Exercițiile propuse în această secțiune se referă la mulțimile deschise și mulțimile închise ale dreptei reale. În cadrul lor vom pune în practică definițiile fundamentale, precum și principalele proprietăți studiate în teorie.
Exercițiile sunt ordonate după gradul crescător de dificultate. În primele vom aplica direct definițiile; ulterior vom analiza mulțimi mai elaborate, șiruri de puncte, familii infinite de mulțimi, precum și mulțimi definite prin ecuații sau inecuații.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(2,5) \]
este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=(2,5)\) este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
Pentru a demonstra că \(A\) este deschisă, trebuie să verificăm că orice punct al lui \(A\) admite o vecinătate complet conținută în \(A\).
Fie \(x_0\in(2,5)\). Atunci
\[ 2<x_0<5. \]
Cantitățile
\[ x_0-2 \qquad\text{și}\qquad 5-x_0 \]
sunt amândouă pozitive. Putem, prin urmare, alege
\[ r=\frac12\min\{x_0-2,\;5-x_0\}. \]
Cu această alegere avem \(r>0\), iar vecinătatea \((x_0-r,x_0+r)\) rămâne în întregime cuprinsă între \(2\) și \(5\). Într-adevăr, raza aleasă este mai mică decât distanța de la \(x_0\) la fiecare dintre cele două capete.
Așadar,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(2,5). \]
Cum \(x_0\) a fost arbitrar, orice punct al lui \(A\) admite o vecinătate conținută în \(A\). Prin urmare, \(A\) este deschisă.
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[2,5] \]
este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=[2,5]\) nu este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
Pentru a fi deschisă, fiecare punct al lui \(A\) ar trebui să admită o vecinătate complet conținută în \(A\). Să considerăm punctul \(2\), care aparține lui \(A\).
Dacă \(r>0\), vecinătatea de centru \(2\) și rază \(r\) este
\[ (2-r,2+r). \]
O astfel de vecinătate conține puncte mai mici decât \(2\). De exemplu,
\[ 2-\frac r2\in(2-r,2+r), \]
dar
\[ 2-\frac r2\notin[2,5]. \]
Așadar, nicio vecinătate a lui \(2\) nu este conținută în \([2,5]\). În consecință, \(A\) nu este deschisă.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[-1,3] \]
este închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=[-1,3]\) este închisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
O mulțime \(A\subseteq\mathbb R\) este închisă dacă și numai dacă complementara sa \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă.
Să calculăm complementara:
\[ \mathbb R\setminus[-1,3]=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
Semidreptele \((-\infty,-1)\) și \((3,+\infty)\) sunt deschise în \(\mathbb R\). În plus, reuniunea unor mulțimi deschise este deschisă. Prin urmare,
\[ \mathbb R\setminus[-1,3] \]
este deschisă.
Întrucât complementara lui \(A\) este deschisă, \(A\) este închisă.
Exercițiul 4 — nivel ★☆☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(0,1] \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A=(0,1]\) nu este nici deschisă, nici închisă.
Rezolvare
Mulțimea \(A\) nu este deschisă. Într-adevăr, \(1\in A\), însă nicio vecinătate a lui \(1\) nu este conținută în \(A\).
Pentru orice \(r>0\), vecinătatea
\[ (1-r,1+r) \]
conține puncte mai mari decât \(1\), care nu aparțin lui \((0,1]\). Așadar, \(A\) nu este deschisă.
Să studiem acum dacă \(A\) este închisă. Complementara este
\[ \mathbb R\setminus(0,1]=(-\infty,0]\cup(1,+\infty). \]
Această complementară nu este deschisă, deoarece punctul \(0\) îi aparține, însă orice vecinătate a lui \(0\) conține puncte pozitive care aparțin lui \((0,1]\).
Prin urmare, complementara lui \(A\) nu este deschisă și, în consecință, \(A\) nu este închisă.
Așadar, \(A=(0,1]\) nu este nici deschisă, nici închisă.
