Mulțimile compacte reprezintă una dintre noțiunile centrale ale analizei matematice. Ele descriu mulțimi care, deși pot conține o infinitate de puncte, păstrează unele proprietăți tipice mulțimilor finite.
Importanța compacității constă în faptul că, pe mulțimile compacte, multe proprietăți fundamentale devin garantate: orice șir de puncte ale mulțimii admite un subșir convergent către un punct al mulțimii, funcțiile continue își ating maximul și minimul, iar acoperirile deschise pot fi reduse la un număr finit de mulțimi deschise.
În această expunere vom introduce definiția mulțimii compacte cu ajutorul acoperirilor deschise, vom lămuri semnificația ei intuitivă și vom analiza primele exemple fundamentale. Legătura dintre compacitate, închidere și mărginire va fi apoi precizată în teorema Heine-Borel.
Cuprins
- Ideea intuitivă de mulțime compactă
- Definiția acoperirii deschise
- Definiția mulțimii compacte
- Semnificația definiției
- Primele exemple de mulțimi compacte
- Primele exemple de mulțimi necompacte
- Compacitate și șiruri
- Compacitate și funcții continue
- De ce „închis și mărginit” nu este definiția compacității
- Recapitulare finală
Ideea intuitivă de mulțime compactă
Ideea intuitivă de compacitate este aceea a unei mulțimi care nu permite nici fuga spre infinit, nici puncte lipsă acolo unde mulțimea tinde să se acumuleze.
De exemplu, intervalul
\[ [0,1] \]
este o mulțime care apare, intuitiv, bine controlată: este mărginită, deoarece toate punctele sale se află între \(0\) și \(1\), și este închisă, deoarece își conține și capetele.
Dimpotrivă, intervalul
\[ (0,1) \]
nu conține capetele \(0\) și \(1\). Chiar dacă toate punctele sale rămân cuprinse între \(0\) și \(1\), mulțimea prezintă două puncte de acumulare care lipsesc. Într-adevăr, ne putem apropia oricât de mult de \(0\) sau de \(1\) rămânând în interiorul lui \((0,1)\), dar nici \(0\), nici \(1\) nu aparțin mulțimii.
Nici intervalul
\[ [0,+\infty) \]
nu este compact. În acest caz, problema nu este lipsa capetelor, ci posibilitatea de a ne îndepărta nelimitat către \(+\infty\).
Compacitatea formalizează tocmai această idee de mulțime lipsită de dispersii: o mulțime compactă este o mulțime care, din punctul de vedere al analizei, poate fi controlată cu un număr finit de date.
Definiția acoperirii deschise
Înainte de a defini mulțimile compacte, trebuie să introducem conceptul de acoperire deschisă.
În această expunere, când vom vorbi despre mulțimi deschise din \(\mathbb R\), vom înțelege întotdeauna mulțimile deschise în sensul obișnuit: de exemplu intervalele deschise \((a,b)\) și reuniunile de intervale deschise.
Fie \(A\subseteq \mathbb R\). O familie de mulțimi deschise
\[ \{U_i\}_{i\in I} \]
se numește acoperire deschisă a lui \(A\) dacă orice punct al lui \(A\) aparține cel puțin uneia dintre mulțimile deschise ale familiei.
În simboluri, familia \(\{U_i\}_{i\in I}\) este o acoperire deschisă a lui \(A\) dacă
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Mulțimea \(I\) se numește mulțimea indicilor și poate fi finită sau infinită.
A spune că \(\{U_i\}_{i\in I}\) acoperă \(A\) înseamnă, așadar, a spune că niciun punct al lui \(A\) nu rămâne în afara reuniunii mulțimilor deschise \(U_i\).
Exemplu de acoperire deschisă
Considerăm mulțimea
\[ A=[0,1]. \]
Familia de intervale deschise
\[ U_n=\left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1, \]
este o acoperire deschisă a lui \(A\). Într-adevăr, pentru orice \(n\geq 1\), avem
\[ [0,1]\subseteq \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
În particular,
\[ [0,1]\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
Așadar, orice punct al intervalului \([0,1]\) aparține cel puțin uneia dintre mulțimile deschise ale familiei.
