimii.
Deoarece \(6\in A\), numărul \(6\) este totodată maximul mulțimii.
Prin urmare:
\[ \sup A=\max A=6. \]
Să considerăm acum marginea inferioară.
Fiecare element al lui \(A\) este mai mare decât \(1\), așadar \(1\) este un minorant.
În plus, niciun număr mai mare decât \(1\) nu poate fi minorant, deoarece elementele mulțimii pot fi alese arbitrar de apropiate de \(1\) prin dreapta.
Așadar:
\[ \inf A=1. \]
Totuși, \(1\notin A\), deoarece inegalitatea este strictă.
Prin urmare, minimul nu există.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x>-2\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=-2. \]
\[ \sup A=+\infty. \]
Mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim.
Rezolvare
Mulțimea conține toate numerele reale mai mari decât \(-2\). Așadar:
\[ A=(-2,+\infty). \]
Mulțimea nu este mărginită superior. Într-adevăr, oricare ar fi numărul real \(M\) ales, putem lua un număr \(x\) mai mare atât decât \(M\), cât și decât \(-2\). În acest fel, \(x\in A\) și \(x>M\).
Așadar, nu există niciun majorant real al lui \(A\).
Cu convenția uzuală:
\[ \sup A=+\infty. \]
Să studiem acum minoranții.
Fiecare element al mulțimii este mai mare decât \(-2\), așadar \(-2\) este un minorant.
În plus, niciun număr mai mare decât \(-2\) nu poate fi minorant, deoarece elementele mulțimii se pot apropia oricât de mult de \(-2\) prin dreapta.
Prin urmare:
\[ \inf A=-2. \]
Deoarece \(-2\notin A\), minimul nu există.
În plus, mulțimea fiind nemărginită superior, nu există nici maxim.
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{2-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=2. \]
Maximul nu există.
Rezolvare
Să scriem câteva elemente ale mulțimii:
\[ 1,\ \frac32,\ \frac53,\ \frac74,\ldots \]
Într-adevăr, pentru \(n=1\) se obține:
\[ 2-\frac11=1. \]
Pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\displaystyle \frac1n\) scade, așadar \(2-\frac1n\) crește.
Cea mai mică valoare este, prin urmare, prima valoare, adică \(1\).
Deoarece \(1\in A\), rezultă:
\[ \inf A=\min A=1. \]
În plus, pentru orice \(n\geq1\), avem:
\[ 2-\frac1n<2. \]
Așadar, \(2\) este un majorant al lui \(A\).
Să arătăm că este cel mai mic dintre majoranți.
Fie \(\varepsilon>0\). Conform principiului lui Arhimede, există \(n\in\mathbb N\) astfel încât:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Atunci:
\[ 2-\frac1n>2-\varepsilon. \]
Așadar, există un element al lui \(A\) mai mare decât \(2-\varepsilon\).
Conform caracterizării marginii superioare:
\[ \sup A=2. \]
Deoarece \(2\notin A\), maximul nu există.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
\[ \sup A=2. \]
Maximul nu există.
Rezolvare
Să rescriem termenul general într-o formă mai utilă:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = 2-\frac1{n+1}. \]
Așadar:
\[ A=\left\{2-\frac1{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Să calculăm primul element:
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
Pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\displaystyle \frac1{n+1}\) scade, așadar \(2-\displaystyle \frac1{n+1}\) crește.
Prin urmare, cea mai mică valoare a mulțimii este:
\[ \frac32. \]
Deoarece această valoare aparține mulțimii, avem:
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
În plus, pentru orice \(n\geq1\), avem:
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Așadar, \(2\) este un majorant.
Pentru a demonstra că \(2\) este marginea superioară, folosim caracterizarea cu \(\varepsilon\).
Fie \(\varepsilon>0\). Alegem \(n\) suficient de mare astfel încât:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Atunci:
\[ 2-\frac1{n+1}>2-\varepsilon. \]
Așadar, există un element al lui \(A\) mai mare decât \(2-\varepsilon\).
