Am calculat deja unele derivate ale funcțiilor elementare folosind limita raportului incremental al funcției \(f(x)\). Acum vom vedea cum se poate calcula — într-un cadru mai general — derivata sumei \((f+g)(x_0)\), derivata produsului \((f\cdot g)(x_0)\), derivata funcției inverse \(f^{-1}(x_0)\) și derivata funcției compuse \((f\circ g)(x_0)\).
Cuprins
Derivata Sumei
Fie \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) și \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) două funcții și fie \(x_0 \in X\cap Y\). Dacă \( f \) și \( g \) sunt derivabile în punctul \(x_0\), atunci funcția sumă \( (f+g)(x) \) este derivabilă în \(x_0\), iar derivata sa este: \[ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) \]
Demonstrație. Aplicăm definiția derivatei funcției sumă:
\begin{align} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)+g(x)-(f(x_0)+g(x_0))}{x-x_0} &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \end{align}
Ultimul pas este justificat de faptul că limita unei sume este egală cu suma limitelor. Deoarece funcțiile \(f\) și \(g\) sunt derivabile în \(x_0\), rezultă că și suma este derivabilă în \(x_0\):
\[ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) \]
Derivata Produsului
Fie \( f : X \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) și \( g : Y \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) două funcții și fie \(x_0 \in X\cap Y\). Dacă \( f \) și \( g \) sunt derivabile în punctul \(x_0\), atunci produsul \( (f\cdot g)(x) \) este derivabil în \(x_0\), iar derivata sa este: \[ (f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0) \]
Demonstrație. Aplicăm definiția derivatei funcției produs:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} \]
Putem manipula algebric expresia — adăugând și scăzând termenul \(f(x_0)g(x)\) — pentru a evidenția diferența dintre două expresii:
\[ f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0) = f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0) \]
Grupăm termenii astfel încât să putem scoate factorii comuni:
\[ (f(x)-f(x_0))g(x)+f(x_0)(g(x)-g(x_0)) \]
Înlocuim acum această expresie în limită:
\[ \lim_{x\to x_0} \left( \frac{(f(x)-f(x_0))g(x)}{x-x_0} + \frac{f(x_0)(g(x)-g(x_0))}{x-x_0} \right) \]
Separăm limita în două părți:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{(f(x)-f(x_0))g(x)}{x-x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0)(g(x)-g(x_0))}{x-x_0} \]
Considerăm prima limită:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{(f(x)-f(x_0))g(x)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) g(x_0) = f'(x_0)g(x_0) \]
Deoarece \( \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0) \), putem scoate factorul \(g(x_0)\) în afara limitei.
Considerăm acum a doua limită:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x_0)(g(x)-g(x_0))}{x-x_0} = f(x_0)\lim_{x\to x_0} \left( \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \right) = f(x_0)g'(x_0) \]
Combinând cele două rezultate, obținem:
\[ (f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) \]
Aceasta este regula derivării produsului, care afirmă că derivata produsului a două funcții este egală cu suma dintre produsul derivatei primei funcții cu a doua funcție și produsul primei funcții cu derivata celei de-a doua funcții.
Derivata Funcției Compuse
Fie \(f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) și \(g:Y\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) două funcții, unde \(X\) conține o vecinătate a lui \(x_0\), iar \(Y\) conține o vecinătate a lui \(g(x_0)\), cu \(g(X)\subset Y\). Dacă \(g\) este derivabilă în \(x_0\), iar \(f\) este derivabilă în \(g(x_0)\), atunci funcția compusă \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) este derivabilă în \(x_0\), iar derivata sa este:
\[ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) \]
Demonstrație. Pornim de la definiția derivatei ca limită a raportului incremental:
\[ (f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0} \]
Înmulțim și împărțim cu \((g(x)-g(x_0))\):
\[ (f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)} \cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \]
Limita produsului este egală cu produsul limitelor, deci putem separa limita în două părți:
\[ (f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)} \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \]
Observăm acum că prima limită reprezintă definiția lui \(f'(g(x_0))\), iar a doua limită reprezintă definiția lui \(g'(x_0)\). Prin urmare:
\[ (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0) \]
Derivata Funcției Inverse
Fie \( f:X\subset\mathbb{R}\to Y\subset\mathbb{R} \) o funcție bijectivă și continuă pe un interval deschis \(X\), cu inversa \( f^{-1}:Y\to X \). Fie \( x_0\in X \) și \( y_0=f(x_0) \). Dacă \(f\) este derivabilă în \(x_0\) și \(f'(x_0)\neq 0\), atunci \(f^{-1}\) este derivabilă în \(y_0\) și are loc relația: \[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)} \]
Demonstrație. Din regula derivării funcțiilor compuse: \[ (f^{-1}\circ f)'(x_0)=(f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0) \] Dar \((f^{-1}\circ f)(x)=x\), deci derivata funcției identitate este egală cu \(1\). Prin urmare:
\[ (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)} \]
Observație. Dacă \(f\) este derivabilă în \(x_0\) și \(f'(x_0)=0\), atunci \(f^{-1}\) nu poate fi derivabilă în \(y_0=f(x_0)\), deoarece expresia \(1/f'(x_0)\) nu este definită.
Exemplu. Fie \( g:[0,+\infty)\longrightarrow[0,+\infty) \) definită prin \( g(y)=y^{1/3} \). Funcția inversă \(f^{-1}\) nu poate fi derivabilă în \(y_0=0\), deoarece inversa sa \(f(x)=x^3\) este derivabilă în \(x_0=0\) și satisface \(f'(0)=0\).