Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au distanță constantă față de un punct fix, numit centru. Această distanță constantă poartă numele de rază. Cercul este o curbă închisă, simetrică față de centrul său, și reprezintă un caz particular de conică nedegenerată, obținută prin secționarea unui con circular drept cu un plan perpendicular pe axa conului și care nu trece prin vârf.
Cuprins
- Definiția geometrică și deducerea ecuației
- Ecuația cercului cu centrul în origine
- Ecuația cercului cu centru oarecare
- Forma generală și completarea pătratului
- Condiții pentru a reprezenta un cerc real
- Poziția unui punct față de cerc
- Dreapta tangentă la cerc
- Intersecția a două cercuri
- Fasciculul de cercuri
- Simetrii și proprietăți geometrice
- Exerciții
Definiția geometrică și deducerea ecuației
Considerăm un punct fix \( C(x_0, y_0) \) într-un reper cartezian ortonormat. Cercul de centru \( C \) și rază \( r > 0 \) este mulțimea punctelor \( P(x, y) \) din plan astfel încât:
\[ \text{dist}(P,C)=r \]
Aplicând formula distanței euclidiene dintre două puncte din planul cartezian, obținem:
\[ \text{dist}(P, C) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
Impunând condiția \( \text{dist}(P, C) = r \), obținem:
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \]
Ridicând la pătrat ambii membri (operație permisă, deoarece ambii membri sunt nenegativi, întrucât \( r > 0 \) prin definiție):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Aceasta este forma canonică (sau forma normală) a ecuației cercului cu centrul \( C(x_0, y_0) \) și raza \( r \). Ecuația reprezintă exact punctele care satisfac condiția geometrică de apartenență la cerc.
Ecuația cercului cu centrul în origine
În cazul particular în care centrul coincide cu originea reperului, adică \( C(0, 0) \), luând \( x_0 = 0 \) și \( y_0 = 0 \) în forma canonică, ecuația se simplifică semnificativ:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Aceasta este ecuația cea mai simplă a cercului și descrie mulțimea tuturor punctelor egal depărtate de originea axelor de coordonate. Ecuația se bucură de următoarele proprietăți de simetrie:
- Simetrie față de axa absciselor: dacă \( (x, y) \) aparține cercului, atunci și \( (x, -y) \) îi aparține
- Simetrie față de axa ordonatelor: dacă \( (x, y) \) aparține cercului, atunci și \( (-x, y) \) îi aparține
- Simetrie centrală față de origine: dacă \( (x, y) \) aparține cercului, atunci și \( (-x, -y) \) îi aparține
În plus, toate diametrele cercului trec prin origine și au lungimea \( 2r \). Punctul \( (r, 0) \) reprezintă intersecția cercului cu semiaxa pozitivă a absciselor.
Ecuația cercului cu centru oarecare
Considerăm acum cazul general al unui cerc cu centrul într-un punct oarecare \( C(x_0, y_0) \) al planului și rază \( r > 0 \). Ecuația canonică este:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Dezvoltând pătratele binoamelor cu ajutorul identităților algebrice \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), obținem:
\[ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2 \]
Rearanjând termenii și trecând toate cantitățile în membrul întâi:
\[ x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - r^2) = 0 \]
Introducem acum parametrii:
\[ D = -2x_0 \quad , \quad E = -2y_0 \quad , \quad F = x_0^2 + y_0^2 - r^2 \]
Din aceste relații putem obține:
\[ x_0 = -\frac{D}{2} \quad , \quad y_0 = -\frac{E}{2} \quad , \quad r^2 = x_0^2 + y_0^2 - F = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Înlocuind în forma dezvoltată, obținem forma generală a ecuației cercului:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Forma generală și completarea pătratului
Fiind dată o ecuație sub forma generală:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
pentru a o aduce la forma canonică și a determina centrul și raza, folosim metoda completării pătratului. Metoda constă în transformarea expresiilor \( x^2 + Dx \) și \( y^2 + Ey \) în pătrate perfecte.
Pentru termenul în \( x \):
\[ x^2 + Dx = x^2 + Dx + \frac{D^2}{4} - \frac{D^2}{4} = \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} \]
Analog, pentru termenul în \( y \):
\[ y^2 + Ey = y^2 + Ey + \frac{E^2}{4} - \frac{E^2}{4} = \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} \]
Înlocuind în ecuația generală:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0 \]
Rearanjând:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Aceasta este forma canonică, din care putem citi direct:
- Centrul: \( C\left( -\displaystyle \frac{D}{2}, -\displaystyle\frac{E}{2} \right) \)
- Raza: \( r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2 + E^2}{4} - F} \) (cu condiția ca expresia de sub radical să fie pozitivă)
Condiții pentru a reprezenta un cerc real
Considerăm o ecuație de gradul al doilea în cele două variabile \(x\) și \(y\):
\[ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 \]
Aceasta poate reprezenta un cerc numai dacă coeficienții termenilor pătratici puri sunt egali și termenul mixt lipsește. Mai precis, trebuie să fie îndeplinite condițiile:
- coeficienții termenilor pătratici sunt egali și nenuli: \(a=b\ne 0\);
- lipsa termenului mixt: \(c=0\).
În acest caz, împărțind ecuația prin \(a\), se obține:
\[ x^2+y^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}y+\frac{f}{a}=0. \]
Centrul și pătratul razei sunt, prin urmare:
\[ C\left(-\frac{d}{2a},-\frac{e}{2a}\right), \qquad r^2=\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}. \]
În consecință:
- dacă \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}>0 \), ecuația reprezintă un cerc real nedegenerat;
- dacă \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}=0 \), ecuația reprezintă un cerc degenerat, redus la un punct;
- dacă \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}<0 \), ecuația nu are puncte reale.
În cazul formei standard
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
centrul și pătratul razei sunt:
\[ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. \]
Condiția ca ecuația să reprezinte un cerc real nedegenerat este:
\[ \frac{D^2+E^2}{4}-F>0 \quad \Longleftrightarrow \quad D^2+E^2-4F>0. \]
Distingem astfel trei cazuri:
- dacă \(D^2+E^2-4F>0\): ecuația reprezintă un cerc real nedegenerat, de rază \( \displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} \);
- dacă \(D^2+E^2-4F=0\): ecuația reprezintă un cerc degenerat, redus doar la centru;
- dacă \(D^2+E^2-4F<0\): ecuația nu are puncte reale.
Poziția unui punct față de cerc
Fiind dat un cerc de ecuație \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \) și un punct \( P(x_P, y_P) \), putem determina poziția relativă a punctului față de cerc calculând cantitatea:
\[ \delta = (x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 - r^2 \]
Se disting trei posibilități:
- Dacă \( \delta = 0 \): punctul aparține cercului
- Dacă \( \delta < 0 \): punctul este interior cercului
- Dacă \( \delta > 0 \): punctul este exterior cercului
Echivalent, comparând distanța \( d = \sqrt{(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2} \) a punctului față de centru cu raza:
- Dacă \( d = r \): punct pe cerc
- Dacă \( d < r \): punct interior
- Dacă \( d > r \): punct exterior
Dreapta tangentă la cerc
Fiind dat un cerc de centru \( C(x_0, y_0) \) și rază \( r \), și un punct \( P(x_1, y_1) \) aparținând cercului, ecuația dreptei tangente la cerc în punctul \( P \) este:
\[ (x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) = r^2 \]
În cazul particular al unui cerc cu centrul în origine \( x^2 + y^2 = r^2 \), ecuația tangentei în punctul \( P(x_1, y_1) \) se simplifică la:
\[ x_1 x + y_1 y = r^2 \]
Dreapta tangentă este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență. Acest rezultat rezultă din faptul că vectorul \( \overrightarrow{CP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \) este normal la tangentă.
Tangente duse dintr-un punct exterior
Dintr-un punct exterior \( P(x_P, y_P) \) unui cerc se pot duce exact două drepte tangente. Pentru a le determina, se poate considera o dreaptă oarecare ce trece prin \(P\) și se poate impune ca distanța ei față de centru să fie egală cu raza. Alternativ, se pot căuta direct punctele de tangență \(T\), impunând ca \(T\) să aparțină cercului și ca tangenta în \(T\) să treacă prin punctul exterior \(P\).
Intersecția a două cercuri
Fiind date două cercuri:
\[ \Gamma_1:\quad x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 \]
\[ \Gamma_2:\quad x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0, \]
pentru a găsi eventualele puncte de intersecție se rezolvă sistemul format din cele două ecuații. Scăzând a doua ecuație din prima, se obține:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Dacă cele două cercuri nu sunt concentrice și nu coincid, această ecuație reprezintă o dreaptă, numită axă radicală. Când cercurile sunt secante, axa radicală trece prin cele două puncte de intersecție; când sunt tangente, ea trece prin unicul lor punct comun.
Dacă, dimpotrivă, cele două cercuri sunt concentrice, adică au același centru, scăderea celor două ecuații nu produce o dreaptă: se obține o ecuație imposibilă, în cazul razelor diferite, sau o identitate, în cazul cercurilor coincidente.
Pozițiile relative ale celor două cercuri depind de distanța \(d\) dintre centre și de razele \(r_1\) și \(r_2\):
- dacă \(d=0\) și \(r_1=r_2\): cele două cercuri sunt coincidente și au o infinitate de puncte comune;
- dacă \(d=0\) și \(r_1\ne r_2\): cele două cercuri sunt concentrice și nu au puncte comune;
- dacă \(d>r_1+r_2\): cele două cercuri sunt exterioare unul altuia și nu au puncte comune;
- dacă \(d=r_1+r_2\): cele două cercuri sunt tangente exterior și au un singur punct comun;
- dacă \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\): cele două cercuri sunt secante și au două puncte comune;
- dacă \(d=|r_1-r_2|\) și \(d>0\): cele două cercuri sunt tangente interior și au un singur punct comun;
- dacă \(0<d<|r_1-r_2|\): un cerc este interior celuilalt și nu au puncte comune.
Fasciculul de cercuri
Considerăm două cercuri de ecuații:
\[ \Gamma_1(x,y)=x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 \]
\[ \Gamma_2(x,y)=x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0. \]
Fasciculul de cercuri generat de \(\Gamma_1\) și \(\Gamma_2\) este mulțimea ecuațiilor:
\[ \lambda \Gamma_1(x,y)+\mu \Gamma_2(x,y)=0, \]
unde \(\lambda\) și \(\mu\) sunt parametri reali, nu ambii nuli.
Explicit:
\[ \lambda(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+ \mu(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0. \]
Dacă \(\lambda+\mu\ne 0\), ecuația conține în continuare termenii pătratici \(x^2+y^2\) și poate reprezenta un cerc, un cerc degenerat sau un loc geometric fără puncte reale, în funcție de valoarea pătratului razei.
Dacă, dimpotrivă, \(\lambda+\mu=0\), termenii pătratici se anulează. În acest caz, atunci când cele două cercuri nu sunt concentrice, se obține ecuația axei radicale:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Din punct de vedere geometric, se disting câteva cazuri fundamentale:
- cercuri generatoare secante: toate cercurile fasciculului trec prin cele două puncte comune celor două cercuri generatoare;
- cercuri generatoare tangente: toate cercurile fasciculului trec prin punctul de tangență comun;
- cercuri generatoare nesecante: cercurile fasciculului nu au puncte de bază reale comune;
- cercuri generatoare concentrice: cercurile fasciculului au același centru.