Rezultă:
\[ \sup A=2. \]
În sfârșit, \(2\notin A\), deoarece \(\displaystyle \frac1{n+1}\) nu este niciodată egal cu \(0\). De aceea maximul nu există.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+2}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
\[ \sup A=1. \]
Maximul nu există.
Rezolvare
Să rescriem termenul general într-o formă mai lizibilă:
\[ \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2}. \]
Elementele mulțimii sunt:
\[ \frac13,\ \frac24,\ \frac35,\ \frac46,\ldots \]
Pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\displaystyle \frac{2}{n+2}\) scade; așadar \(1-\displaystyle \frac{2}{n+2}\) crește.
Cea mai mică valoare se obține pentru \(n=1\):
\[ \frac{1}{1+2}=\frac13. \]
Deoarece \(\displaystyle \frac13\in A\), rezultă:
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
În plus, pentru orice \(n\geq1\), avem:
\[ \frac{n}{n+2}<1. \]
Așadar, \(1\) este un majorant al lui \(A\).
Să arătăm că \(1\) este cel mai mic dintre majoranți.
Fie \(\varepsilon>0\). Vrem să găsim un element al lui \(A\) mai mare decât \(1-\varepsilon\).
Deoarece:
\[ \frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}, \]
este suficient să alegem \(n\) astfel încât:
\[ \frac{2}{n+2}<\varepsilon. \]
Acest lucru este posibil conform principiului lui Arhimede.
Cu o astfel de alegere se obține:
\[ \frac{n}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2} > 1-\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii superioare:
\[ \sup A=1. \]
În sfârșit, \(1\notin A\), deoarece egalitatea \(\displaystyle \frac{n}{n+2}=1\) ar implica \(n=n+2\), ceea ce este imposibil. Așadar, maximul nu există.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{3+\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=3. \]
Minimul nu există.
Rezolvare
Elementele mulțimii sunt:
\[ 4,\ \frac72,\ \frac{10}{3},\ \frac{13}{4},\ldots \]
Într-adevăr, pentru \(n=1\) se obține:
\[ 3+\frac11=4. \]
Pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\displaystyle \frac1n\) scade. Așadar, și \(3+\displaystyle \frac1n\) scade.
Primul element este, prin urmare, cel mai mare din mulțime.
Prin urmare:
\[ \sup A=\max A=4. \]
În plus, pentru orice \(n\geq1\), avem:
\[ 3+\frac1n>3. \]
Așadar, \(3\) este un minorant al lui \(A\).
Să arătăm că este cel mai mare dintre minoranți.
Fie \(\varepsilon>0\). Conform principiului lui Arhimede, există \(n\in\mathbb N\) astfel încât:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Atunci:
\[ 3+\frac1n<3+\varepsilon. \]
Am găsit, așadar, un element al lui \(A\) mai mic decât \(3+\varepsilon\).
Conform caracterizării marginii inferioare:
\[ \inf A=3. \]
Deoarece \(3\notin A\), minimul nu există.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{2+\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Rezolvare
Să separăm cazurile în care \(n\) este par de cele în care \(n\) este impar.
Dacă \(n\) este par, atunci \((-1)^n=1\), așadar elementele corespunzătoare sunt:
\[ 2+\frac1n. \]
Pentru \(n=2\) se obține:
\[ 2+\frac12=\frac52. \]
Pentru celelalte valori pare ale lui \(n\), termenul \(\displaystyle \frac1n\) este mai mic. Așadar, valoarea maximă dintre termenii cu indice par este \(\displaystyle \frac52\).
Dacă \(n\) este impar, atunci \((-1)^n=-1\), așadar elementele corespunzătoare sunt:
\[ 2-\frac1n. \]
Pentru \(n=1\) se obține:
\[ 2-1=1. \]
Pentru celelalte valori impare ale lui \(n\), termenul \(\displaystyle \frac1n\) este mai mic, așadar \(2-\displaystyle \frac1n\) este mai mare decât \(1\).
