O culegere de probleme rezolvate pentru a învăța să studiezi semnul unui trinom de gradul al doilea în funcție de un parametru real, să analizezi discriminantul ca funcție de \( k \) și să gestionezi cazurile degenerate în care coeficientul termenului pătratic se anulează. Vei găsi discuția completă pentru fiecare valoare a lui \( k \), cu pași clari chiar și în situațiile mai complexe, concepută pentru a te ajuta să raționezi metodic și să nu ratezi niciun caz.
Exercițiul 1 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + 1 > 0 \]
Rezultat
• \(|k| < 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\): \(S = \left(-\infty,\, x_1\right) \cup \left(x_2,\, +\infty\right)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 - 4 \]
Rădăcinile (când \(\Delta \ge 0\))
\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \]
Studiul semnului — parabolă cu concavitatea în sus
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\): nicio rădăcină reală, trinomul este întotdeauna \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\): rădăcină dublă \(x_0 = -k/2\); parabola atinge axa, dar nu o traversează; inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\): două rădăcini reale distincte \(x_1 < x_2\); trinomul este pozitiv în exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 2 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-2)x + k > 0 \]
Rezultat
• \(k \in (4-2\sqrt{3},\; 4+2\sqrt{3})\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 4 \pm 2\sqrt{3}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• în rest: \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = (k-2)^2 - 4k = k^2 - 8k + 4 \]
Rădăcinile ecuației \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (4-2\sqrt{3},\, 4+2\sqrt{3})\): trinomul este întotdeauna \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0\): rădăcină dublă; inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parabolă deschisă în sus cu două rădăcini distincte; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 3 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 > 0 \]
Rezultat
• \(k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\)
• \(k > -\tfrac{1}{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) cu \(x_{1,2} = (k+1) \mp \sqrt{2k+1}\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4k^2 = 4(k^2+2k+1-k^2) = 4(2k+1) \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -\tfrac{1}{2}\): rădăcină dublă \(x_0 = k+1 = \tfrac{1}{2}\); inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k > -\tfrac{1}{2}\): două rădăcini reale distincte; trinomul este pozitiv în exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 4 — nivel ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Rezultat
• \(k = 1\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(1 < k < 2\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 1\): \(S = [x_1, x_2]\)
Rezolvare
Cazul \(k = 1\) — inecuație de gradul întâi
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Cazul \(k \neq 1\) — inecuație de gradul al doilea
\[ \Delta = 4 - 4(k-1) = 8 - 4k \]
• \(k > 2\): \(\Delta < 0\), \(k-1 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 2\): \(\Delta = 0\), rădăcină dublă \(x_0 = -1\), \(k-1 > 0\); inegalitate nestrictă; \(S = \mathbb{R}\).
• \(1 < k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-1 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 1\): \(\Delta > 0\), \(k-1 < 0\) (concavitate \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx - 4 > 0 \]
Rezultat
Pentru orice \(k \in \mathbb{R}\) există întotdeauna două rădăcini reale distincte; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) cu \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{k^2+16}}{2}\).
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 + 16 \ge 16 > 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{R} \]
Trinomul admite întotdeauna două rădăcini reale distincte. Parabola este deschisă în sus: trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor.
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + k > 0 \]
Rezultat
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(k < 0\) sau \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (rădăcina \(x_0=0\)) sau \(k=4\) (rădăcina \(x_0=2\)): inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) sau \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 7 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 + (k+1)x + k < 0 \]
Rezultat
• \(k = 1\): \(S = \emptyset\)
• \(k < 1\): \(S = (-1,\; -k)\)
• \(k > 1\): \(S = (-k,\; -1)\)
Rezolvare
Factorizare
\[ x^2 + (k+1)x + k = (x+1)(x+k) \]
Discriminantul (verificare)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Studiul semnului
Rădăcinile: \(x = -1\) și \(x = -k\).
• \(k = 1\): rădăcină dublă \(x = -1\); \((x+1)^2 < 0\) este imposibil; \(S = \emptyset\).
• \(k < 1\): \(-k > -1\), rădăcinile sunt ordonate \(-1 < -k\); produsul este \(< 0\) în interior; \(S = (-1,\, -k)\).
• \(k > 1\): \(-k < -1\), rădăcinile sunt ordonate \(-k < -1\); produsul este \(< 0\) în interior; \(S = (-k,\, -1)\).
Exercițiul 8 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 3kx + 2k > 0 \]
Rezultat
• \(k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) sau \(k = \tfrac{8}{9}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• \(k < 0\) sau \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = 9k^2 - 8k = k(9k-8) \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0\) sau \(k = \tfrac{8}{9}\): inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) sau \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + 2 > 0 \]
Rezultat
• \(|k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 - 8 \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\sqrt{2}\): rădăcină dublă \(x_0 = k/2\); inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-3)x + 2k \le 0 \]
Rezultat
• \(k \in (7-2\sqrt{10},\; 7+2\sqrt{10})\): \(S = \emptyset\)
• \(k = 7 \pm 2\sqrt{10}\): \(S = \{x_0\}\)
• în rest: \(S = [x_1, x_2]\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = (k-3)^2 - 8k = k^2 - 14k + 9 \]
Rădăcinile ecuației \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{14 \pm \sqrt{196-36}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{10} \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (7-2\sqrt{10},\, 7+2\sqrt{10})\): parabola deschisă în sus este întotdeauna \(> 0\); \(S = \emptyset\).
• \(\Delta = 0\): unică rădăcină \(x_0\); inegalitate nestrictă; \(S = \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parabolă deschisă în sus, negativă între rădăcini; \(S = [x_1, x_2]\).
Exercițiul 11 — nivel ★★★★☆
\[ (k+2)x^2 - x + 1 > 0 \]
Rezultat
• \(k = -2\): \(S = (-\infty, 1)\)
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) (cu \(k \neq -2\)): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
• \(k < -2\): \(S = (x_1, x_2)\)
Rezolvare
Cazul \(k = -2\) — inecuație de gradul întâi
\(-x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x < 1\); \(S = (-\infty, 1)\).
Cazul \(k \neq -2\) — inecuație de gradul al doilea
\[ \Delta = 1 - 4(k+2) = -4k - 7 \]
Observație: \(-2 < -\tfrac{7}{4}\) (adică \(-2 < -1{,}75\)), deci pe axa reală ordinea este \(k < -2\), apoi \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\), apoi \(k \ge -\tfrac{7}{4}\).
• \(k > -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta < 0\), \(k+2 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta = 0\), \(k+2 = \tfrac{1}{4} > 0\); rădăcină dublă \(x_0 = \tfrac{1}{2(k+2)} = 2\); inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta > 0\), \(k+2 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); trinomul este pozitiv în exterior; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
• \(k < -2\): \(\Delta > 0\), \(k+2 < 0\) (concavitate \(\downarrow\)); trinomul este pozitiv în interior; \(S = (x_1, x_2)\).
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 \ge 0 \]
Rezultat
Pentru orice \(k\), \(S = (-\infty,\; k-1] \cup [k+1,\; +\infty)\).
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-1) = 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Rădăcinile
\[ x_{1,2} = \frac{2k \pm 2}{2} = k \pm 1 \]
Parabolă deschisă în sus cu rădăcinile \(k-1 < k+1\); inegalitate nestrictă; \(S = (-\infty,\, k-1] \cup [k+1,\, +\infty)\).
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + k > 0 \]
Rezultat
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
• \(k < 0\) sau \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (rădăcina \(x_0=0\)) sau \(k=4\) (rădăcina \(x_0=-2\)): inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) sau \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + 1 < 0 \]
Rezultat
• \(k = 1\): \(S = \left(-\infty,\, -\tfrac{1}{2}\right)\)
• \(k > 1\): \(S = (x_1, x_2)\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Cazul \(k = 1\) — inecuație de gradul întâi
\(2x + 1 < 0 \;\Rightarrow\; x < -\tfrac{1}{2}\); \(S = \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\).
