O colecție completă de 20 de exerciții rezolvate despre mulțimile numerice: naturale, întregi, raționale, iraționale și reale. Fiecare exercițiu arată cum se recunosc corect mulțimile cărora le aparține un număr, explicând pas cu pas raționamentul.
Reamintim lanțul fundamental de incluziuni:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
De asemenea, mulțimea numerelor iraționale este:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ 7 \]
Rezultat
\[ 7 \in \mathbb{N},\quad 7 \in \mathbb{Z},\quad 7 \in \mathbb{Q},\quad 7 \in \mathbb{R} \]
Rezolvare
Analiza numărului
Numărul \(7\) este un număr întreg pozitiv. Deoarece aparține mulțimii numerelor naturale, avem:
\[ 7 \in \mathbb{N} \]
Apartenența la mulțimile mai mari
Orice număr natural este și număr întreg, deci:
\[ 7 \in \mathbb{Z} \]
Mai mult, orice număr întreg poate fi scris ca fracție cu numitorul \(1\):
\[ 7=\frac{7}{1} \]
Astfel, \(7\) este și număr rațional:
\[ 7 \in \mathbb{Q} \]
În fine, orice număr rațional este număr real:
\[ 7 \in \mathbb{R} \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ -3 \]
Rezultat
\[ -3 \in \mathbb{Z},\quad -3 \in \mathbb{Q},\quad -3 \in \mathbb{R} \]
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Rezolvare
Excluderea din numerele naturale
Numărul \(-3\) este negativ. Numerele naturale sunt numerele folosite pentru numărare:
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} \]
Prin urmare:
\[ -3 \notin \mathbb{N} \]
Apartenența la numerele întregi
Mulțimea numerelor întregi conține numerele naturale, opusele numerelor naturale nenule și zero:
\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} \]
Deci:
\[ -3 \in \mathbb{Z} \]
Apartenența la numerele raționale și reale
Deoarece:
\[ -3=\frac{-3}{1} \]
numărul \(-3\) este rațional. În consecință, este și număr real.
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ \frac{5}{2} \]
Rezultat
\[ \frac{5}{2} \in \mathbb{Q},\quad \frac{5}{2} \in \mathbb{R} \]
\[ \frac{5}{2} \notin \mathbb{N},\quad \frac{5}{2} \notin \mathbb{Z} \]
Rezolvare
Verificarea formei raționale
Un număr este rațional dacă poate fi scris sub forma:
\[ \frac{a}{b},\quad a,b\in\mathbb{Z},\quad b\neq 0 \]
Numărul dat este deja scris ca raport între doi întregi:
\[ \frac{5}{2} \]
prin urmare:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Excluderea din naturale și întregi
Calculând valoarea zecimală:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Numărul nu este întreg, deci nu poate fi nici natural, nici întreg.
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Analiza rădăcinii
Numărul \(\sqrt{2}\) este rădăcina pătrată a lui \(2\). Deoarece \(2\) nu este un pătrat perfect, rădăcina sa nu este un număr întreg.
Natura irațională
Numărul \(\sqrt{2}\) este un exemplu clasic de număr irațional: nu poate fi scris ca raport între doi întregi.
Dezvoltarea sa zecimală este infinită și neperiodică:
\[ \sqrt{2}=1{,}4142135\dots \]
Deci:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Totuși, \(\sqrt{2}\) este un număr real, prin urmare:
\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ 0 \]
Rezultat
\[ 0\in\mathbb{N},\quad 0\in\mathbb{Z},\quad 0\in\mathbb{Q},\quad 0\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Rolul lui zero
În convenția adoptată în învățământul românesc, zero aparține mulțimii numerelor naturale:
\[ 0\in\mathbb{N} \]
Apartenența la celelalte mulțimi
Zero este și număr întreg:
\[ 0\in\mathbb{Z} \]
Mai mult, poate fi scris ca fracție:
\[ 0=\frac{0}{1} \]
deci este rațional:
\[ 0\in\mathbb{Q} \]
Fiind rațional, este și număr real.
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ -\frac{7}{4} \]
Rezultat
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q},\quad -\frac{7}{4}\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Forma fracționară
Numărul dat este o fracție cu numărătorul și numitorul întregi:
\[ -\frac{7}{4} \]
Deoarece numitorul este nenul, numărul este rațional:
\[ -\frac{7}{4}\in\mathbb{Q} \]
De ce nu este număr întreg
Calculând valoarea zecimală:
\[ -\frac{7}{4}=-1{,}75 \]
Numărul nu este întreg, deci nu aparține lui \(\mathbb{Z}\) și, în consecință, nici lui \(\mathbb{N}\).