Subacoperire
Dacă \(\{U_i\}_{i\in I}\) este o acoperire deschisă a lui \(A\), o subacoperire este o subfamilie de mulțimi deschise care continuă să acopere \(A\).
Mai precis, dacă \(J\subseteq I\), familia
\[ \{U_j\}_{j\in J} \]
este o subacoperire a lui \(A\) dacă
\[ A\subseteq \bigcup_{j\in J} U_j. \]
O subacoperire se numește finită dacă conține doar un număr finit de mulțimi deschise.
Definiția mulțimii compacte
Putem da acum definiția fundamentală.
O mulțime \(K\subseteq \mathbb R\) se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a lui \(K\) se poate extrage o subacoperire finită.
Cu alte cuvinte, \(K\) este compactă dacă, ori de câte ori o familie de mulțimi deschise acoperă \(K\), atunci există un număr finit de mulțimi deschise ale familiei care sunt suficiente pentru a acoperi în continuare întreaga mulțime \(K\).
În simboluri, \(K\subseteq \mathbb R\) este compactă dacă, pentru orice familie de mulțimi deschise \(\{U_i\}_{i\in I}\) astfel încât
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
există indicii \(i_1,i_2,\ldots,i_m\in I\), cu \(m\in\mathbb N\), astfel încât
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \cdots \cup U_{i_m}. \]
Aceasta este definiția compacității cu ajutorul acoperirilor deschise.
Observație importantă
Definiția nu spune că \(K\) poate fi acoperită de un număr finit de mulțimi deschise alese după bunul plac. Ea spune ceva mai subtil: oricare ar fi acoperirea deschisă dată, chiar dacă este formată dintr-o infinitate de mulțimi deschise, este întotdeauna posibil să selectăm un număr finit dintre ele care să acopere în continuare întreaga mulțime \(K\).
Așadar, compacitatea este o proprietate globală a mulțimii \(K\), deoarece privește toate acoperirile deschise posibile ale lui \(K\).
Semnificația definiției
La prima vedere, definiția compacității poate părea abstractă. Semnificația ei profundă este însă foarte concretă: o mulțime compactă este o mulțime care nu necesită niciodată o infinitate de informații esențiale pentru a fi controlată cu ajutorul mulțimilor deschise.
Să presupunem că dorim să acoperim o mulțime \(K\) cu o familie de mulțimi deschise. Dacă \(K\) este compactă, atunci chiar și atunci când acoperirea conține o infinitate de mulțimi deschise, doar un număr finit dintre ele este cu adevărat necesar pentru a acoperi întreaga mulțime \(K\).
Acest comportament este asemănător celui al mulțimilor finite. Într-adevăr, dacă
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}, \]
atunci orice acoperire deschisă a lui \(A\) admite întotdeauna o subacoperire finită. Este suficient să alegem, pentru fiecare punct \(x_j\), o mulțime deschisă a acoperirii care îl conține.
Compacitatea extinde această proprietate la mulțimile infinite. O mulțime compactă poate conține o infinitate de puncte, dar continuă să aibă un comportament finit în raport cu acoperirile deschise.
De ce folosește definiția mulțimile deschise?
Mulțimile deschise sunt cele care descriu vecinătățile punctelor. Din acest motiv, acoperirile deschise permit studierea unei mulțimi prin intermediul informațiilor locale.
A spune că o mulțime este compactă înseamnă, prin urmare, a spune că, ori de câte ori ea este controlată local cu ajutorul mulțimilor deschise, acest control poate fi redus la un control finit.
Această idee stă la baza multor teoreme fundamentale ale analizei. De exemplu, faptul că o funcție continuă pe o mulțime compactă își atinge maximul și minimul depinde tocmai de posibilitatea de a trece de la informații locale la un număr finit de informații globale.
Primele exemple de mulțimi compacte
Să vedem câteva exemple fundamentale. În această etapă vom folosi mai ales intuiția geometrică a compacității; caracterizarea completă a mulțimilor compacte ale lui \(\mathbb R\) va fi precizată în teorema Heine-Borel.
