Proprietățile logaritmilor permit transformarea expresiilor complexe în forme mai simple, cu ajutorul regulilor produsului, câtului și puterii. Această culegere propune 20 de exerciții progresive, cu rezolvare detaliată și comentată.
Exercițiul 1 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_2(4 \cdot 8) \]
Rezultat
\[ 5 \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea logaritmului produsului:
\[ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \]
Calculăm fiecare logaritm în parte: \[ \log_2 4 = 2, \quad \log_2 8 = 3 \]
Adunăm rezultatele: \[ 2 + 3 = 5 \]
Exercițiul 2 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) \]
Rezultat
\[ 3 \]
Rezolvare
Folosim proprietatea logaritmului câtului:
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 \]
Calculăm logaritmii: \[ \log_3 81 = 4, \quad \log_3 3 = 1 \]
Scădem: \[ 4 - 1 = 3 \]
Exercițiul 3 — nivel ★☆☆☆☆
\[ \log_5(25^3) \]
Rezultat
\[ 6 \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea puterii:
\[ \log_5(25^3) = 3\log_5 25 \]
Deoarece \(25 = 5^2\), avem:
\[ \log_5 25 = 2 \]
Prin urmare:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_2\sqrt{32} \]
Rezultat
\[ \frac{5}{2} \]
Rezolvare
Rescriem radicalul ca putere:
\[ \sqrt{32} = 32^{1/2} \]
Descompunem 32:
\[ 32 = 2^5 \]
Atunci:
\[ (2^5)^{1/2} = 2^{5/2} \]
Aplicăm logaritmul:
\[ \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercițiul 5 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \]
Rezultat
\[ -3 \]
Rezolvare
Scriem 27 ca putere a lui 3:
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \]
Aplicăm logaritmul:
\[ \log_3(3^{-3}) = -3 \]
Exercițiul 6 — nivel ★★☆☆☆
\[ \ln(e^2 \cdot \sqrt{e}) \]
Rezultat
\[ \frac{5}{2} \]
Rezolvare
Rescriem radicalul ca putere:
\[ \sqrt{e} = e^{1/2} \]
Aplicăm proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază:
\[ e^2 \cdot e^{1/2} = e^{5/2} \]
Aplicăm în final logaritmul natural:
\[ \ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercițiul 7 — nivel ★★☆☆☆
\[ \log(100x) \]
Rezultat
\[ 2 + \log x \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea logaritmului produsului:
\[ \log(100x) = \log 100 + \log x \]
Calculăm valoarea logaritmului numeric:
\[ \log 100 = 2 \]
Înlocuind, obținem:
\[ 2 + \log x \]
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ 2\log a + 3\log b \]
Rezultat
\[ \log(a^2 b^3) \]
Rezolvare
Folosim proprietatea puterii logaritmilor:
\[ 2\log a = \log(a^2), \quad 3\log b = \log(b^3) \]
Rescriem expresia:
\[ \log(a^2) + \log(b^3) \]
Aplicăm proprietatea produsului:
\[ \log(a^2 b^3) \]
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) \]
Rezultat
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea logaritmului câtului:
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) = \log_b(x^2) - \log_b(y) \]
Folosim proprietatea puterii:
\[ \log_b(x^2) = 2\log_b x \]
Înlocuind, obținem:
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_4 8 \]
Rezultat
\[ \frac{3}{2} \]
Rezolvare
Folosim formula schimbării bazei:
\[ \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} \]
Calculăm logaritmii:
\[ \log_2 8 = 3, \quad \log_2 4 = 2 \]
Împărțim:
\[ \frac{3}{2} \]
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \log_2 6 + \log_2 4 - \log_2 3 \]
Rezultat
\[ 3 \]
Rezolvare
Aplicăm proprietățile sumei și diferenței logaritmilor:
\[ \log_2 6 + \log_2 4 = \log_2(24) \]
Scădem al treilea logaritm:
\[ \log_2\left(\frac{24}{3}\right) \]
Simplificăm:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Exercițiul 12 — nivel ★★★★☆
