În această pagină vom vedea cum se calculează derivata funcției exponențiale folosind două forme echivalente ale raportului incremental: una în variabila \(h\), cu \(h\to 0\), și alta în variabila \(x\), cu \(x\to x_0\).
Fie \(a>0\), cu \(a\neq 1\), și să considerăm funcția exponențială:
\[ f(x)=a^x \]
Cele două forme ale raportului incremental sunt:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Cuprins
- Limita raportului incremental pentru \( h\to 0 \)
- Limita raportului incremental pentru \( x\to x_0 \)
Limita raportului incremental pentru \( h\to 0 \)
Calculăm derivata funcției exponențiale ca limită a raportului incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h} \]
Folosim proprietatea puterilor:
\[ a^{x_0+h} = a^{x_0}\cdot a^h \]
Înlocuind în raportul incremental:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0}a^h-a^{x_0}}{h} \]
Scoatem factorul comun \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \]
Limita remarcabilă a funcției exponențiale este:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a) \]
Prin urmare:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Limita raportului incremental pentru \( x\to x_0 \)
Aplicăm acum definiția derivatei sub forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Rescriem \(a^x\) sub forma:
\[ a^x = a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \]
Înlocuind:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x_0}a^{x-x_0}-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Scoțând factorul comun \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} \]
Introducem variabila auxiliară:
\[ u=x-x_0 \]
Deoarece \(x\to x_0\), avem:
\[ u\to 0 \]
Astfel, limita devine:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} \]
Prin limita remarcabilă a funcției exponențiale:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} = \ln(a) \]
Obținem deci:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
În concluzie, derivata funcției exponențiale este:
\[ f'(x) = a^x\ln(a) \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]