Dreapta este una dintre noțiunile fundamentale ale geometriei euclidiene. În planul cartezian, o dreaptă poate fi descrisă printr-o ecuație de gradul întâi în cele două variabile \(x\) și \(y\), adică printr-o ecuație de forma
\[ ax+by+c=0, \]
unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), iar coeficienții \(a\) și \(b\) nu sunt ambii nuli. Această formă, numită ecuația generală, cuprinde toate dreptele din plan, inclusiv dreptele verticale și dreptele orizontale.
Atunci când dreapta nu este verticală, ecuația ei poate fi scrisă și sub forma
\[ y=mx+q, \]
numită ecuația explicită (sau forma redusă). În acest caz, \(m\) este panta dreptei, care descrie înclinarea dreptei față de axa absciselor, în timp ce \(q\) este ordonata la origine, adică ordonata punctului în care dreapta intersectează axa \(y\).
În acest articol vom vedea cum se determină ecuația unei drepte pornind de la două puncte, cum se trece de la ecuația generală la ecuația explicită, care este semnificația geometrică a pantei, cum se determină o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată și cum se scrie ecuația parametrică a unei drepte.
Cuprins
- Ecuația dreptei determinate de două puncte
- Ecuația explicită a dreptei
- Ecuația generală a dreptei
- Semnificația geometrică a pantei
- Ecuația parametrică a dreptei
- Dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată
- Probleme rezolvate despre dreaptă
Ecuația dreptei determinate de două puncte
Să presupunem că sunt cunoscute două puncte distincte din planul cartezian:
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Deoarece cele două puncte sunt distincte, cel puțin una dintre diferențele \(x_2-x_1\) și \(y_2-y_1\) este nenulă.
Dacă \(x_1=x_2\), cele două puncte au aceeași abscisă. În acest caz, dreapta determinată de \(P_1\) și \(P_2\) este verticală și are ecuația
\[ x=x_1. \]
Să presupunem acum că \(x_1\ne x_2\). În acest caz dreapta nu este verticală și putem introduce panta
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Dacă \(y_1=y_2\), atunci \(m=0\) și dreapta este orizontală. În acest caz ecuația ei este
\[ y=y_1. \]
Să presupunem, așadar, că \(y_1\ne y_2\). Dreapta este oblică și putem determina ecuația ei folosind asemănarea triunghiurilor dreptunghice. Fie \(P(x,y)\) un punct oarecare al dreptei, diferit de \(P_1\). În figura de mai jos este reprezentată această situație:
Triunghiurile dreptunghice \(\triangle P_1P'P\) și \(\triangle P_1P'_2P_2\) sunt asemenea, deoarece au un unghi drept și un unghi ascuțit de aceeași măsură, determinat de înclinarea dreptei. Considerând variațiile orizontale și verticale împreună cu semnul lor, din asemănarea triunghiurilor se obține raportul
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Deoarece
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
rezultă că
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Aceasta este forma punct-pantă a ecuației dreptei. Dezvoltând calculele, obținem
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
deci
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Notând
\[ q=y_1-mx_1, \]
obținem din nou ecuația explicită
\[ y=mx+q. \]
Pornind de la forma punct-pantă putem obține și o ecuație generală. Într-adevăr,
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
Înmulțind ambii membri cu \(x_2-x_1\), se obține
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
Trecând toți termenii în primul membru și regrupând, se obține:
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Această formulă a fost obținută în ipoteza \(x_1\ne x_2\). Cu toate acestea, ea rămâne valabilă pentru orice pereche de puncte distincte: ea cuprinde atât cazul oblic, cât și cazul orizontal și cazul vertical.
