Culegere de exerciții cu sisteme de ecuații — metode de substituție, eliminare și reducere. Cuprinde sisteme cu 2 și 3 necunoscute, cazuri particulare (nedeterminate/incompatibile) și câteva sisteme neliniare simple.
Înainte de a începe, reamintește-ți metodele principale:
• Substituția: izolează o variabilă și înlocuiește-o în cealaltă ecuație.
• Eliminarea: înmulțește ecuațiile astfel încât coeficienții unei variabile să devină egali sau opuși, apoi adună sau scade ecuațiile.
• Reducerea: transformă sistemul în formă eșalonată (utilă în cazul a trei variabile).
Verifică întotdeauna soluțiile substituindu-le în ecuațiile originale.
Exercițiul 1 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Rezolvare
Metoda eliminării (prin adunare)
Adunând membre cu membre, \( y \) se elimină:
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
Substituind în prima ecuație: \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).
Verificare
\( 3 + 2 = 5 \) și \( 3 - 2 = 1 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercițiul 2 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 4 \quad y = 2 \)
Rezolvare
Metoda substituției
Din prima ecuație: \( x = 2y \). Substituind în a doua:
\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), deci \( x = 4 \).
Verificare
\( 4 - 4 = 0 \) și \( 4 + 2 = 6 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)
Exercițiul 3 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 3 \quad y = 1 \)
Rezolvare
Metoda substituției
Din prima ecuație: \( y = 10 - 3x \). Substituind în a doua:
\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)
Apoi \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verificare
\( 9 + 1 = 10 \) și \( 3 + 3 = 6 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)
Exercițiul 4 — nivel ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 2 \)
Rezolvare
Metoda substituției
Din a doua ecuație: \( x = 4 - y \). Substituind în prima:
\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)
Apoi \( x = 4 - 2 = 2 \).
Verificare
\( 10 + 4 = 14 \) și \( 2 + 2 = 4 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)
Exercițiul 5 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
Înmulțim a doua ecuație cu 3 pentru a face coeficienții lui \( y \) opuși:
\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)
Adunând: \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Apoi \( y = 1 \).
Verificare
\( 4 - 3 = 1 \) și \( 8 + 1 = 9 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercițiul 6 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
Coeficienții lui \( y \) sunt deja opuși. Adunând ecuațiile:
\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Apoi \( y = 3 \).
Verificare
\( 6 + 6 = 12 \) și \( 10 - 6 = 4 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercițiul 7 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\ x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Rezolvare
Eliminarea fracțiilor
Prima ecuație ×3: \( x + 3y = 9 \)
A doua ecuație ×2: \( 2x + y = 8 \)
Din prima: \( x = 9 - 3y \). Substituind: \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), deci \( x = 3 \).
Verificare
\( 1 + 2 = 3 \) și \( 3 + 1 = 4 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercițiul 8 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
A doua ecuație ×2: \( 4x + 10y = 38 \). Scăzând prima:
\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Apoi \( x = 2 \).
Verificare
\( 8 - 9 = -1 \) și \( 4 + 15 = 19 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercițiul 9 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Rezultat
Infinit de soluții
Rezolvare
Analiza sistemului
Înmulțind prima ecuație cu 2 se obține a doua: ecuațiile sunt echivalente (reprezintă aceeași dreaptă).
Sistemul este nedeterminat. Soluțiile sunt: \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) cu \( t \in \mathbb{R} \).
Rezultat: \(\boxed{\text{Infinit de soluții: } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)
Exercițiul 10 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Rezultat
Nicio soluție
Rezolvare
Analiza sistemului
Înmulțind prima ecuație cu 2 se obține \( 6x - 2y = 10 \), ceea ce contrazice a doua ecuație.
Dreptele sunt paralele și distincte → sistem incompatibil.
