Teorema permanenței semnului pentru funcții afirmă că, dacă o funcție reală \( f \) admite limita \( L \neq 0 \) pentru \( x \to x_0 \), atunci există o vecinătate a lui \( x_0 \) în care funcția \( f(x) \) păstrează același semn ca \( L \) pentru toate valorile lui \( x \) din acea vecinătate (eventual cu excepția lui \( x_0 \)). Cu alte cuvinte:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L>0 \,\implies\, \exists \delta>0 \,:\, \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\} \, , \, f(x)>0 \]
Dacă în schimb \(L<0\), atunci:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L<0 \,\implies\, \exists \delta>0 \,:\, \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\} \, , \, f(x)<0 \]
Reamintim definiția limitei:
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \,\iff\, \forall \epsilon>0 \,\, \exists \delta>0 \,:\, \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\} \, , \, |f(x)-L|<\epsilon \]
În particular, alegând \[ \epsilon=\frac{|L|}{2}, \] obținem:
\[ L-\frac{|L|}{2} < f(x) < L+\frac{|L|}{2} \]
Observăm acum că:
- Dacă \(L>0\), atunci
\[ \left( L-\frac{L}{2} \right) = \frac{L}{2} < f(x) < \frac{3L}{2} = \left( L+\frac{L}{2} \right) \qquad \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\} \]
- Dacă \(L=-|L|<0\), atunci
\[ \left( -|L|-\frac{|L|}{2} \right) = -\frac{3|L|}{2} < f(x) < -\frac{|L|}{2} = \left( -|L|+\frac{|L|}{2} \right) \qquad \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\} \]
În ambele cazuri, într-o vecinătate a lui \(x_0\), valorile funcției \(f(x)\) au același semn ca limita \(L\).
Exercițiul 1. Considerăm funcția \(f(x)=e^x\). Calculăm limita pentru \(x\to 0\):
\[ \lim_{x\to 0} e^x=e^0=1 \]
Alegând \[ \epsilon=\frac{1}{2}, \] avem:
\[ |e^x-1|<\frac{1}{2} \]
Aceasta implică:
\[ -\frac{1}{2} < e^x-1 < \frac{1}{2} \]
Adăugând \(1\) în toți membrii:
\[ \frac{1}{2} < e^x < \frac{3}{2} \]
Concluzionăm că într-o vecinătate a lui \(x=0\), funcția \(e^x\) ia valori pozitive.
Exercițiul 2. Calculăm limita pentru \(x\to 2\) a funcției logaritmice \(f(x)=\ln(x)\). Avem:
\[ \lim_{x\to 2}\ln(x)=\ln(2) \]
Acum, alegând \[ \epsilon=\frac{\ln(2)}{2}, \] obținem:
\[ |\ln(x)-\ln(2)| < \frac{\ln(2)}{2} \]
Aceasta implică:
\[ \ln(2)-\frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \ln(2)+\frac{\ln(2)}{2} \]
În final, simplificând:
\[ \frac{\ln(2)}{2} < \ln(x) < \frac{3\ln(2)}{2} \]
Prin urmare, într-o vecinătate a lui \(x=2\), funcția \(\ln(x)\) ia valori pozitive.
Exercițiul 3. Fie \(f(x)=e^x-1\). Calculăm limita pentru \(x\to 1\):
\[ \lim_{x\to 1}(e^x-1)=e-1 \]
Alegem \[ \epsilon=\frac{e-1}{2}: \]
\[ |(e^x-1)-(e-1)| < \frac{e-1}{2} \]
Aceasta implică:
\[ e-1-\frac{e-1}{2} < e^x-1 < e-1+\frac{e-1}{2} \]
Simplificând:
\[ \frac{e-1}{2} < e^x-1 < \frac{3(e-1)}{2} \]
În final:
\[ 1+\frac{e-1}{2} < e^x < 1+\frac{3(e-1)}{2} \]
Așadar, într-o vecinătate a lui \(x=1\), atât \(e^x\), cât și funcția \(f(x)=e^x-1\) iau valori pozitive, confirmând teorema.