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ \pi \]
Rezultat
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Natura numărului \(\pi\)
Numărul \(\pi\) este un număr real de mare importanță în geometrie, definit ca raportul dintre lungimea cercului și diametrul său.
Iraționalitate
Numărul \(\pi\) nu poate fi scris ca raport între doi întregi. Dezvoltarea sa zecimală este infinită și neperiodică:
\[ \pi=3{,}14159265\dots \]
Deci:
\[ \pi\notin\mathbb{Q} \]
Deoarece \(\pi\) aparține dreptei reale, concluzionăm:
\[ \pi\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 8 — nivel ★★☆☆☆
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{16} \]
Rezultat
\[ \sqrt{16}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Calculul rădăcinii
Înainte de a clasifica numărul, trebuie să îl simplificăm:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Într-adevăr:
\[ 4^2=16 \]
Clasificare
Deoarece \(4\) este număr natural, aparține și mulțimilor mai cuprinzătoare:
\[ 4\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
Clasificați numărul:
\[ 0{,}\overline{3} \]
Rezultat
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q},\quad 0{,}\overline{3}\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Număr zecimal periodic
Numărul \(0{,}\overline{3}\) este un număr zecimal periodic, deoarece cifra \(3\) se repetă la nesfârșit:
\[ 0{,}\overline{3}=0{,}3333\dots \]
Transformarea în fracție
Orice număr zecimal finit sau periodic este rațional. În acest caz:
\[ 0{,}\overline{3}=\frac{1}{3} \]
Prin urmare:
\[ 0{,}\overline{3}\in\mathbb{Q} \]
Fiind rațional, aparține și lui \(\mathbb{R}\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
Clasificați numărul:
\[ 3+\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Analiza termenilor
Numărul \(3\) este rațional, întrucât:
\[ 3=\frac{3}{1} \]
Numărul \(\sqrt{2}\), în schimb, este irațional:
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \]
Suma unui rațional cu un irațional
Suma unui număr rațional cu un număr irațional este întotdeauna irațională.
Într-adevăr, dacă \(3+\sqrt{2}\) ar fi rațional, scăzând numărul rațional \(3\) am obține:
\[ (3+\sqrt{2})-3=\sqrt{2} \]
adică \(\sqrt{2}\) ar fi rațional, ceea ce este fals.
Deci:
\[ 3+\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
Clasificați numărul:
\[ 2+\frac{1}{2} \]
Rezultat
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q},\quad \frac{5}{2}\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Suma termenilor
Scriem \(2\) ca fracție cu numitorul \(2\):
\[ 2=\frac{4}{2} \]
Deci:
\[ 2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \]
Clasificare
Numărul \(\frac{5}{2}\) este o fracție de întregi cu numitorul nenul. Prin urmare:
\[ \frac{5}{2}\in\mathbb{Q} \]
Nu este însă număr întreg, deoarece:
\[ \frac{5}{2}=2{,}5 \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{18} \]
Rezultat
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Simplificarea rădăcinii
Descompunem \(18\) evidențiind un pătrat perfect:
\[ 18=9\cdot 2 \]
Atunci:
\[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2} \]
Clasificare
Numărul \(\sqrt{2}\) este irațional. Înmulțindu-l cu raționalul nenul \(3\), obținem din nou un număr irațional.
Prin urmare:
\[ 3\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
Clasificați numărul:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2} \]
Rezultat
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \]
\[ 1\in\mathbb{N},\quad 1\in\mathbb{Z},\quad 1\in\mathbb{Q},\quad 1\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Calculul rădăcinii
Calculăm mai întâi rădăcina pătrată:
\[ \sqrt{4}=2 \]
Înlocuind:
\[ \frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1 \]
Clasificare
Numărul \(1\) este natural. În consecință, aparține și mulțimilor întregi, raționale și reale:
\[ 1\in\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3} \]
Rezultat
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Analiza radicalilor
Numerele \(5\) și \(3\) nu sunt pătrate perfecte, deci:
\[ \sqrt{5}\notin\mathbb{Q},\quad \sqrt{3}\notin\mathbb{Q} \]
Atenție: suma a două numere iraționale poate fi rațională
Trebuie subliniat un aspect delicat: faptul că \(\sqrt{5}\) și \(\sqrt{3}\) sunt ambele iraționale nu este suficient pentru a concluziona că suma lor este irațională. Este suficient să ne gândim la contraexemplul:
\[ (1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2\in\mathbb{Q} \]
Pentru a demonstra că \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) este irațional, este necesar un raționament prin reducere la absurd.