Rezultă că cea mai mică valoare a întregii mulțimi este:
\[ 1. \]
Deoarece \(1\in A\), avem:
\[ \inf A=\min A=1. \]
Cea mai mare valoare a mulțimii este, în schimb:
\[ \frac52. \]
Și această valoare aparține lui \(A\), deoarece se obține pentru \(n=2\).
Prin urmare:
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:0<x<1\right\}\cup\{2\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=0. \]
\[ \sup A=\max A=2. \]
Minimul nu există.
Rezolvare
Mulțimea este formată din două părți:
\[ (0,1) \]
și din singurul element:
\[ 2. \]
Toate elementele intervalului \((0,1)\) sunt mai mici decât \(1\), în timp ce \(2\) aparține mulțimii.
Cea mai mare valoare a mulțimii este, prin urmare, \(2\).
În consecință:
\[ \sup A=\max A=2. \]
Să studiem acum comportamentul inferior.
Toate elementele mulțimii sunt pozitive, așadar \(0\) este un minorant.
În plus, elementele intervalului \((0,1)\) pot fi alese arbitrar de apropiate de \(0\) prin dreapta.
Așadar, niciun număr mai mare decât \(0\) nu poate fi minorant.
Prin urmare:
\[ \inf A=0. \]
Deoarece \(0\notin A\), minimul nu există.
Elementul izolat \(2\) modifică marginea superioară, dar nu modifică marginea inferioară a mulțimii.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2>4,\ -5<x<3\right\}. \]
Rezultat
\[ \inf A=-5, \qquad \sup A=3. \]
Mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim.
Rezolvare
Să studiem separat cele două condiții care definesc mulțimea.
Inecuația:
\[ x^2>4 \]
este echivalentă cu:
\[ x<-2 \qquad\text{sau}\qquad x>2. \]
În plus, trebuie să avem:
\[ -5<x<3. \]
Intersectând condițiile, obținem:
\[ A=(-5,-2)\cup(2,3). \]
Mulțimea este, așadar, formată din două intervale deschise.
Cea mai mică valoare către care se pot apropia elementele este \(-5\), dar \(-5\notin A\). De aceea:
\[ \inf A=-5. \]
Cea mai mare valoare către care se pot apropia elementele este \(3\), dar \(3\notin A\). Așadar:
\[ \sup A=3. \]
Deoarece marginea inferioară nu aparține mulțimii, minimul nu există.
Deoarece marginea superioară nu aparține mulțimii, maximul nu există.
Să observăm că „golul” dintre \(-2\) și \(2\) nu modifică nici marginea inferioară, nici marginea superioară: acestea depind numai de comportamentul cel mai de jos și cel mai de sus al mulțimii.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Să se determine marginea superioară, marginea inferioară, maximul și minimul mulțimii:
\[ A=\left\{\frac{(-1)^n n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Rezultat
\[ \sup A=1. \]
\[ \inf A=-1. \]
Mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim.
Rezolvare
Pentru a determina marginea superioară și marginea inferioară, este util să distingem termenii cu indice par de cei cu indice impar.
Dacă \(n\) este par, atunci:
\[ (-1)^n=1. \]
Elementele corespunzătoare ale mulțimii sunt, așadar:
\[ \frac{n}{n+1}. \]
Pentru \(n=2,4,6,\ldots\) obținem:
\[ \frac23,\ \frac45,\ \frac67,\ \frac89,\ldots \]
Putem rescrie acești termeni sub forma:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Deoarece \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), fiecare termen este strict mai mic decât \(1\).
În plus, pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\displaystyle \frac1{n+1}\) devine din ce în ce mai mic și tinde către \(0\). În consecință, valorile
\[ \frac{n}{n+1} \]
se apropie arbitrar de mult de \(1\) fără a-l atinge vreodată.
Numărul \(1\) este, așadar, un majorant al mulțimii.
În plus, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un indice par suficient de mare astfel încât:
\[ \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii superioare, rezultă că:
\[ \sup A=1. \]
Deoarece niciun element al mulțimii nu este egal cu \(1\), maximul nu există.
Să considerăm acum indicii impari.