Rezultat: \(\boxed{\text{Sistem incompatibil — nicio soluție}}\)
Exercițiul 11 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 0 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 4 \quad y = 6 \)
Rezolvare
Eliminarea fracțiilor
Prima ecuație ×6: \( 3x + 2y = 24 \)
A doua ecuație ×12: \( 3x - 2y = 0 \)
Metoda eliminării
Adunând cele două ecuații se elimină \( y \):
\( 6x = 24 \implies x = 4 \)
Substituind în a doua: \( 12 - 2y = 0 \implies y = 6 \).
Verificare
\( \dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \) și \( \dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{6} = 1 - 1 = 0 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 4 \quad y = 6}\)
Exercițiul 12 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 7x - 2y = 16 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = -1 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
Înmulțim prima ecuație cu 2 pentru a face coeficienții lui \( y \) opuși:
\( \begin{cases} 14x - 4y = 32 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \)
Adunând: \( 17x = 34 \implies x = 2 \).
Substituind în a doua: \( 6 + 4y = 2 \implies y = -1 \).
Verificare
\( 14 + 2 = 16 \) și \( 6 - 4 = 2 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = -1}\)
Exercițiul 13 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Rezolvare
Metoda eliminării (înmulțire dublă)
Pentru a elimina \( y \), înmulțim prima ecuație cu 2 și a doua cu 3:
\( \begin{cases} 8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases} \)
Adunând: \( 23x = 46 \implies x = 2 \).
Substituind în prima: \( 8 + 3y = 17 \implies y = 3 \).
Verificare
\( 8 + 9 = 17 \) și \( 10 - 6 = 4 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercițiul 14 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ x - (y - 3) = 4 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Rezolvare
Simplificare preliminară
Dezvoltând parantezele:
\( 2x + 2 - y = 5 \implies 2x - y = 3 \)
\( x - y + 3 = 4 \implies x - y = 1 \)
Metoda eliminării
Scăzând a doua ecuație din prima:
\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 1 \implies x = 2 \)
Apoi \( y = x - 1 = 1 \).
Verificare
\( 2(3) - 1 = 5 \) și \( 2 - (1 - 3) = 4 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercițiul 15 — nivel ★★★☆☆
\[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ 5x - y = 9 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Rezolvare
Metoda substituției
Din a doua ecuație: \( y = 5x - 9 \). Substituind în prima:
\( -2x + 3(5x - 9) = -1 \implies -2x + 15x - 27 = -1 \implies 13x = 26 \implies x = 2 \)
Apoi \( y = 10 - 9 = 1 \).
Verificare
\( -4 + 3 = -1 \) și \( 10 - 1 = 9 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercițiul 16 — nivel ★★★★☆
Un tată are cu 30 de ani mai mult decât fiul său. Peste 10 ani, vârsta tatălui va fi dublul vârstei fiului. Determinați vârstele actuale.
Rezultat
Tatăl: 50 de ani, fiul: 20 de ani
Rezolvare
Formularea sistemului
Notăm cu \( p \) vârsta tatălui și cu \( f \) vârsta fiului:
\[ \begin{cases} p = f + 30 \\ p + 10 = 2(f + 10) \end{cases} \]
Metoda substituției
Substituind \( p = f + 30 \) în a doua ecuație:
\( (f + 30) + 10 = 2f + 20 \implies f + 40 = 2f + 20 \implies f = 20 \)
Deci \( p = 20 + 30 = 50 \).
Verificare
Diferența actuală: \( 50 - 20 = 30 \). Peste 10 ani: \( 60 = 2 \cdot 30 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{\text{Tatăl } 50 \text{ de ani}, \text{ fiul } 20 \text{ de ani}}\)
Exercițiul 17 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} 7x + 3y = 27 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Rezolvare
Metoda eliminării (înmulțire dublă)
Pentru a elimina \( y \), înmulțim prima ecuație cu 5 și a doua cu 3:
\( \begin{cases} 35x + 15y = 135 \\ 6x + 15y = 48 \end{cases} \)
Scăzând: \( 29x = 87 \implies x = 3 \).