Intervale închise și mărginite
Intervalele de forma
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
sunt primele exemple fundamentale de mulțimi compacte în \(\mathbb R\).
Ele sunt mărginite, deoarece toate punctele lor sunt cuprinse între \(a\) și \(b\), și sunt închise, deoarece își conțin și capetele \(a\) și \(b\).
Faptul că orice interval închis și mărginit este compact este un rezultat profund al analizei reale. În această expunere îl vom folosi ca exemplu fundamental; caracterizarea generală a mulțimilor compacte ale lui \(\mathbb R\) va fi în schimb precizată de teorema Heine-Borel.
Mulțimi finite
Orice mulțime finită de numere reale este compactă.
Într-adevăr, fie
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}. \]
Considerăm o acoperire deschisă oarecare a lui \(A\):
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Deoarece acoperirea acoperă \(A\), pentru fiecare punct \(x_j\in A\) există cel puțin un indice \(i_j\in I\) astfel încât
\[ x_j\in U_{i_j}. \]
Așadar, mulțimile deschise
\[ U_{i_1},U_{i_2},\ldots,U_{i_m} \]
acoperă toate punctele lui \(A\). Prin urmare
\[ A\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Am extras, prin urmare, o subacoperire finită. Prin definiție, \(A\) este compactă.
Mulțimea formată dintr-un șir convergent și limita sa
Un alt exemplu important este dat de mulțimea
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Această mulțime este infinită, dar este compactă.
Intuitiv, punctele
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
se acumulează numai în \(0\), iar punctul \(0\) aparține mulțimii. Nu există, prin urmare, puncte de acumulare care să lipsească.
În plus, mulțimea este mărginită, deoarece toate elementele sale aparțin intervalului \([0,1]\).
Să vedem direct de ce această mulțime este compactă, folosind definiția cu acoperiri deschise.
Fie \(\{U_i\}_{i\in I}\) o acoperire deschisă a lui \(K\). Deoarece \(0\in K\), există o mulțime deschisă \(U_{i_0}\) a acoperirii astfel încât
\[ 0\in U_{i_0}. \]
Deoarece \(U_{i_0}\) este deschisă, există \(r>0\) astfel încât
\[ (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Întrucât
\[ \frac1n\to 0, \]
există \(N\in\mathbb N\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\),
\[ \frac1n\in (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Așadar, mulțimea deschisă \(U_{i_0}\) acoperă \(0\) și toate punctele \(\displaystyle \frac1n\) începând de la un anumit indice.
Rămân doar un număr finit de puncte:
\[ 1,\frac12,\ldots,\frac{1}{N-1}. \]
Pentru fiecare dintre aceste puncte alegem o mulțime deschisă a acoperirii care îl conține. În acest fel obținem un număr finit de mulțimi deschise care, împreună cu \(U_{i_0}\), acoperă întreaga mulțime \(K\).
Așadar, orice acoperire deschisă a lui \(K\) admite o subacoperire finită. Prin urmare, \(K\) este compactă.
Primele exemple de mulțimi necompacte
Pentru a înțelege cu adevărat compacitatea, este important să observăm și exemplele de mulțimi care nu sunt compacte. În general, o mulțime poate să nu fie compactă fie pentru că este prea mare, fie pentru că are puncte de acumulare care nu aparțin mulțimii.
Intervalul deschis \((0,1)\)
Intervalul
\[ (0,1) \]
nu este compact.
Motivul intuitiv este că mulțimea se apropie de capetele \(0\) și \(1\), dar nu le conține. În particular, \(0\) și \(1\) sunt puncte de acumulare ale mulțimii, dar nu aparțin lui \((0,1)\).
Să vedem cum se manifestă acest defect în definiția prin acoperiri deschise.