Demonstrație prin reducere la absurd
Presupunem, prin absurd, că există un număr rațional \(q\in\mathbb{Q}\) astfel încât:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=q \]
Ridicând la pătrat ambii membri:
\[ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=q^2 \]
Dezvoltând membrul stâng:
\[ 5+2\sqrt{15}+3=q^2 \]
adică:
\[ 8+2\sqrt{15}=q^2 \]
Izolând radicalul:
\[ \sqrt{15}=\frac{q^2-8}{2} \]
Membrul drept este un număr rațional, deoarece se obține din \(q\in\mathbb{Q}\) prin operații care nu ies din \(\mathbb{Q}\). Prin urmare, și \(\sqrt{15}\) ar trebui să fie rațional.
Iraționalitatea lui \(\sqrt{15}\)
Însă \(15\) nu este pătrat perfect, deci:
\[ \sqrt{15}\notin\mathbb{Q} \]
Am ajuns la o contradicție: ipoteza inițială este falsă.
Concluzie
Prin urmare:
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
Clasificați numărul:
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2 \]
Rezultat
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Simplificarea expresiei
Pentru orice număr real nenegativ \(a\), avem:
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a \]
Aplicând această proprietate cu \(a=2\):
\[ \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \]
Clasificare
Deși \(\sqrt{2}\) este irațional, pătratul său este numărul natural \(2\). Prin urmare, rezultatul aparține tuturor mulțimilor:
\[ 2\in\mathbb{N},\quad 2\in\mathbb{Z},\quad 2\in\mathbb{Q},\quad 2\in\mathbb{R} \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Clasificați numărul:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Raționalizare utilă pentru analiză
Raționalizăm numitorul:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Clasificare
Numărul \(\sqrt{2}\) este irațional. Împărțind un irațional la raționalul nenul \(2\), obținem din nou un număr irațional.
Deci:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
și prin urmare:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2} \]
Rezultat
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Simplificarea primului radical
Descompunem \(8\):
\[ 8=4\cdot 2 \]
Deci:
\[ \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2} \]
Reducerea expresiei
Înlocuind în expresia inițială:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2} \]
Clasificare
Deoarece \(\sqrt{2}\) este irațional, expresia dată este și ea irațională:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
Clasificați numărul:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3} \]
Rezultat
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Separarea fracției
Separăm cei doi termeni din numărător:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=\frac{3}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
deci:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3} \]
Natura termenului \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Arătăm că \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) este irațional. Presupunem prin absurd că ar fi rațional, adică că există \(q\in\mathbb{Q}\) astfel încât:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}=q \]
Înmulțind ambii membri cu \(3\):
\[ \sqrt{2}=3q \]
Dar produsul a două numere raționale este rațional, deci \(3q\in\mathbb{Q}\). Am obține atunci \(\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\), ceea ce este absurd. Prin urmare:
\[ \frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Suma unui rațional cu un irațional
Astfel cum s-a demonstrat în Exercițiul 10, suma unui număr rațional cu un număr irațional este întotdeauna irațională.
Deoarece \(1\in\mathbb{Q}\) și \(\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), concluzionăm:
\[ 1+\frac{\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
și deci:
\[ \frac{3+\sqrt{2}}{3}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
Clasificați numărul:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} \]
Rezultat
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4 \]
\[ 4\in\mathbb{N},\quad 4\in\mathbb{Z},\quad 4\in\mathbb{Q},\quad 4\in\mathbb{R} \]
Rezolvare
Produsul radicalilor
Deoarece radicanzii sunt nenegativi, putem folosi proprietatea:
\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} \]
Deci:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16} \]
și:
\[ \sqrt{16}=4 \]
Observație importantă
Deși factorii \(\sqrt{2}\) și \(\sqrt{8}\) sunt iraționali, produsul lor poate fi rațional. În acest caz, rezultatul este chiar număr natural.
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
Clasificați numărul:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Rezultat
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Rezolvare
Separarea fracției
Împărțim fiecare termen al numărătorului la numitor:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Primul termen este egal cu:
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1 \]
deci:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
Raționalizare
Raționalizăm al doilea termen:
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Prin urmare:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Clasificare finală
Numărul \(\sqrt{6}\) este irațional, deoarece \(6\) nu este pătrat perfect. În consecință, și \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) este irațional.
Suma raționalului \(1\) cu iraționalul \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) este irațională.
Deci:
\[ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]
Concluzie
Pentru a clasifica corect un număr, este indicat să se procedeze întotdeauna în ordinea următoare:
- simplificarea expresiei, dacă este posibil;
- verificarea dacă rezultatul este număr natural;
- verificarea dacă este număr întreg;
- verificarea dacă poate fi scris ca fracție;
- dacă nu este rațional, dar aparține dreptei reale, clasificarea lui ca număr irațional.
Relația fundamentală dintre mulțimile numerice este:
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]
iar numerele iraționale sunt exact acele numere reale care nu sunt raționale:
\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \]