Teorema permanenței semnului pentru șiruri afirmă că, dacă un șir real \(a_n\) converge către o limită \(L\neq 0\), atunci există un indice \(N\) dincolo de care toți termenii șirului au același semn ca \(L\). Cu alte cuvinte:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{cu } L>0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n>0 \]
Dacă în schimb \(L<0\), atunci:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{cu } L<0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n<0 \]
Prin definiție, limita șirului \(a_n\) este \(L\) dacă și numai dacă:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \,\iff\, \forall \varepsilon>0 \,\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, |a_n-L|<\varepsilon \]
În particular, alegând \[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}, \] obținem inegalitatea:
\[ L-\frac{|L|}{2} < a_n < L+\frac{|L|}{2} \]
Observăm acum următoarele cazuri:
- Dacă \(L>0\), atunci:
\[ \frac{|L|}{2} < a_n < \frac{3|L|}{2} \qquad \forall n\geq N \]
- Dacă \(L<0\), adică \(L=-|L|\), atunci:
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \qquad \forall n\geq N \]
În ambele cazuri, pentru orice \(n\geq N\), termenii șirului \(a_n\) vor avea același semn ca limita \(L\).
Exercițiul 1: Considerăm șirul \[ a_n=\frac{1}{n}. \] Calculăm limita lui \(a_n\) pentru \(n\to\infty\):
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \]
Deși șirul converge către \(0\), nu putem aplica teorema permanenței semnului, deoarece limita este nulă.
Exercițiul 2: Considerăm șirul \[ a_n=\frac{3}{n}-2. \] Calculăm limita lui \(a_n\) pentru \(n\to\infty\):
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2 \]
Alegem \(\varepsilon=1\). Trebuie să găsim un indice \(N\) astfel încât, pentru orice \(n\geq N\), să avem:
\[ |a_n+2|<1 \]
În acest caz:
\[ |a_n+2| = \left|\frac{3}{n}\right| \]
Dorim ca:
\[ \frac{3}{n}<1 \]
ceea ce este satisfăcut pentru \(n>3\). Prin urmare, pentru orice \(n\geq 4\), termenii șirului \(a_n\) sunt negativi și converg către \(-2\), păstrând semnul negativ pentru toate valorile \(n\geq 4\).
Exercițiul 3: Considerăm șirul \[ a_n=\frac{5}{n}+1. \] Calculăm limita lui \(a_n\) pentru \(n\to\infty\):
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1 \]
Alegem \[ \varepsilon=\frac{1}{2}. \] Trebuie să găsim un indice \(N\) astfel încât pentru orice \(n\geq N\) să avem:
\[ |a_n-1|<\frac{1}{2} \]
În acest caz:
\[ |a_n-1| = \left|\frac{5}{n}\right| \]
Dorim ca:
\[ \frac{5}{n}<\frac{1}{2} \]
ceea ce este satisfăcut pentru \(n>10\). Prin urmare, pentru orice \(n\geq 11\), termenii șirului \(a_n\) sunt pozitivi și converg către \(1\), păstrând semnul pozitiv pentru toate valorile \(n\geq 11\).