Considerăm familia de mulțimi deschise
\[ U_n=\left(\frac1n,1-\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 3. \]
Familia \(\{U_n\}_{n\geq 3}\) este o acoperire deschisă a lui \((0,1)\). Într-adevăr, dacă \(x\in(0,1)\), atunci
\[ x>0 \qquad \text{și} \qquad 1-x>0. \]
Putem, așadar, alege \(n\) suficient de mare astfel încât
\[ \frac1n<x \qquad \text{și} \qquad \frac1n<1-x. \]
Din aceste inegalități rezultă că
\[ \frac1n<x<1-\frac1n, \]
adică
\[ x\in U_n. \]
Așadar
\[ (0,1)\subseteq \bigcup_{n=3}^{+\infty} \left(\frac1n,1-\frac1n\right). \]
Totuși, această acoperire nu admite nicio subacoperire finită.
Într-adevăr, alegând un număr finit de mulțimi deschise ale familiei, există un indice maxim \(N\) printre cele alese. Deoarece intervalele \(U_n\) cresc pe măsură ce \(n\) crește, reuniunea finită a mulțimilor deschise alese este conținută în
\[ \left(\frac{1}{N},1-\frac{1}{N}\right). \]
Dar punctul
\[ \frac{1}{2N} \]
aparține lui \((0,1)\) și nu aparține lui \(\left(\displaystyle \frac{1}{N},1-\displaystyle \frac{1}{N}\right)\). Așadar, reuniunea finită a mulțimilor deschise alese nu acoperă întreg intervalul \((0,1)\).
Am găsit, prin urmare, o acoperire deschisă a lui \((0,1)\) care nu admite nicio subacoperire finită. Prin definiție, \((0,1)\) nu este compact.
Semidreapta \([0,+\infty)\)
Nici semidreapta
\[ [0,+\infty) \]
nu este compactă.
În acest caz, problema nu este lipsa unui capăt din stânga, deoarece \(0\) aparține mulțimii. Problema este lipsa mărginirii: punctele mulțimii se pot îndepărta nelimitat către \(+\infty\).
Considerăm familia de mulțimi deschise
\[ U_n=(-1,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Aceasta este o acoperire deschisă a lui \([0,+\infty)\). Într-adevăr, dacă \(x\in[0,+\infty)\), este suficient să alegem un întreg \(n>x\), și atunci
\[ x\in (-1,n)=U_n. \]
Așadar
\[ [0,+\infty)\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} (-1,n). \]
Totuși, nu există nicio subacoperire finită. Dacă alegem doar un număr finit dintre aceste mulțimi deschise, există un indice maxim \(N\), iar reuniunea finită este conținută în
\[ (-1,N). \]
Dar punctul \(N+1\) aparține lui \([0,+\infty)\) și nu aparține lui \((-1,N)\).
Așadar, familia \(\{(-1,n)\}_{n\geq 1}\) este o acoperire deschisă a lui \([0,+\infty)\) lipsită de subacoperiri finite. De aceea, \([0,+\infty)\) nu este compactă.
Mulțimea \(\left\{\displaystyle \frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}\)
Să considerăm acum mulțimea
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Această mulțime nu este compactă.
Într-adevăr, punctele sale se acumulează în \(0\), dar \(0\notin A\). Mulțimea are, prin urmare, un punct de acumulare care lipsește.
Putem vedea problema și prin intermediul șirurilor: șirul
\[ x_n=\frac1n \]
este conținut în întregime în \(A\), dar converge către \(0\), care nu aparține lui \(A\).
Acest lucru arată de ce, pentru a obține o mulțime compactă, nu este suficient să considerăm punctele \(\displaystyle \frac1n\): trebuie să adăugăm și limita lor \(0\).
Într-adevăr, mulțimea
\[ \left\{0\right\}\cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\} \]
este compactă, așa cum am văzut în secțiunea precedentă.
Compacitate și șiruri
Compacitatea este strâns legată de comportamentul șirurilor. În \(\mathbb R\), o mulțime compactă poate fi recunoscută și printr-o proprietate secvențială: orice șir de puncte ale sale admite un subșir convergent a cărui limită aparține tot mulțimii.
Această proprietate exprimă în formă secvențială ideea că, în interiorul unei mulțimi compacte, nu este posibil nici să fugim la infinit, nici să convergem către un punct de acumulare care lipsește.
Caracterizarea secvențială a compacității
O mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă dacă și numai dacă orice șir \((x_n)\) de puncte ale lui \(K\) admite un subșir \((x_{n_k})\) convergent către un punct \(x\in K\).
