Radicali: definiție, condiții de existență, proprietăți fundamentale, simplificare, operații și raționalizare. Exemple și exerciții rezolvate pas cu pas.
Cuprins
- Definiția radicalului
- Condiții de existență
- Proprietăți fundamentale
- Simplificarea radicalilor
- Înmulțire și împărțire
- Adunare și scădere
- Puterile radicalilor
- Raționalizarea numitorului
- Radicali cu variabile
- Ecuații iraționale
Definiția radicalului
Radicalul de ordin \(n\) al unui număr real \(a\) este numărul \(b\) care, ridicat la puterea a \(n\)-a, dă \(a\).
Definiție
Dat \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq 2 \) și \( a \in \mathbb{R} \), se numește radical de ordin \(n\) al lui \( a \) numărul real \( b \) cu proprietatea: \[ b = \sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n = a \]
Numărul \( n \) se numește indicele radicalului, iar \( a \) se numește radicand.
Rădăcina pătrată
Prin convenție, când \( n = 2 \) indicele se omite:
\[ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} \]
Rădăcina pătrată furnizează întotdeauna valoarea principală nenegativă și este definită doar pentru \( a \geq 0 \). Mai are loc și următoarea identitate importantă:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \] Atenție În general \( \sqrt{a^2} \neq a \). De exemplu \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3 \).
Radicalul de ordinul \(n\): paritatea indicelui
| Indicele \( n \) | Radicandul \( a \) | Rezultat |
|---|---|---|
| Par | \( a > 0 \) | există o unică valoare reală pozitivă (rădăcina principală) |
| Par | \( a = 0 \) | \( \sqrt[n]{0} = 0 \) |
| Par | \( a < 0 \) | nu există în \( \mathbb{R} \) |
| Impar | orice \( a \in \mathbb{R} \) | există o unică valoare reală, cu același semn ca \( a \) |
Exemple
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \) deoarece \( (-2)^3 = -8 \)
\( \sqrt[4]{16} = 2 \) (rădăcina principală)
\( \sqrt[5]{-32} = -2 \) deoarece \( (-2)^5 = -32 \)
Condiții de existență
Un radical există în \( \mathbb{R} \) numai atunci când radicandul îndeplinește condițiile de mai jos, care depind de paritatea indicelui.
Condiție de existență
\[ \sqrt[n]{a} \in \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} a \geq 0 & \text{dacă } n \text{ este par} \\ a \in \mathbb{R} & \text{dacă } n \text{ este impar} \end{cases} \] Exemple
\( \sqrt{x-3} \) există ⇔ \( x-3 \geq 0 \) ⇔ \( x \geq 3 \)
\( \sqrt[3]{x-3} \) există pentru orice \( x \in \mathbb{R} \)
\( \sqrt{x^2-4} \) există ⇔ \( x \leq -2 \) sau \( x \geq 2 \)
Proprietăți fundamentale
Proprietățile de mai jos sunt valabile când toate expresiile sunt definite în numerele reale (în particular, pentru indici pari, toți radicanzii trebuie să fie nenegativi).
| Proprietate | Formulă |
|---|---|
| Radicalul unei puteri | \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \) (cu \( a \geq 0 \) dacă \( n \) este par) |
| Puterea unui radical | \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) |
| Radicalul unui radical | \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \) |
| Reducere la același indice | \( \sqrt[n]{a} = \sqrt[kn]{a^k} \) pentru \( k \in \mathbb{N}, k \geq 1 \) |
| Simplificarea indicelui | \( \sqrt[kn]{a^k} = \sqrt[n]{a} \) |
Legătura cu puterile cu exponent fracționar
\[ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \]
Simplificarea radicalilor
Un radical este simplificat atunci când în radicand nu mai rămân factori care să fie puteri perfecte ale indicelui (adică factori care pot fi extrași în întregime).
Metodă de simplificare
- Se descompune radicandul în factori primi (sau în factori cu exponenți).
- Fiecare exponent se scrie ca multiplu al lui \( n \) plus un rest \( r \) cu \( 0 \leq r < n \).
- Se extrage din radical partea corespunzătoare multiplilor indicelui.