Dacă \(n\) este impar, atunci:
\[ (-1)^n=-1. \]
Elementele corespunzătoare ale mulțimii sunt:
\[ -\frac{n}{n+1}. \]
Pentru \(n=1,3,5,\ldots\) obținem:
\[ -\frac12,\ -\frac34,\ -\frac56,\ -\frac78,\ldots \]
Să rescriem acești termeni sub forma:
\[ -\frac{n}{n+1} = -1+\frac1{n+1}. \]
Deoarece \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), toate aceste valori sunt strict mai mari decât \(-1\).
În plus, pe măsură ce \(n\) crește, termenul \(\frac1{n+1}\) tinde către \(0\), așadar valorile
\[ -\frac{n}{n+1} \]
se apropie arbitrar de mult de \(-1\) fără a-l atinge vreodată.
Numărul \(-1\) este, așadar, un minorant al mulțimii.
În plus, pentru orice \(\varepsilon>0\), există un indice impar suficient de mare astfel încât:
\[ -\frac{n}{n+1}< -1+\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii inferioare, rezultă că:
\[ \inf A=-1. \]
Deoarece niciun element al mulțimii nu este egal cu \(-1\), minimul nu există.
Concluzionăm, așadar, că:
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=-1. \]
în timp ce mulțimea nu posedă nici maxim, nici minim.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se verifice, folosind caracterizarea marginii superioare, că:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Rezultat
\[ \sup(2,7)=7. \]
Rezolvare
Pentru a demonstra că \(7\) este marginea superioară a mulțimii \(A=(2,7)\), trebuie să verificăm două condiții.
Prima condiție cere ca \(7\) să fie un majorant al lui \(A\).
Într-adevăr, dacă \(x\in(2,7)\), atunci:
\[ x<7. \]
Cu atât mai mult:
\[ x\leq 7. \]
Așadar, \(7\) este un majorant.
A doua condiție cere ca, pentru orice \(\varepsilon>0\), să existe un element \(x\in A\) astfel încât:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Fie, așadar, \(\varepsilon>0\).
Dacă \(0<\varepsilon<10\), considerăm:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Atunci:
\[ 2<x<7 \]
astfel încât \(x\in(2,7)\).
În plus:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}>7-\varepsilon. \]
Am găsit, așadar, un element al mulțimii mai mare decât \(7-\varepsilon\).
Dacă, în schimb, \(\varepsilon\geq10\), este suficient să alegem \(x=3\).
Într-adevăr:
\[ 3\in(2,7) \]
și
\[ 3>7-\varepsilon. \]
În orice caz, pentru orice \(\varepsilon>0\), există \(x\in A\) astfel încât:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Conform caracterizării marginii superioare, concluzionăm că:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se verifice, folosind caracterizarea marginii inferioare, că:
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Rezultat
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Rezolvare
Punem:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Pentru a demonstra că \(0\) este marginea inferioară a lui \(A\), trebuie să verificăm două condiții.
Prima condiție cere ca \(0\) să fie un minorant al lui \(A\).
Într-adevăr, pentru orice \(n\geq1\), avem:
\[ \frac1n>0. \]
Așadar:
\[ 0\leq \frac1n \qquad \forall n\geq1. \]
Prin urmare, \(0\) este un minorant al mulțimii.
A doua condiție cere ca, pentru orice \(\varepsilon>0\), să existe un element al lui \(A\) mai mic decât:
\[ 0+\varepsilon=\varepsilon. \]
Fie, așadar, \(\varepsilon>0\).
Conform principiului lui Arhimede, există \(n\in\mathbb N\) astfel încât:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Din această inegalitate rezultă:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Dar \(\frac1n\in A\). Așadar, pentru orice \(\varepsilon>0\), am găsit un element \(x\in A\) astfel încât:
\[ x<0+\varepsilon. \]
Conform caracterizării marginii inferioare, rezultă:
\[ \inf A=0. \]
În sfârșit, observăm că \(0\notin A\), așadar \(A\) nu posedă minim.