În simboluri:
\[ K \text{ este compactă} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall (x_n)\subseteq K,\ \exists (x_{n_k}) \text{ astfel încât } x_{n_k}\to x\in K. \]
Acest rezultat permite interpretarea compacității într-un mod foarte concret: oricare ar fi șirul ales în interiorul lui \(K\), este întotdeauna posibil să extragem un subșir care converge fără a ieși din mulțime.
Șiruri care fug la infinit
Considerăm semidreapta
\[ [0,+\infty). \]
Șirul
\[ x_n=n \]
este conținut în întregime în \([0,+\infty)\), dar nu admite niciun subșir convergent în \(\mathbb R\), deoarece orice subșir al său tinde la \(+\infty\).
Acest lucru arată, din punct de vedere secvențial, de ce \([0,+\infty)\) nu este compactă.
Șiruri care converg către un punct lipsă
Considerăm intervalul deschis
\[ (0,1). \]
Șirul
\[ x_n=\frac1n \]
este conținut în \((0,1)\) pentru orice \(n\geq 2\), dar converge către \(0\), care nu aparține lui \((0,1)\).
Orice subșir al lui \(\left(\displaystyle \frac1n\right)\) converge tot către \(0\). Așadar, nu există niciun subșir convergent către un punct al lui \((0,1)\).
Acest lucru arată că \((0,1)\) nu este compact deoarece posedă un punct de acumulare care lipsește.
Șiruri într-o mulțime compactă
Să considerăm, în schimb, mulțimea
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Orice șir de puncte ale lui \(K\) admite un subșir convergent către un punct al lui \(K\).
Într-adevăr, fiind dat un șir \((x_n)\subseteq K\), se pot ivi două cazuri.
Dacă cel puțin unul dintre punctele lui \(K\) apare de o infinitate de ori în șir, atunci se poate extrage un subșir constant. Orice subșir constant converge către valoarea constantă, care aparține lui \(K\).
Dacă, în schimb, niciun punct al lui \(K\) nu apare de o infinitate de ori, atunci șirul trebuie să ia o infinitate de valori distincte ale mulțimii. Deoarece singurele puncte distincte ale lui \(K\), în afară de \(0\), sunt de forma \(\displaystyle \frac1n\), putem extrage un subșir de tipul
\[ \frac{1}{n_k}, \qquad n_k\to+\infty. \]
Prin urmare
\[ \frac{1}{n_k}\to 0. \]
Deoarece \(0\in K\), și în acest caz limita subșirului aparține lui \(K\).
Acest exemplu arată rolul esențial al punctului \(0\): adăugarea limitei șirului \(\displaystyle \frac1n\) transformă o mulțime necompactă într-o mulțime compactă.
Compacitate și funcții continue
Unul dintre motivele principale pentru care mulțimile compacte sunt atât de importante este comportamentul lor în raport cu funcțiile continue.
Pe o mulțime compactă, o funcție continuă nu poate oscila în mod necontrolat, nu poate crește nelimitat și nu se poate apropia de o margine fără a o atinge.
Imaginea continuă a unei mulțimi compacte
Dacă \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă și \(f:K\to\mathbb R\) este continuă, atunci imaginea
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
este o mulțime compactă a lui \(\mathbb R\).
Acest lucru înseamnă că compacitatea este păstrată de funcțiile continue.
Ideea este următoarea: dacă o funcție este continuă, atunci controlul local al valorilor lui \(f\) poate fi redus la controlul local al punctelor domeniului. Deoarece domeniul compact permite reducerea oricărui control deschis la un număr finit de informații, și imaginea păstrează o proprietate de compacitate.
Existența maximului și a minimului
O consecință fundamentală este teorema lui Weierstrass.
Dacă \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă și \(f:K\to\mathbb R\) este continuă, atunci \(f\) își atinge maximul și minimul absolute pe \(K\).
Adică există \(x_m,x_M\in K\) astfel încât
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \qquad \text{pentru orice } x\in K. \]
În acest caz, \(f(x_m)\) este minimul absolut al lui \(f\) pe \(K\), iar \(f(x_M)\) este maximul absolut al lui \(f\) pe \(K\).