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}} = a^q \sqrt[n]{a^r}, \quad 0 \leq r < n \quad (a \geq 0 \text{ dacă } n \text{ este par}) \] Exemple
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
\( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \)
\( \sqrt{x^5} = x^2 \sqrt{x} \) pentru \( x \geq 0 \)
\( \sqrt[3]{a^8} = a^2 \sqrt[3]{a^2} \)
Reducere la același indice
Pentru a efectua operații între radicali cu indici diferiți se folosește cel mai mic multiplu comun (c.m.m.c.) al indicilor.
Exemplu
\( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
\( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \)
Înmulțire și împărțire
Proprietăți (pentru expresii bine definite)
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}, \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) \] Atenție Proprietățile sunt valabile numai când toți radicalii îndeplinesc condițiile de existență. Exemple
\( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 \)
\( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32} \)
Adunare și scădere
Se pot aduna sau scădea numai radicali asemenea (același indice și același radicand).
Radicali asemenea
\( p\sqrt[n]{a} \pm q\sqrt[n]{a} = (p \pm q)\sqrt[n]{a} \) Exemple
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
\( \sqrt{8} - \sqrt{2} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)
Puterile radicalilor
\[ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \quad (a \geq 0 \text{ dacă } n \text{ este par}) \]
Pătratul unui binom cu radicali
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \]
\[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \]
Produsul expresiilor conjugate
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b \]
Raționalizarea numitorului
Raționalizarea constă în eliminarea radicalilor din numitorul unei fracții, înmulțind atât numărătorul, cât și numitorul cu un factor adecvat.
Cazul 1 — Numitor cu un singur radical
\[ \frac{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{b \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}{a} \quad (a \geq 0 \text{ dacă } n \text{ este par}) \] Exemple
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \]
Cazul 2 — Numitor binom cu radicali pătrați
\[ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})}{a - b} \] Exemple
\[ \frac{4}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \]
\[ \frac{1}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \]
Cazul 3 — Numitor cu radicali cubici (sumă sau diferență)
Se utilizează formulele sumei și diferenței de cuburi:
\[ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \qquad x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \]
Pentru \( \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \) (cu \( x = \sqrt[3]{a} \), \( y = \sqrt[3]{b} \)):
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a - b} \] Exemplu
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 \]
Radicali cu variabile
Valoarea absolută în simplificare
Pentru indice par (\( n = 2k \)): \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \)
Pentru indice impar: \( \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x \) Exemple
\( \sqrt{x^2} = |x| \)
\( \sqrt[4]{x^4} = |x| \)
\( \sqrt{x^6} = |x^3| \)
\( \sqrt[3]{x^3} = x \)
Domeniul de definiție al expresiilor cu mai mulți radicali
Domeniul de definiție este intersecția condițiilor de existență ale tuturor radicalilor prezenți.
Exemplu
\( f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} \)
Domeniu: \( x \geq -2 \) și \( x \leq 4 \) ⇒ \( [-2, 4] \)
Ecuații iraționale
Pentru a rezolva o ecuație irațională:
- Se determină domeniul de definiție (condițiile de existență ale tuturor radicalilor).
- Se izolează un radical (dacă este posibil).
- Se ridică ambii membri la puterea corespunzătoare.
- Se rezolvă ecuația algebrică obținută.
- Se verifică fiecare soluție candidată în ecuația inițială și în domeniu (pentru a elimina eventualele soluții extranee).
Atenție Ridicarea la putere poate introduce soluții extranee. Verificarea este obligatorie.
Exemplu — indice par
\( \sqrt{2x-1} = x-2 \)
Domeniu: \( x \geq \frac{1}{2} \) și \( x-2 \geq 0 \) ⇒ \( x \geq 2 \).
Ridicând la pătrat: \( 2x-1 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x=1 \) sau \( x=5 \).
Verificare: \( x=1 \) nu aparține domeniului → soluție extraneă.
\( x=5 \): \( \sqrt{10-1} = 3 \) și \( 5-2=3 \) → verificată.
Soluție: \( x=5 \)
Exemplu — doi radicali
\( \sqrt{x+5} - \sqrt{x} = 1 \)
Domeniu: \( x \geq 0 \).
Izolăm: \( \sqrt{x+5} = \sqrt{x} + 1 \).
Ridicăm la pătrat: \( x+5 = x + 2\sqrt{x} + 1 \Rightarrow 4 = 2\sqrt{x} \Rightarrow x=4 \).
Verificare: \( \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1 \) → corectă.
Soluție: \( x=4 \)