Culegere de exerciții privind studiul semnului funcțiilor polinomiale și raționale. Rezolvări pas cu pas cu tabele de semne și analiza zerourilor, a domeniului de definiție și a eventualelor puncte de excludere.
Studiul semnului constă în determinarea valorilor variabilei pentru care o funcție este pozitivă, negativă sau nulă. În acest scop se analizează zerourile, domeniul de definiție și, când este necesar, semnul fiecărui factor în parte.
Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -1 \text{ sau } x > 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ pentru } x=-1,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -1 < x < 3 \]
Rezolvare
Zerouri
Zerourile sunt valorile care anulează cel puțin un factor:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(x<-1\) sau \(x>3\).
\(f(x)=0\) pentru \(x=-1\) și \(x=3\).
\(f(x)<0\) pentru \(-1<x<3\).
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -2 < x < 4\]
\[ f(x) = 0 \text{ pentru } x=-2,\,4\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } x > 4 \]
Rezolvare
Observație
Factorul \(-1\) inversează semnul produsului \((x+2)(x-4)\).
Zerouri
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2, \qquad x-4=0 \Rightarrow x=4. \]
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(-2<x<4\).
\(f(x)=0\) pentru \(x=-2\) și \(x=4\).
\(f(x)<0\) pentru \(x<-2\) sau \(x>4\).
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < 2 \text{ sau } x > 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ pentru } x=2,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } 2 < x < 3 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]
Zerouri
\(x=2\) și \(x=3\).
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(x<2\) sau \(x>3\).
\(f(x)<0\) pentru \(2<x<3\).
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -2 < x < 3\]
\[ f(x) = 0 \text{ pentru } x=-2,\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } x > 3 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ -x^2+x+6 = -(x^2-x-6)=-(x-3)(x+2) \]
Zerouri
\(x=-2\) și \(x=3\).
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(-2<x<3\).
\(f(x)<0\) pentru \(x<-2\) sau \(x>3\).
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -1 < x < 2 \text{ sau } x > 5\]
\[ f(x) = 0 \text{ pentru } x=-1,\,2,\,5\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -1 \text{ sau } 2 < x < 5 \]
Rezolvare
Zerouri
\(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\).
Observație
Toate zerourile sunt simple, prin urmare semnul produsului se schimbă la trecerea prin fiecare dintre ele.
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(-1<x<2\) sau \(x>5\).
\(f(x)<0\) pentru \(x<-1\) sau \(2<x<5\).
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -3 \text{ sau } x > 1\]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=1\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -3 < x < 1 \]
Rezolvare
Domeniu de definiție
Numitorul se anulează pentru \(x=-3\). Prin urmare \(x\neq -3\).
Zero
Numărătorul se anulează pentru \(x=1\).
Tabelul semnelor
Concluzie
\(x=-3\) este exclus din domeniu; \(x=1\) este un zero al funcției.
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -2 < x < 0 \text{ sau } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-2,\,0,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } 0 < x < 2 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2) \]
Zerouri
\(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -2 < x < 1 \text{ sau } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-2,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } 1 < x < 2 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Domeniu de definiție
\(x\neq 1\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x > -\frac{1}{2},\ x\neq 3\]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-\frac{1}{2},\,3\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -\frac{1}{2} \]
Rezolvare
Zerouri
\(x=-\frac{1}{2}\) este un zero simplu; \(x=3\) este un zero dublu.
Observație
Factorul \((x-3)^2\) este întotdeauna nenegativ: semnul nu se schimbă la trecerea prin \(x=3\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } 0 < x < 1 \text{ sau } x > 4\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -2 < x < 0 \text{ sau } 1 < x < 4 \]
Rezolvare
Domeniu de definiție
\(x\neq 0\), \(x\neq 4\).
Zerouri
\(x=-2\) și \(x=1\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -2,\ -1 < x < 1,\ x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -2 < x < -1 \text{ sau } 1 < x < 2 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Zerouri
\(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -3 \text{ sau } x > 1,\ x\neq 2 \]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -3 < x < 1 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Domeniu de definiție
\(x\neq -3\), \(x\neq 2\).
Simplificare
Pentru \(x\neq 2\), funcția are același semn ca \(\frac{x-1}{x+3}\), însă punctul \(x=2\) rămâne exclus din domeniu.
Tabelul semnelor
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -3,\ -1 < x < 1,\ x > 3\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -3 < x < -1 \text{ sau } 1 < x < 3 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ (x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Zerouri
\(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } -2 < x < -1 \text{ sau } 0 < x < 1 \text{ sau } x > 2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } -1 < x < 0 \text{ sau } 1 < x < 2 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ f(x)=\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Domeniu de definiție
\(x\neq -2\), \(x\neq 2\).
Zerouri
\(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\).
Tabelul semnelor
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -3 \text{ sau } x > 2\]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-3,\,0,\,2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -3 < x < 0 \text{ sau } 0 < x < 2 \]
Rezolvare
Zerouri
\(x=-3\), \(x=0\), \(x=2\).
Observație
Zeroul \(x=0\) este dublu, prin urmare semnul nu se schimbă la trecerea prin el.
Tabelul semnelor
Exercițiul 16 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -2 \text{ sau } x>-1,\ x\neq 0,\ x\neq 1 \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-1 \text{ și } x=0 \]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -2<x<-1 \]
Rezolvare
Domeniu de definiție
\(x\neq -2\), \(x\neq 1\).
Zerouri
\(x=-1\) și \(x=0\).
Observație
Factorii \(x^2\) și \((x-1)^2\) sunt întotdeauna nenegativi și nu-și schimbă semnul. Zeroul \(x=0\) este dublu, iar polul \(x=1\) este dublu.
Deoarece \(x^2\) și \((x-1)^2\) sunt întotdeauna nenegativi și nu influențează semnul, acesta depinde exclusiv de:
\[ \frac{x+1}{x+2} \]
Tabelul semnelor
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x > 0,\ x\neq 1 \]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -1 \text{ sau } -1 < x < 0 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]
Domeniu de definiție
\[ x\neq -1,\quad x\neq 0,\quad x\neq 1 \]
Simplificare
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x} \]
Numărătorul \(x^2+1\) este strict pozitiv pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
Prin urmare, semnul funcției depinde exclusiv de numitorul \(x\), ținând cont că \(x=-1\), \(x=0\) și \(x=1\) rămân excluse din domeniu.
Tabelul semnelor
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Rezultat
\[ f(x)\ge 0 \text{ pentru orice } x\in\mathbb{R} \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-3 \text{ și } x=1 \]
Rezolvare
Factorizare
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
\[ f(x)=\big[(x+3)(x-1)\big]^2 \]
Zerouri
\(x=-3\) și \(x=1\).
Observație
Funcția este pătratul unei expresii reale, deci este întotdeauna nenegativă.
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru toți reali diferiți de \(-3\) și \(1\).
\(f(x)=0\) pentru \(x=-3\) și \(x=1\).
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x < -3 \text{ sau } x > 2 \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-1 \text{ și } x=2 \]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } -3<x<-1 \text{ sau } -1<x<0 \text{ sau } 0<x<2 \]
Rezolvare
Domeniu de definiție
\(x\neq -3\), \(x\neq 0\).
Zerouri
\(x=-1\) este un zero dublu; \(x=2\) este un zero simplu.
Observație
Factorii \((x+1)^2\) și \(x^2\) nu-și schimbă semnul. Semnul funcției depinde de factorii \(x-2\) și \(x+3\), ținând cont de punctele excluse.
Tabelul semnelor
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Rezultat
\[ f(x) > 0 \text{ pentru } x > -2,\ x\neq -1,\ x\neq 2 \]
\[ f(x)=0 \text{ pentru } x=-2\]
\[ f(x) < 0 \text{ pentru } x < -2 \]
Rezolvare
Factorizarea numărătorului
Grupăm termenii:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Scoțând factor comun \((x+1)\):
\[ (x+1)(x^2-4) \]
În final:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
deci:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Factorizarea numitorului
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Domeniu de definiție
\(x\neq -1\), \(x\neq 2\).
Simplificare
Pentru \(x\neq -1\) și \(x\neq 2\):
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2 \]
Funcția are, prin urmare, același semn ca \(x+2\), însă punctele \(x=-1\) și \(x=2\) rămân excluse din domeniu.
Tabelul semnelor
Concluzie
\(f(x)>0\) pentru \(x>-2\), cu \(x\neq -1\) și \(x\neq 2\).
\(f(x)<0\) pentru \(x<-2\).
\(f(x)=0\) pentru \(x=-2\).
Punctele \(x=-1\) și \(x=2\) sunt excluse din domeniu.