În orice caz, nu toate ecuațiile fasciculului reprezintă în mod necesar cercuri reale nedegenerate: anumite valori ale parametrului pot produce un cerc degenerat, un loc geometric lipsit de puncte reale sau, atunci când \(\lambda+\mu=0\) și generatoarele nu sunt concentrice, o dreaptă.
Simetrii și proprietăți geometrice
Cercul posedă remarcabile proprietăți de simetrie care îl fac o figură geometrică de interes deosebit:
Simetrii
- Simetrie centrală: orice cerc este simetric față de propriul centru
- Axe de simetrie: orice dreaptă ce trece prin centru este o axă de simetrie
- Invarianță la rotație: cercul este invariant la orice rotație în jurul centrului
Proprietăți metrice
- Lungimea cercului: \( L = 2\pi r \)
- Aria discului: \( A = \pi r^2 \)
- Unghiuri la centru și unghiuri înscrise: un unghi înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura unghiului la centru corespunzător aceluiași arc
Exerciții
Exercițiul 1. Să se verifice dacă punctul \( P(3, 4) \) aparține cercului de ecuație \( x^2 + y^2 = 25 \).
Rezolvare. Înlocuim coordonatele punctului în ecuație:
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Întrucât egalitatea este verificată, punctul \( P(3, 4) \) aparține cercului. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că distanța de la \( P \) la origine este exact egală cu raza \( r = 5 \).
Exercițiul 2. Să se determine ecuația cercului cu centrul \( C(2, -3) \) și raza \( r = 4 \).
Rezolvare. Aplicând forma canonică:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. \]
Dezvoltând, obținem forma generală:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]
Exercițiul 3. Fiind dată ecuația \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 5 = 0 \), să se determine centrul și raza cercului.
Rezolvare. Formăm pătratele perfecte:
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16. \]
Înlocuind:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 5 = 0 \]
\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20. \]
Prin urmare:
- Centrul: \( C(-3, 4) \)
- Raza: \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Exercițiul 4. Să se afle ecuația cercului care trece prin punctele \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) și \( R(-1, 0) \).
Rezolvare. Folosim forma generală \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) și impunem trecerea prin cele trei puncte:
Pentru \( A(1, 0) \), avem
\[ 1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \]
Pentru \( B(0, 1) \), avem
\[ 0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \]
Pentru \( R(-1, 0) \), avem
\[ 1 + 0 - D + 0 + F = 0 \implies -D + F = -1 \]
Rezolvând sistemul:
\[ \begin{cases} D + F = -1 \\ E + F = -1 \\ -D + F = -1 \end{cases} \]
Din prima și a treia ecuație: \( D = 0 \), deci \( F = -1 \). Din a doua ecuație: \( E = 0 \).
Ecuația căutată este: \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), adică \( x^2 + y^2 = 1 \).
Acesta este cercul unitate cu centrul în origine.
Exercițiul 5. Să se determine tangentele la cercul \( x^2 + y^2 = 9 \) duse din punctul exterior \( P(5, 0) \).
Rezolvare. Fie \( T(x_T, y_T) \) un punct de tangență. Deoarece cercul are ecuația \(x^2+y^2=9\), tangenta în punctul \(T(x_T,y_T)\) are ecuația:
\[ x_T x + y_T y = 9. \]
Deoarece această dreaptă trece prin \( P(5, 0) \):
\[ 5x_T + 0 \cdot y_T = 9 \Rightarrow x_T = \frac{9}{5} \]
Cum \( T \) se află pe cerc: \( x_T^2 + y_T^2 = 9 \), rezultă:
\[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 + y_T^2 = 9 \Rightarrow y_T^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \Rightarrow y_T = \pm\frac{12}{5} \]
Punctele de tangență sunt
\[ T_1\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right) \quad \text{și} \quad T_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right) \]
Ecuațiile tangentelor sunt:
\[ \frac{9}{5}x + \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x + 4y = 15 \]
\[ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x - 4y = 15. \]