Cazul \(k \neq 1\) — inecuație de gradul al doilea
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1) = k^2 - 2k + 5 = (k-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Discriminantul este întotdeauna pozitiv: trinomul admite întotdeauna două rădăcini reale distincte.
• \(k > 1\): \(k-1 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); negativ între rădăcini; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(k < 1\): \(k-1 < 0\) (concavitate \(\downarrow\)); negativ în exteriorul rădăcinilor; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
\[ x^2 - k^2 x + 1 > 0 \]
Rezultat
• \(|k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(|k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^4 - 4 \]
Studiul semnului
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k^4 < 4 \;\Leftrightarrow\; k^2 < 2 \;\Leftrightarrow\; |k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \sqrt{2}\): \(k^2 = 2\), rădăcină dublă \(x_0 = k^2/2 = 1\); inegalitate strictă; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 + 2kx + k^2 - 4 \ge 0 \]
Rezultat
Pentru orice \(k\), \(S = (-\infty,\; -k-2] \cup [-k+2,\; +\infty)\).
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-4) = 16 > 0 \quad \forall\, k \]
Rădăcinile
\[ x_{1,2} = \frac{-2k \pm 4}{2} = -k \pm 2 \]
Parabolă deschisă în sus cu rădăcinile \(-k-2 < -k+2\); inegalitate nestrictă; \(S = (-\infty,\, -k-2] \cup [-k+2,\, +\infty)\).
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ x^2 - (k+1)x + k > 0 \]
Rezultat
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Rezolvare
Factorizare
\[ x^2 - (k+1)x + k = (x-1)(x-k) \]
Discriminantul (verificare)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Studiul semnului
• \(k = 1\): rădăcină dublă \(x = 1\); \((x-1)^2 > 0\) pentru orice \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k < 1\): rădăcinile sunt ordonate \(k < 1\); produsul este \(> 0\) în exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k > 1\): rădăcinile sunt ordonate \(1 < k\); produsul este \(> 0\) în exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ (k-2)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Rezultat
• \(k = 2\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(2 < k < 3\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 2\): \(S = [x_1, x_2]\)
Rezolvare
Cazul \(k = 2\) — inecuație de gradul întâi
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Cazul \(k \neq 2\) — inecuație de gradul al doilea
\[ \Delta = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k \]
• \(k > 3\): \(\Delta < 0\), \(k-2 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 3\): \(\Delta = 0\), rădăcină dublă \(x_0 = -1\), \(k-2 = 1 > 0\); inegalitate nestrictă; \(S = \mathbb{R}\).
• \(2 < k < 3\): \(\Delta > 0\), \(k-2 > 0\) (concavitate \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-2 < 0\) (concavitate \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ x^2 + kx + k^2 - 1 < 0 \]
Rezultat
• \(|k| < \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = (x_1, x_2)\) cu \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{4-3k^2}}{2}\)
• \(|k| \ge \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = \emptyset\)
Rezolvare
Discriminantul
\[ \Delta = k^2 - 4(k^2-1) = -3k^2 + 4 \]
Studiul semnului
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; 3k^2 < 4 \;\Leftrightarrow\; |k| < \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): parabolă deschisă în sus, negativă între rădăcini; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): rădăcină dublă, trinomul este \(\ge 0\); inegalitate strictă; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): nicio rădăcină reală, trinomul este întotdeauna \(> 0\); \(S = \emptyset\).
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ (x-k)(x-1) > 0 \]
Rezultat
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Rezolvare
Rădăcinile
\[ x = k \qquad x = 1 \]
Studiul semnului
• \(k < 1\): rădăcinile sunt ordonate \(k < 1\); produsul este \(> 0\) în exterior; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k = 1\): rădăcină dublă \((x-1)^2 > 0\) pentru orice \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k > 1\): rădăcinile sunt ordonate \(1 < k\); produsul este \(> 0\) în exterior; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).