Exercițiul 5 — nivel ★☆☆☆☆
Să se demonstreze că mulțimea
\[ A=(-\infty,4) \]
este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=(-\infty,4)\) este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
Fie \(x_0\in(-\infty,4)\). Atunci
\[ x_0<4. \]
Cantitatea \(4-x_0\) este pozitivă. Să alegem
\[ r=\frac{4-x_0}{2}. \]
Atunci \(r>0\). În plus,
\[ x_0+r=x_0+\frac{4-x_0}{2}=\frac{x_0+4}{2}<4. \]
Așadar, toate punctele vecinătății \((x_0-r,x_0+r)\) sunt mai mici decât \(4\). În consecință,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(-\infty,4). \]
Cum \(x_0\) a fost arbitrar, orice punct al lui \(A\) admite o vecinătate conținută în \(A\). Așadar, \(A\) este deschisă.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=[3,+\infty) \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A=[3,+\infty)\) este închisă, dar nu deschisă.
Rezolvare
Să calculăm complementara lui \(A\):
\[ \mathbb R\setminus[3,+\infty)=(-\infty,3). \]
Semidreapta \((-\infty,3)\) este deschisă. În consecință, complementara lui \(A\) este deschisă și, prin urmare, \(A\) este închisă.
Să verificăm acum că \(A\) nu este deschisă. Punctul \(3\) aparține lui \(A\), însă orice vecinătate a lui \(3\) conține puncte mai mici decât \(3\).
Într-adevăr, pentru orice \(r>0\),
\[ 3-\frac r2\in(3-r,3+r), \]
în timp ce
\[ 3-\frac r2\notin[3,+\infty). \]
Nicio vecinătate a lui \(3\) nu este, așadar, conținută în \(A\). Prin urmare, \(A\) nu este deschisă.
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\{1,2,5\} \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A=\{1,2,5\}\) este închisă, dar nu deschisă.
Rezolvare
Să calculăm complementara:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,5)\cup(5,+\infty). \]
Toate intervalele care apar în reuniune sunt deschise. Deoarece reuniunea unor mulțimi deschise este deschisă, și \(\mathbb R\setminus A\) este deschisă.
În consecință, \(A\) este închisă.
Mulțimea nu este deschisă. Să considerăm punctul \(1\in A\). Orice vecinătate a lui \(1\) conține o infinitate de numere reale diferite de \(1\), \(2\) și \(5\).
De exemplu, dacă \(0<r<1\),
\[ 1+\frac r2\in(1-r,1+r), \]
dar
\[ 1+\frac r2\notin A. \]
Prin urmare, nicio vecinătate a lui \(1\) nu este conținută în \(A\). Așadar, \(A\) nu este deschisă.
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimile
\[ \varnothing \qquad\text{și}\qquad \mathbb R \]
sunt deschise, închise, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimile \(\varnothing\) și \(\mathbb R\) sunt simultan deschise și închise.
Rezolvare
Mulțimea \(\mathbb R\) este deschisă deoarece, fixând un punct oarecare \(x_0\in\mathbb R\), orice vecinătate
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
cu \(r>0\) este conținută în \(\mathbb R\).
Mulțimea vidă \(\varnothing\) este și ea deschisă. Într-adevăr, definiția mulțimii deschise impune o proprietate pentru toate punctele mulțimii; cum \(\varnothing\) nu conține niciun punct, această condiție este îndeplinită în mod trivial.
În plus,
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R=\varnothing. \]
Deoarece \(\varnothing\) este deschisă, \(\mathbb R\) este închisă.
În mod analog,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R, \]
și, întrucât \(\mathbb R\) este deschisă, \(\varnothing\) este închisă.
Prin urmare, \(\varnothing\) și \(\mathbb R\) sunt simultan deschise și închise.
Exercițiul 9 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(-2,1)\cup(3,6) \]
este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A=(-2,1)\cup(3,6)\) este deschisă.