\[ \log_b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \]
Rezultat
\[ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{3} \]
Rezolvare
Rescriem radicalul ca putere:
\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} \]
Aplicăm proprietatea puterii:
\[ \log_b\left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{1}{3}\log_b\left(\frac{a}{b}\right) \]
Folosim proprietatea câtului:
\[ \log_b a - \log_b b \]
Înlocuim \(\log_b b = 1\):
\[ \frac{1}{3}(\log_b a - 1) \]
Exercițiul 13 — nivel ★★★★☆
\[ \frac{1}{2}\log x - 2\log y - 3\log z \]
Rezultat
\[ \log\left(\frac{\sqrt{x}}{y^2 z^3}\right) \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea puterii:
\[ \frac{1}{2}\log x = \log(x^{1/2}), \quad 2\log y = \log(y^2), \quad 3\log z = \log(z^3) \]
Rescriem expresia:
\[ \log(x^{1/2}) - \log(y^2) - \log(z^3) \]
Aplicăm proprietățile logaritmilor:
\[ \log\left(\frac{x^{1/2}}{y^2 z^3}\right) \]
Exercițiul 14 — nivel ★★★★☆
\[ \log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) \]
Rezultat
\[ \log_2(x+1), \quad x>1 \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea logaritmului câtului:
\[ \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]
Descompunem diferența de pătrate:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Simplificăm:
\[ \log_2(x+1) \]
Exercițiul 15 — nivel ★★★★☆
\[ \log_{1/2} 16 \]
Rezultat
\[ -4 \]
Rezolvare
Folosim formula schimbării bazei:
\[ \log_{1/2} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(1/2)} \]
Calculăm valorile:
\[ \log_2 16 = 4, \quad \log_2(1/2) = -1 \]
Împărțim:
\[ -4 \]
Exercițiul 16 — nivel ★★★★★
\[ e^{-2\ln x} \]
Rezultat
\[ \frac{1}{x^2} \]
Rezolvare
Folosim proprietatea puterii logaritmului:
\[ -2\ln x = \ln(x^{-2}) \]
Rescriem expresia:
\[ e^{\ln(x^{-2})} \]
Simplificăm prin identitatea fundamentală:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Exercițiul 17 — nivel ★★★★★
\[ \log \sqrt{x\sqrt{x}} \]
Rezultat
\[ \frac{3}{4}\log x \]
Rezolvare
Rescriem radicalul interior ca putere:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
Expresia devine:
\[ \sqrt{x \cdot x^{1/2}} \]
Adunăm exponenții:
\[ x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \]
Aplicăm radicalul exterior:
\[ (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} \]
Aplicăm logaritmul:
\[ \log(x^{3/4}) = \frac{3}{4}\log x \]
Exercițiul 18 — nivel ★★★★★
\[ (\log_3 5)(\log_5 9) \]
Rezultat
\[ 2 \]
Rezolvare
Folosim formula schimbării bazei:
\[ \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}, \quad \log_5 9 = \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Înmulțim expresiile:
\[ \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Simplificăm factorul comun \(\ln 5\):
\[ \frac{\ln 9}{\ln 3} \]
Deoarece \(9 = 3^2\), obținem:
\[ \log_3 9 = 2 \]
Exercițiul 19 — nivel ★★★★★
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) \]
Rezultat
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Rezolvare
Aplicăm proprietatea logaritmului câtului:
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \]
Simplificăm primul termen:
\[ \ln(e^x) = x \]
Obținem astfel:
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Exercițiul 20 — nivel ★★★★★
\[ \log_b\left(\frac{1}{\sqrt[n]{b^m}}\right) \]
Rezultat
\[ -\frac{m}{n} \]
Rezolvare
Rescriem radicalul ca putere:
\[ \sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \]
Prin urmare:
\[ \frac{1}{\sqrt[n]{b^m}} = b^{-m/n} \]
Aplicăm logaritmul:
\[ \log_b(b^{-m/n}) = -\frac{m}{n} \]