Compacitatea domeniului este esențială. Fără compacitate, o funcție continuă poate să nu aibă maxim, minim sau ambele.
De ce este necesară compacitatea?
Considerăm funcția
\[ f(x)=x \]
definită pe intervalul deschis \((0,1)\).
Funcția este continuă, dar nu își atinge nici minimul, nici maximul pe \((0,1)\). Într-adevăr, valorile lui \(f\) se apropie oricât de mult de \(0\) și de \(1\), dar nici \(0\), nici \(1\) nu sunt valori luate de funcție pe domeniu.
Mai precis,
\[ f((0,1))=(0,1). \]
Imaginea nu conține nici marginea sa inferioară \(0\), nici marginea sa superioară \(1\).
Să considerăm, în schimb, aceeași funcție pe intervalul compact \([0,1]\). În acest caz
\[ f([0,1])=[0,1], \]
iar funcția își atinge minimul în \(0\) și maximul în \(1\).
Acest exemplu arată că compacitatea împiedică marginile să rămână doar valori-limită neatinse.
De ce „închis și mărginit” nu este definiția compacității
În \(\mathbb R\), mulțimile compacte sunt profund legate de mulțimile închise și mărginite. Totuși, este important să nu confundăm o caracterizare cu definiția.
Definiția mulțimii compacte este cea bazată pe acoperirile deschise:
\[ K \text{ este compactă} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{orice acoperire deschisă a lui } K \text{ admite o subacoperire finită.} \]
Faptul că, pe dreapta reală, mulțimile compacte coincid cu mulțimile închise și mărginite este un rezultat fundamental, nu o definiție.
Acest rezultat va fi studiat în teorema Heine-Borel, care oferă una dintre cele mai importante caracterizări ale compacității în \(\mathbb R\).
De ce este importantă această distincție?
Distincția este importantă deoarece compacitatea se naște ca proprietate a acoperirilor deschise, prin urmare privește modul în care o mulțime poate fi acoperită cu ajutorul mulțimilor deschise.
Mărginirea, în schimb, depinde de distanța și de ordinea dreptei reale. În alte contexte matematice, relația dintre compacitate, închidere și mărginire se poate schimba.
Din acest motiv, este mai corect să spunem că în \(\mathbb R\) compacitatea poate fi caracterizată prin închidere și mărginire, dar definiția ei generală rămâne cea prin acoperiri deschise.
Pe scurt, compacitatea este definită cu ajutorul acoperirilor deschise, în timp ce legătura cu închiderea și mărginirea este o caracterizare specifică dreptei reale:
\[ \text{compacitate prin acoperiri deschise} \qquad \text{definiție generală}; \]
\[ \text{compactă în } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad \text{închisă și mărginită} \qquad \text{caracterizare în } \mathbb R. \]
Această distincție este esențială: definiția introduce conceptul, în timp ce teorema Heine-Borel oferă un criteriu practic pentru a-l recunoaște pe dreapta reală.
Recapitulare finală
O mulțime compactă este o mulțime care, în raport cu acoperirile deschise, se comportă ca o mulțime finită: orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită.
Formal, o mulțime \(K\subseteq\mathbb R\) este compactă dacă, pentru orice familie de mulțimi deschise \(\{U_i\}_{i\in I}\) astfel încât
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
există \(i_1,\ldots,i_m\in I\) astfel încât
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Mulțimile compacte exclud două fenomene tipice mulțimilor necompacte: fuga la infinit și convergența către puncte de acumulare care lipsesc.
Din punctul de vedere al șirurilor, o mulțime compactă din \(\mathbb R\) este o mulțime în care orice șir admite un subșir convergent către un punct al mulțimii.
Din punctul de vedere al funcțiilor continue, compacitatea garantează proprietăți fundamentale: imaginea continuă a unei mulțimi compacte este compactă, iar orice funcție continuă reală definită pe o mulțime compactă își atinge maximul și minimul absolute.
Legătura precisă dintre compacitate, închidere și mărginire pe dreapta reală va fi exprimată de teorema Heine-Borel.