Substituind în prima ecuație originală: \( 21 + 3y = 27 \implies y = 2 \).
Verificare
\( 21 + 6 = 27 \) și \( 6 + 10 = 16 \)
Rezultat: \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercițiul 18 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
Scăzând a doua ecuație din prima:
\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \)
Scăzând a treia ecuație din prima:
\( (x + y + z) - (x + y - z) = 6 - 0 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \)
Substituind în prima: \( x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1 \).
Verificare
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓, \( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercițiul 19 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3 \)
Rezolvare
Metoda eliminării
Scăzând prima ecuație din a doua:
\( x - y = 1 \quad (\text{A}) \)
Scăzând prima ecuație din a treia:
\( -y + z = 2 \implies z = y + 2 \quad (\text{B}) \)
Substituind \( z = y + 2 \) și \( x = y + 1 \) (din A) în prima ecuație:
\( (y + 1) + 2y + (y + 2) = 7 \implies 4y + 3 = 7 \implies y = 1 \)
Deci \( x = 2 \) și \( z = 3 \).
Verificare
\( 2 + 2 + 3 = 7 \) ✓, \( 4 + 1 + 3 = 8 \) ✓, \( 2 + 1 + 6 = 9 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3}\)
Exercițiul 20 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Rezolvare
Metoda reducerii
Scăzând prima ecuație din a doua:
\( x - 2z = -5 \implies x = 2z - 5 \quad (\text{A}) \)
Adunând prima și a treia ecuație:
\( 2x + 3z = 11 \quad (\text{B}) \)
Substituind (A) în (B): \( 2(2z - 5) + 3z = 11 \implies 7z = 21 \implies z = 3 \).
Atunci \( x = 6 - 5 = 1 \) și din prima ecuație \( y = 6 - 1 - 3 = 2 \).
Verificare
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 2 + 2 - 3 = 1 \) ✓, \( 1 - 2 + 6 = 5 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercițiul 21 — nivel ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 4y + 2z = 20 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5} \)
Rezolvare
Eliminarea lui \( x \)
Calculăm \( 2 \cdot \text{Ec}_1 - \text{Ec}_2 \) pentru a elimina \( x \):
\( 2(x + 2y + z) - (2x + y + 3z) = 16 - 9 \implies 3y - z = 7 \quad (\text{A}) \)
Calculăm \( 3 \cdot \text{Ec}_1 - \text{Ec}_3 \):
\( 3(x + 2y + z) - (3x + 4y + 2z) = 24 - 20 \implies 2y + z = 4 \quad (\text{B}) \)
Rezolvarea sistemului 2×2
Adunând (A) și (B):
\( 5y = 11 \implies y = \dfrac{11}{5} \)
Din (B): \( z = 4 - 2 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{20 - 22}{5} = -\dfrac{2}{5} \).
Din prima ecuație originală: \( x = 8 - 2y - z = 8 - \dfrac{22}{5} + \dfrac{2}{5} = 8 - 4 = 4 \).
Verificare
Ec. 1: \( 4 + \dfrac{22}{5} - \dfrac{2}{5} = 4 + 4 = 8 \) ✓
Ec. 2: \( 8 + \dfrac{11}{5} - \dfrac{6}{5} = 8 + 1 = 9 \) ✓
Ec. 3: \( 12 + \dfrac{44}{5} - \dfrac{4}{5} = 12 + 8 = 20 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5}}\)
Exercițiul 22 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 3y + 2z = 8 \\ 3x + 2y + 4z = 15 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25} \)
Rezolvare
Eliminarea lui \( z \)
Calculăm \( 2 \cdot \text{Ec}_1 + \text{Ec}_2 \) pentru a elimina \( z \):
\( 2(2x + y - z) + (x + 3y + 2z) = 10 + 8 \implies 5x + 5y = 18 \quad (\text{A}) \)
Calculăm \( 4 \cdot \text{Ec}_1 + \text{Ec}_3 \):
\( 4(2x + y - z) + (3x + 2y + 4z) = 20 + 15 \implies 11x + 6y = 35 \quad (\text{B}) \)
Rezolvarea sistemului 2×2
Din (A): \( x + y = \dfrac{18}{5} \), deci \( y = \dfrac{18}{5} - x \).