Rezolvare
Intervalele
\[ (-2,1) \qquad\text{și}\qquad (3,6) \]
sunt amândouă deschise.
Deoarece reuniunea unor mulțimi deschise este tot o mulțime deschisă, rezultă imediat că
\[ (-2,1)\cup(3,6) \]
este deschisă.
Putem verifica acest lucru și în mod direct. Dacă \(x_0\in A\), atunci \(x_0\) aparține unuia dintre cele două intervale.
Acel interval fiind deschis, există o vecinătate a lui \(x_0\) complet conținută în el și, prin urmare, conținută în \(A\).
Așadar, orice punct al lui \(A\) admite o vecinătate conținută în \(A\), de unde rezultă că \(A\) este deschisă.
Exercițiul 10 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(-1,4)\cap(2,7) \]
este deschisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea este deschisă și coincide cu intervalul
\[ (2,4). \]
Rezolvare
Un număr real aparține intersecției dacă și numai dacă aparține simultan celor două intervale.
El trebuie, prin urmare, să satisfacă condițiile
\[ -1<x<4 \]
și
\[ 2<x<7. \]
Combinând cele două condiții, obținem
\[ 2<x<4. \]
Prin urmare,
\[ (-1,4)\cap(2,7)=(2,4). \]
Intervalul \((2,4)\) este deschis. Așadar, mulțimea dată este deschisă.
Exercițiul 11 — nivel ★★☆☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4) \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A=\mathbb R\setminus(1,4)\) este închisă, dar nu deschisă.
Rezolvare
Să scriem mulțimea în mod explicit:
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4)=(-\infty,1]\cup[4,+\infty). \]
Deoarece \(A\) este complementara mulțimii deschise \((1,4)\), rezultă că \(A\) este închisă.
Mulțimea nu este deschisă. Într-adevăr, \(1\in A\), însă orice vecinătate a lui \(1\) conține puncte mai mari decât \(1\) și mai mici decât \(4\), adică puncte care nu aparțin lui \(A\).
Așadar, nicio vecinătate a lui \(1\) nu este conținută în \(A\). Prin urmare, \(A\) nu este deschisă.
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=(0,2)\setminus\{1\} \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A=(0,2)\setminus\{1\}\) este deschisă, dar nu închisă.
Rezolvare
Să scriem mulțimea ca reuniune de intervale:
\[ A=(0,1)\cup(1,2). \]
Intervalele \((0,1)\) și \((1,2)\) sunt deschise. Deoarece reuniunea unor mulțimi deschise este deschisă, \(A\) este deschisă.
Să arătăm acum că \(A\) nu este închisă. Punctul \(1\) este un punct de acumulare al lui \(A\), deoarece orice vecinătate redusă a lui \(1\) conține puncte ale lui \(A\).
Cu toate acestea,
\[ 1\notin A. \]
Prin urmare, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Așadar, \(A\) nu este închisă.
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ \mathbb Q \]
este deschisă sau închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(\mathbb Q\) nu este nici deschisă, nici închisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
Mulțimea \(\mathbb Q\) nu este deschisă. Într-adevăr, orice vecinătate a unui număr rațional conține numere iraționale.
Așadar, dacă \(q\in\mathbb Q\), nu există niciun \(r>0\) astfel încât
\[ (q-r,q+r)\subseteq\mathbb Q. \]
Prin urmare, \(\mathbb Q\) nu este deschisă.
Mulțimea \(\mathbb Q\) nu este nici închisă. Într-adevăr, orice număr real este punct de acumulare al lui \(\mathbb Q\), deoarece orice vecinătate a oricărui număr real conține numere raționale.
În particular, \(\sqrt2\) este un punct de acumulare al lui \(\mathbb Q\), dar
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Așadar, \(\mathbb Q\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(\mathbb Q\) nu este închisă.
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q \]
este deschisă sau închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) nu este nici deschisă, nici închisă în \(\mathbb R\).