Pentru a justifica această valabilitate generală, putem apela la vectori. Un punct oarecare \(P(x,y)\) aparține dreptei determinate de \(P_1\) și \(P_2\) dacă și numai dacă cele trei puncte \(P_1\), \(P_2\) și \(P\) sunt coliniare. Acest lucru se întâmplă atunci când vectorii
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
sunt liniar dependenți. În termeni algebrici, această condiție este echivalentă cu anularea determinantului
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
Dezvoltând determinantul, se obține
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
și deci, din nou,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Ecuația explicită a dreptei
O dreaptă din planul cartezian admite ecuație explicită dacă și numai dacă nu este verticală. În acest caz, ecuația ei poate fi scrisă sub forma
\[ y=mx+q. \]
Numărul \(m\) este panta dreptei și măsoară variația ordonatei în raport cu variația abscisei. Numărul \(q\) este ordonata la origine, adică ordonata punctului în care dreapta intersectează axa \(y\).
Într-adevăr, punând \(x=0\) în ecuația \(y=mx+q\), se obține
\[ y=q. \]
Prin urmare, dreapta intersectează axa ordonatelor în punctul
\[ (0,q). \]
Dacă se cunoaște un punct \(P_1(x_1,y_1)\) al dreptei și panta \(m\), se poate folosi forma punct-pantă:
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Dezvoltând calculele, se obține:
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
și deci
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Prin urmare, în forma \(y=mx+q\), avem
\[ q=y_1-mx_1. \]
Dacă, în schimb, sunt cunoscute două puncte distincte \(P_1(x_1,y_1)\) și \(P_2(x_2,y_2)\), cu \(x_1\ne x_2\), atunci panta este
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Condiția \(x_1\ne x_2\) este esențială: dacă \(x_1=x_2\), dreapta determinată de cele două puncte este verticală și nu poate fi scrisă sub forma \(y=mx+q\). În acest caz, ecuația ei este
\[ x=x_1. \]
Ecuația generală a dreptei
Ecuația generală a unei drepte este
\[ ax+by+c=0, \]
unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), iar \(a\) și \(b\) nu sunt ambii nuli. Condiția
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
este necesară: într-adevăr, dacă \(a=0\) și \(b=0\), ecuația nu ar mai depinde de \(x\) și \(y\). Dacă \(c=0\), ea ar fi verificată de toate punctele planului; dacă \(c\ne0\), nu ar fi verificată de niciun punct. În ambele cazuri, ea nu ar reprezenta o dreaptă.
Ecuația generală este forma cea mai generală a ecuației unei drepte în planul cartezian, deoarece cuprinde și dreptele verticale, care nu pot fi scrise sub forma \(y=mx+q\).
Dacă \(b\ne 0\), putem determina \(y\):
\[ by=-ax-c, \]
deci
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
În acest caz dreapta nu este verticală, iar ecuația ei explicită este
\[ y=mx+q, \]
cu
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Dacă, în schimb, \(b=0\), atunci în mod necesar \(a\ne 0\), iar ecuația devine
\[ ax+c=0. \]
Determinând \(x\), obținem
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
Aceasta este ecuația unei drepte verticale.
Dacă \(a=0\), atunci în mod necesar \(b\ne 0\), iar ecuația devine
\[ by+c=0. \]
Determinând \(y\), obținem
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
Aceasta este ecuația unei drepte orizontale.
Ecuația generală este deosebit de utilă deoarece permite verificarea cu ușurință a apartenenței unui punct la o dreaptă. Într-adevăr, un punct \(P(x_0,y_0)\) aparține dreptei \(ax+by+c=0\) dacă și numai dacă
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
În plus, pornind de la forma punct-pantă
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
se poate obține o ecuație generală trecând toți termenii în primul membru:
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
adică
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Semnificația geometrică a pantei
Panta unei drepte neverticale măsoară raportul dintre variația ordonatei și variația abscisei. Dacă dreapta trece prin două puncte distincte
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
cu \(x_1\ne x_2\), atunci panta este
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Această formulă arată că \(m\) măsoară variația lui \(y\) pentru o unitate de variație a lui \(x\). Din acest motiv, panta este numită și coeficientul unghiular al dreptei.
Dacă dreapta are ecuația explicită
\[ y=mx+q, \]
atunci valoarea lui \(m\) determină comportamentul geometric al dreptei.