Substituind în (B):
\( 11x + 6\left(\dfrac{18}{5} - x\right) = 35 \implies 11x + \dfrac{108}{5} - 6x = 35 \implies 5x = 35 - \dfrac{108}{5} = \dfrac{67}{5} \)
Deci \( x = \dfrac{67}{25} \).
Atunci \( y = \dfrac{18}{5} - \dfrac{67}{25} = \dfrac{90 - 67}{25} = \dfrac{23}{25} \).
Din prima ecuație: \( z = 2x + y - 5 = \dfrac{134}{25} + \dfrac{23}{25} - \dfrac{125}{25} = \dfrac{32}{25} \).
Verificare
Ec. 2: \( \dfrac{67}{25} + \dfrac{69}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{200}{25} = 8 \) ✓
Ec. 3: \( \dfrac{201}{25} + \dfrac{46}{25} + \dfrac{128}{25} = \dfrac{375}{25} = 15 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25}}\)
Exercițiul 23 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + ky = 12 \end{cases} \]
Rezultat
Depinde de valoarea lui \( k \)
Rezolvare
Analiza cu parametru
Substituind \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).
- Dacă \( k \neq 2 \): soluție unică \( x = 6 \), \( y = 0 \)
- Dacă \( k = 2 \): infinit de multe soluții (\( x = 6 - t \), \( y = t \))
Rezultat: \(\boxed{\text{Determinat dacă } k \neq 2;\ \text{Nedeterminat dacă } k=2}\)
Exercițiul 24 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \]
Rezultat
\( (x,y) = (2,3) \) sau \( (3,2) \)
Rezolvare
Metoda combinată
\( y = 5 - x \). Substituind: \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Soluții: \( x=2 \) (\( y=3 \)) și \( x=3 \) (\( y=2 \)).
Rezultat: \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{sau}\ (3,2)}\)
Exercițiul 25 — nivel ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + 2y - z = 6 \end{cases} \]
Rezultat
\( x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12} \)
Rezolvare
Eliminarea lui \( y \)
Adunând \( \text{Ec}_1 + \text{Ec}_2 \) se elimină \( y \):
\( (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 9 + 8 \implies 3x + 3z = 17 \quad (\text{A}) \)
Calculăm \( 2 \cdot \text{Ec}_2 + \text{Ec}_3 \) pentru a elimina din nou \( y \):
\( 2(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 16 + 6 \implies 5x + z = 22 \quad (\text{B}) \)
Rezolvarea sistemului 2×2
Din (A): \( z = \dfrac{17 - 3x}{3} \). Substituind în (B):
\( 5x + \dfrac{17 - 3x}{3} = 22 \implies 15x + 17 - 3x = 66 \implies 12x = 49 \implies x = \dfrac{49}{12} \)
Atunci \( z = \dfrac{17 - \frac{49}{4}}{3} = \dfrac{\frac{68 - 49}{4}}{3} = \dfrac{19}{12} \).
Din prima ecuație originală:
\( y = 9 - x - 2z = 9 - \dfrac{49}{12} - \dfrac{38}{12} = \dfrac{108 - 87}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
Verificare
Ec. 2: \( \dfrac{98}{12} - \dfrac{21}{12} + \dfrac{19}{12} = \dfrac{96}{12} = 8 \) ✓
Ec. 3: \( \dfrac{49}{12} + \dfrac{42}{12} - \dfrac{19}{12} = \dfrac{72}{12} = 6 \) ✓
Rezultat: \(\boxed{x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12}}\)