Începem cu derivata tangentei \( f(x)=\tan(x) \). Limita raportului incremental este:
\begin{align} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{\tan(x)-\tan(x_0)}{x-x_0} \end{align}
Folosind identitatea pentru diferența tangentelor:
\[ \tan(x)-\tan(x_0)=\frac{\sin(x-x_0)}{\cos(x)\cos(x_0)} \]
Înlocuind această identitate în raportul incremental, obținem:
\[ \frac{\tan(x)-\tan(x_0)}{x-x_0} = \frac{\frac{\sin(x-x_0)}{\cos(x)\cos(x_0)}}{x-x_0} \]
Simplificând:
\[ \frac{1}{\cos(x)\cos(x_0)} \cdot \frac{\sin(x-x_0)}{x-x_0} \]
Acum, când \(x\to x_0\), folosim limita remarcabilă:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x-x_0)}{x-x_0}=1 \]
Prin urmare, expresia devine:
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{1}{\cos(x)\cos(x_0)} \cdot 1 = \frac{1}{\cos^2(x_0)} \]
Deoarece \(\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\), putem rescrie rezultatul final astfel:
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{\tan(x)-\tan(x_0)}{x-x_0} = \sec^2(x_0) \]
Așadar:
\[ f'(x)=\sec^2(x) \quad , \quad \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} \]
Acum calculăm derivata cotangentei \( g(x)=\cot(x) \). Limita raportului incremental este:
\begin{align} g'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{x\to x_0}\frac{\cot(x)-\cot(x_0)}{x-x_0} \end{align}
Folosind identitatea pentru diferența cotangentelor:
\[ \cot(x)-\cot(x_0) = -\frac{\sin(x-x_0)}{\sin(x)\sin(x_0)} \]
Înlocuind această identitate în raportul incremental, obținem:
\[ \frac{\cot(x)-\cot(x_0)}{x-x_0} = \frac{-\frac{\sin(x-x_0)}{\sin(x)\sin(x_0)}}{x-x_0} \]
Simplificând:
\[ -\frac{1}{\sin(x)\sin(x_0)} \cdot \frac{\sin(x-x_0)}{x-x_0} \]
Acum, când \(x\to x_0\), folosim limita remarcabilă:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x-x_0)}{x-x_0}=1 \]
Prin urmare, expresia devine:
\[ \lim_{x\to x_0} -\frac{1}{\sin(x)\sin(x_0)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x_0)} \]
Deoarece \(\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}\), putem rescrie rezultatul final astfel:
\[ \lim_{x\to x_0} \frac{\cot(x)-\cot(x_0)}{x-x_0} = -\csc^2(x_0) \]
Așadar:
\[ g'(x)=-\csc^2(x) \quad , \quad \forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ k\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} \]