- Dacă \(m>0\), dreapta este crescătoare: atunci când \(x\) crește, și \(y\) crește. În acest caz dreapta formează cu semiaxa pozitivă a absciselor un unghi ascuțit.
- Dacă \(m<0\), dreapta este descrescătoare: atunci când \(x\) crește, \(y\) scade. În acest caz dreapta formează cu semiaxa pozitivă a absciselor un unghi obtuz.
- Dacă \(m=0\), dreapta este orizontală. Într-adevăr, ecuația devine \(y=q\), astfel încât ordonata rămâne constantă pe măsură ce \(x\) variază.
Panta este legată și de unghiul de înclinare al dreptei. Dacă \(\alpha\) este unghiul pe care dreapta îl formează cu semiaxa pozitivă a absciselor, atunci, pentru o dreaptă neverticală, are loc relația
\[ m=\tan\alpha. \]
Dreptele verticale constituie un caz particular. O dreaptă verticală are ecuația
\[ x=k. \]
În acest caz panta nu este definită, deoarece abscisa este constantă și nu este posibil să se exprime \(y\) în funcție de \(x\). Din punct de vedere geometric, dreapta verticală este paralelă cu axa \(y\).
Ecuația parametrică a dreptei
O dreaptă poate fi descrisă și printr-o ecuație parametrică. În această formă, coordonatele punctelor dreptei depind de un parametru real.
Să presupunem că dreapta trece printr-un punct
\[ P_0(x_0,y_0) \]
și are ca vector director un vector nenul
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Atunci o reprezentare parametrică a dreptei este
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Parametrul \(t\) indică deplasarea de-a lungul direcției vectorului \(\boldsymbol{v}\). Pe măsură ce \(t\) parcurge \(\mathbb{R}\), punctul
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
descrie toate punctele dreptei și numai pe acestea.
Dacă sunt cunoscute două puncte distincte
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
putem alege ca vector director
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
În acest caz, o reprezentare parametrică a dreptei determinate de \(P_1\) și \(P_2\) este
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pentru \(t=0\) se obține punctul \(P_1\), în timp ce pentru \(t=1\) se obține punctul \(P_2\). Valorile cuprinse între \(0\) și \(1\) descriu punctele segmentului \(P_1P_2\), în timp ce celelalte valori ale lui \(t\) descriu punctele dreptei situate în afara segmentului.
Forma parametrică este deosebit de utilă deoarece descrie în același mod dreptele oblice, orizontale și verticale. De exemplu, dacă vectorul director este \((0,b)\), cu \(b\ne 0\), atunci abscisa rămâne constantă și se obține o dreaptă verticală.
Dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată
Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând patru unghiuri drepte. În planul cartezian, această condiție poate fi exprimată simplu prin intermediul pantelor atunci când acestea sunt definite; cazurile vertical și orizontal trebuie tratate separat.
Să presupunem că o dreaptă \(r\) are ecuația
\[ r:\ y=mx+q, \]
cu \(m\ne 0\). Atunci orice dreaptă perpendiculară pe \(r\) are panta
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
Într-adevăr, dacă două drepte neverticale au pantele \(m_1\) și \(m_2\), ele sunt perpendiculare dacă și numai dacă
\[ m_1m_2=-1. \]
Pentru a determina dreapta perpendiculară pe \(r\) care trece printr-un punct \(P_0(x_0,y_0)\), se folosește deci forma punct-pantă:
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
Punctul \(P_0(x_0,y_0)\) este pur și simplu punctul prin care trebuie să treacă dreapta perpendiculară. Nu este necesar ca el să aparțină dreptei \(r\).
Trebuie totuși să distingem cazurile particulare.
- Dacă \(r\) este orizontală, atunci are ecuația \(y=k\). Dreapta perpendiculară pe \(r\) care trece prin \(P_0(x_0,y_0)\) este verticală și are ecuația \(x=x_0\).
- Dacă \(r\) este verticală, atunci are ecuația \(x=h\). Dreapta perpendiculară pe \(r\) care trece prin \(P_0(x_0,y_0)\) este orizontală și are ecuația \(y=y_0\).