Rezolvare
Mulțimea numerelor iraționale nu este deschisă. Într-adevăr, orice vecinătate a unui număr irațional conține numere raționale.
Așadar, nicio vecinătate a unui punct irațional nu este complet conținută în \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). Prin urmare, \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) nu este deschisă.
Mulțimea numerelor iraționale nu este închisă. Într-adevăr, orice număr rațional este punct de acumulare al lui \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), deoarece orice vecinătate a unui număr rațional conține numere iraționale.
În particular, \(0\) este un punct de acumulare al lui \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), dar
\[ 0\notin\mathbb R\setminus\mathbb Q. \]
Așadar, mulțimea nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, nu este închisă.
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
este deschisă sau închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este nici deschisă, nici închisă.
Rezolvare
Mulțimea este
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Ea nu este deschisă. Într-adevăr, nicio vecinătate a unui punct al lui \(A\) nu este conținută în \(A\), deoarece orice vecinătate conține o infinitate de numere reale care nu aparțin lui \(A\).
Să studiem acum dacă \(A\) este închisă. Observăm că
\[ \frac1n\to0. \]
Așadar, \(0\) este un punct de acumulare al lui \(A\). Într-adevăr, pentru orice \(r>0\) există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ 0<\frac1n<r, \]
și, prin urmare,
\[ \frac1n\in(-r,r)\setminus\{0\}. \]
Cu toate acestea,
\[ 0\notin A. \]
Așadar, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(A\) nu este închisă.
Exercițiul 16 — nivel ★★★☆☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
este deschisă sau închisă în \(\mathbb R\).
Rezultat
Mulțimea \(A\) este închisă, dar nu deschisă.
Rezolvare
Mulțimea poate fi scrisă sub forma
\[ A=\left\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Ea nu este deschisă. Într-adevăr, nicio vecinătate a lui \(0\) nu este conținută în \(A\), deoarece orice vecinătate a lui \(0\) conține o infinitate de numere reale care nu aparțin lui \(A\).
Să studiem acum dacă \(A\) este închisă. Șirul
\[ \frac1n \]
converge către \(0\). Așadar, \(0\) este un punct de acumulare al lui \(A\).
În plus, \(0\in A\).
Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt, în schimb, puncte izolate ale mulțimii. Într-adevăr, fixând \(n\), punctul \(\displaystyle \frac1n\) poate fi separat de celelalte elemente ale lui \(A\) printr-o vecinătate suficient de mică.
Punctele de forma \(\displaystyle \frac1n\) sunt izolate, iar orice număr real diferit de \(0\) și de elementele șirului admite o vecinătate care nu conține puncte ale lui \(A\). Așadar, singurul punct de acumulare al lui \(A\) este \(0\), iar acest punct aparține lui \(A\). Prin urmare, \(A\) conține toate punctele sale de acumulare.
În consecință, \(A\) este închisă.
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Fie
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Să se studieze mulțimea
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n \]
și să se stabilească dacă este deschisă.
Rezultat
Avem
\[ A=\{0\}. \]
Mulțimea \(A\) nu este deschisă.
Rezolvare
Fiecare mulțime
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right) \]
este deschisă în \(\mathbb R\). Totuși, trebuie să studiem intersecția lor:
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Să observăm mai întâi că \(0\in A_n\) pentru orice \(n\in\mathbb N\). Așadar,
\[ 0\in A. \]
Să arătăm acum că niciun alt punct nu aparține lui \(A\). Fie \(x\neq0\). Atunci \(|x|>0\). Conform proprietății lui Arhimede, există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac1n<|x|. \]
De aici rezultă că
\[ x\notin\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Așadar, \(x\notin A\).
Am demonstrat că singurul punct care aparține tuturor intervalelor \(A_n\) este \(0\). Prin urmare,
\[ A=\{0\}. \]
Mulțimea \(\{0\}\) nu este deschisă, deoarece nicio vecinătate a lui \(0\) nu este conținută în \(\{0\}\). Într-adevăr, orice vecinătate a lui \(0\) conține puncte reale diferite de \(0\).