Mai general, folosind ecuația generală, dreapta
\[ ax+by+c=0 \]
are ca vector normal
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
O dreaptă perpendiculară pe aceasta are, prin urmare, o direcție paralelă cu vectorul \((a,b)\). Din acest motiv, dacă trebuie să treacă prin \(P_0(x_0,y_0)\), o posibilă ecuație parametrică a ei este
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Această descriere este utilă deoarece funcționează și în cazurile în care dreapta de plecare este verticală sau orizontală.
Probleme rezolvate despre dreaptă
Încheiem cu câteva probleme rezolvate despre ecuația dreptei. Exemplele arată cum se aplică formulele prezentate în secțiunile anterioare: ecuația dreptei determinate de două puncte, dreapta perpendiculară, panta și forma parametrică.
Problema 1. Să se determine ecuația explicită a dreptei determinate de punctele \(A(1,2)\) și \(B(3,6)\).
Calculăm panta:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Deoarece dreapta trece prin \(A(1,2)\), folosim forma punct-pantă:
\[ y-2=2(x-1). \]
Dezvoltând, obținem:
\[ y-2=2x-2, \]
deci
\[ y=2x. \]
Ecuația dreptei căutate este, așadar,
\[ y=2x. \]
Să verificăm că ambele puncte aparțin dreptei:
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Problema 2. Să se determine ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta \(y=2x\) și care trece prin punctul \(P(3,6)\).
Dreapta dată are panta
\[ m=2. \]
Deoarece dreapta căutată trebuie să fie perpendiculară pe dreapta dată, panta ei este
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Folosim acum forma punct-pantă cu punctul \(P(3,6)\):
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
Adunând \(6\) la ambii membri, obținem:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
Deci,
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
Ecuația explicită a dreptei căutate este
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
Sub formă de ecuație generală:
\[ 2y=-x+15, \]
adică
\[ x+2y-15=0. \]
Să verificăm trecerea prin \(P(3,6)\):
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Problema 3. Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul \(P(3,4)\) și are un unghi de înclinare de \(30^\circ\) față de semiaxa pozitivă a absciselor.
Panta unei drepte neverticale este legată de unghiul de înclinare prin relația
\[ m=\tan\alpha. \]
În acest caz \(\alpha=30^\circ\), deci
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Folosim forma punct-pantă cu \(P(3,4)\):
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
Deci,
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Ecuația dreptei căutate este, așadar,
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Să verificăm trecerea prin \(P(3,4)\):
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Problema 4. Să se determine ecuația dreptei perpendiculare pe dreapta \(y=2x\) și care trece prin punctul \(P(4,2)\).
Dreapta \(y=2x\) are panta
\[ m=2. \]
Dreapta perpendiculară are, prin urmare, panta
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
Folosind forma punct-pantă cu punctul \(P(4,2)\), obținem:
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
Dezvoltând:
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
Deci,
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
Ecuația explicită a dreptei căutate este
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
Sub formă de ecuație generală:
\[ 2y=-x+8, \]
adică
\[ x+2y-8=0. \]
Să verificăm trecerea prin \(P(4,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Problema 5. Să se scrie ecuația parametrică a dreptei determinate de \(A(3,-1)\) și \(B(4,1)\). Apoi, să se determine ecuația carteziană corespunzătoare.
Calculăm un vector director al dreptei:
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
O reprezentare parametrică a dreptei care trece prin \(A(3,-1)\), cu vectorul director \(\boldsymbol{v}=(1,2)\), este
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pentru a trece la forma carteziană, determinăm \(t\) din prima ecuație:
\[ x=3+t, \]
deci
\[ t=x-3. \]
Înlocuind în a doua ecuație:
\[ y=-1+2(x-3). \]
Dezvoltând:
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
Prin urmare, ecuația explicită a dreptei este
\[ y=2x-7. \]
Trecând toți termenii în primul membru, obținem ecuația generală:
\[ 2x-y-7=0. \]
Să verificăm trecerea prin cele două puncte:
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