Așadar, \(A\) nu este deschisă.
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
Fie
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right], \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Să se studieze mulțimea
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n \]
și să se stabilească dacă este închisă.
Rezultat
Avem
\[ A=(0,1]. \]
Mulțimea \(A\) nu este închisă.
Rezolvare
Fiecare mulțime
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right] \]
este închisă în \(\mathbb R\). Să studiem însă reuniunea lor:
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right]. \]
Să demonstrăm că
\[ A=(0,1]. \]
Dacă \(x\in A\), atunci există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Așadar,
\[ \frac1n\le x\le1. \]
În particular, \(x>0\). Așadar,
\[ x\in(0,1]. \]
Am demonstrat, prin urmare, că \(A\subseteq(0,1]\).
Reciproc, fie \(x\in(0,1]\). Cum \(x>0\), conform proprietății lui Arhimede există \(n\in\mathbb N\) astfel încât
\[ \frac1n\le x. \]
Și, întrucât avem și \(x\le1\), obținem
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Așadar, \(x\in A\). Prin urmare,
\[ (0,1]\subseteq A. \]
Din cele două incluziuni rezultă că
\[ A=(0,1]. \]
Mulțimea \((0,1]\) nu este închisă, deoarece \(0\) este un punct de acumulare al lui \(A\), dar
\[ 0\notin A. \]
Așadar, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(A\) nu este închisă.
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<4\} \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A\) este deschisă, dar nu închisă.
Rezolvare
Să rezolvăm inecuația care definește mulțimea \(A\):
\[ x^2<4. \]
Deoarece \(4=2^2\), inecuația este echivalentă cu
\[ -2<x<2. \]
Așadar,
\[ A=(-2,2). \]
Intervalul \((-2,2)\) este deschis în \(\mathbb R\). Prin urmare, \(A\) este deschisă.
Mulțimea nu este închisă. Într-adevăr, punctele \(-2\) și \(2\) sunt puncte de acumulare ale lui \(A\), dar nu aparțin lui \(A\).
Mai precis,
\[ -2\notin A \qquad\text{și}\qquad 2\notin A. \]
Așadar, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(A\) nu este închisă.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Să se stabilească dacă mulțimea
\[ A=\{x\in\mathbb R:0<|x-2|\le3\} \]
este deschisă, închisă, ambele sau niciuna dintre ele.
Rezultat
Mulțimea \(A\) nu este nici deschisă, nici închisă.
Rezolvare
Condiția
\[ 0<|x-2|\le3 \]
înseamnă că distanța de la \(x\) la \(2\) este pozitivă și nu depășește \(3\).
Să studiem mai întâi condiția
\[ |x-2|\le3. \]
Aceasta este echivalentă cu
\[ -3\le x-2\le3. \]
Adunând \(2\) la cei trei membri, obținem
\[ -1\le x\le5. \]
Condiția
\[ 0<|x-2| \]
este, la rândul ei, echivalentă cu \(x\neq2\). Prin urmare,
\[ A=[-1,5]\setminus\{2\}. \]
Putem, așadar, scrie
\[ A=[-1,2)\cup(2,5]. \]
Mulțimea nu este deschisă, deoarece \(-1\in A\), însă nicio vecinătate a lui \(-1\) nu este conținută în \(A\). Într-adevăr, orice vecinătate a lui \(-1\) conține puncte mai mici decât \(-1\), care nu aparțin lui \(A\).
Mulțimea nu este închisă, deoarece \(2\) este un punct de acumulare al lui \(A\), dar
\[ 2\notin A. \]
Într-adevăr, orice vecinătate redusă a lui \(2\) conține puncte ale lui \(A\), atât la stânga, cât și la dreapta lui \(2\).
Așadar, \(A\) nu conține toate punctele sale de acumulare. Prin urmare, \(A\) nu este nici deschisă, nici închisă.